【公开课课件】8.6.2直线与平面垂直课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、8.6.2 直线直线与平面垂直与平面垂直1. 复习复习 在在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为为(0, 90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小(1) 求求异面直线所成角的基本异面直线所成角的基本方法方法：(

2、2) 证明两条异面直线垂直的步骤：证明两条异面直线垂直的步骤： 恰当恰当选点，用平移法构造出一个相交角选点，用平移法构造出一个相交角 证明证明这个角就是异面直线所成的角这个角就是异面直线所成的角(或补角或补角) 把把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数求出所构造的角的度数 给给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证2. 探求新知探求新知 观察观察1 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如，旗比如，旗杆

3、与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我杆与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直们直观的认识到直线与平面垂直. 观察观察2 如如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影与其影子子BC所在直线是否保持垂直？所在直线是否保持垂直？ABCBC2. 探求新知探求新知直线直线AB与其影子与其影子BC所在所在直线始终保持直线始终保持垂直垂直2.

4、探求新知探求新知 观察观察3 如如图示，将一本书打开直立在桌面上，图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊观察书脊AB与桌面的位置与桌面的位置关系，以及关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？通过对以上现象的观察与分析通过对以上现象的观察与分析，可得，可得直线直线与平面垂直的定义和与平面垂直的定义和性质性质.书脊书脊AB与与桌面垂直，桌面垂直，书脊书脊AB与与每页书和桌面的每页书和桌面的交线垂直交线垂直.3. 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义一般地，如果一般地，如果直线直线l与平面与平面内的内的任意一条直线都垂直任意

5、一条直线都垂直，我们就说，我们就说直线直线l l与与平面平面互相垂直互相垂直，记作，记作l. 直线直线l叫做叫做平面平面的垂线的垂线，平面，平面叫做叫做直线直线l的垂的垂面面. 直线与平面垂直时，它们唯一的直线与平面垂直时，它们唯一的公共点公共点P叫做垂足叫做垂足. lP 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直面的平行四边形的一边垂直. 若若l，a，则，则la.a 思考思考 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的

6、直线有几条？为什么？广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？AB平面平面的垂线垂直平面的垂线垂直平面内的任意直线内的任意直线. 下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件. 若用直线与平面垂直的定义进行判定，则无法验证直线与平面内的所有若用直线与平面垂直的定义进行判定，则无法验证直线与平面内的所有直线垂直直线垂直. 那么，能否只需验证直线与平面内部分直线垂直那么，能否只需验证直线与平面内部分直线垂直就就能判定直线与能判定直线与平面垂直呢？下面我们来看一个实验平面垂直呢？下面我们来看一个实验. 探究探究

7、 准备准备一块三角形的纸片一块三角形的纸片ABC，过，过ABC的顶点的顶点A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC与桌面接触与桌面接触). 观察观察： (1) 折痕折痕AD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？与桌面垂直？为什么？ABCDBACDABCDCABD4. 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定不一定不一定 当当ADBC时，折痕时，折痕AD与桌面垂直与桌面垂直.直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定定理判定定理：如果一条直线与一个平面内的如果一条

8、直线与一个平面内的两条相交直线垂直两条相交直线垂直，那么该，那么该直线与此直线与此平面垂直平面垂直.符号表示：符号表示：mnlPlmlnmlnmnP 思考思考 定理中的两条相交直线能否改成平行直线，定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成如果改成“无数条直线无数条直线”呢？呢？m nl4. 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定不能不能 例例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面条直线也垂直于这个平面.已知：已知：如图，如图，a/b，a，求证：求证：b.mnab证明证明：如图，在平面

9、如图，在平面内取两条相交直线内取两条相交直线m，n.a，am， an.又又a/b， bm， bn.又又m，n，且，且m,n是两条相交直线是两条相交直线.b. 结论：结论：如果如果两条平行直线两条平行直线中的中的一条直线垂直于一个平面一条直线垂直于一个平面，那么，那么另一条另一条直线也垂直于这个平面直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法证明线面垂直的另一方法)证明：证明：(1)PAABCDBCABCD平面平面PABCABCDBCBA底面是矩形BAPAABCPAB 平面AEPAB 平面BCAEAEPBPBBCBAEPBC 平面PCPBC 平面AEPCAFPCAFAEA.PCAEF 平面证

10、明：证明：(2)PAABCDCDABCD平面平面PACDABCDCDAD底面是矩形PAADACDPAD 平面AGPAB 平面CDAG(1)PCAEF由得,平面CDPCCAGAEF 平面PCAGAGPCD 平面PDPCD 平面.AGPD证明证明线面垂直的线面垂直的方法方法总结：总结： 线线面垂直的定义面垂直的定义 线线面垂直的判定定理面垂直的判定定理 如果如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线那么另一条直线也垂直于这个平面也垂直于这个平面(后面学习后面学习) 如果如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那

11、么它也垂直于另一那么它也垂直于另一个平面个平面(后面学习后面学习) 【特别特别提醒提醒】要要证明证明两条直线垂直两条直线垂直(无论它们是异面还是共面无论它们是异面还是共面)，通常是通常是证明证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面证明：证明：(1)PAABMBMABM平面平面PABMABOBMAM是圆 的直径PAAMABMPAM 平面ANPAM 平面BMANBMPMPANPM.ANPBM 平面(1)ANPBM由得平面ANPBAQPB又ANAQAPBANQ 平面NQANQ 平面.PBNQPBPBM 平面证明：证明：(2) 练习练习 教材教材15

12、2页页证明证明1：SDABCDACABCD平面平面SDACABCDBDAC底面是正方形SDBDD.ACSDB 平面BDCSA证明证明2：.SDABCD ACABCD平面,平面.SDACABCDBDAC又底面是正方形,SDBDD而.ACSDB平面 如图，一条直线如图，一条直线l与一个平面与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点，斜线和平面的交点A叫做叫做斜足斜足. 过斜线上斜足以外的一过斜线上斜足以外的一点点P向平面向平面引垂线引垂线PO，过垂足，过垂足O和斜足和斜足A的的直线直线AO叫做叫做斜线在这个平

13、面上斜线在这个平面上的射影的射影. 平面的一条平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做，叫做这条直线和这条直线和这个平面所成的角这个平面所成的角. APlO 直线与平面所成的角直线与平面所成的角实际上就是实际上就是直线与直线在平面内的直线与直线在平面内的射影所成的角射影所成的角. 当直线与平面当直线与平面垂直垂直时，它与平面所成的角为时，它与平面所成的角为90，当直线与平面当直线与平面平行平行时，它与平面所成的角为时，它与平面所成的角为0，所所以以，直线与平面所成的角的范围为，直线与平面所成的角的范围为0, 90. 直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直

14、线所成角的最小角直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角.m5. 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 例例4 如图如图，已知已知正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线中，求直线A1B和平面和平面A1DCB1所成所成的角的角.解解：连接连接BC1交交B1C于点于点O，连接，连接A1O. 设正方体的棱长为设正方体的棱长为a.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，A1B1平面平面BCC1B1，BDCA1B1C1D1AOA1B1BC1，又，又B1CBC1， BC1平面平面A1DCB1.A1O是是A1B在平面在平面A1DCB1内的射影内的射影.BA1O为为A1B和平

15、面和平面A1DCB1所成的角所成的角. A1B和和平面平面A1DCB1所所成的角成的角为为30.BO= A1B，BA1O=30.12在在RtA1BO中，中， A1B= a，BO= a.222CAMB求直线与平面所成的角的求直线与平面所成的角的步骤：步骤： (1) 作图：作图：作作(或找或找)出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过斜线上斜足以外斜线上斜足以外的一点的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于线上点的选取以及垂足的位置要与问题中

16、已知量有关，才能便于计算；计算； (2) 定角定角：证明证明某平面角就是斜线与平面所成的某平面角就是斜线与平面所成的角；角； (3) 计算：计算：通常通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算计算. 练习练习 教材教材152页页不一定不一定 1. 如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？APlO 练习练习 教材教材152页页解：解：连接连接AC, BD, 当当ACBD时时, ACBD. 理由理由如下：如下： 3. 如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，

17、当底面四边形中，当底面四边形ABCD满足什么条满足什么条件时，件时， ACBD？在在直四棱柱直四棱柱ABCD-ABCD中，中， AA底面底面ABCD.BD 底面底面ABCD， AABD.若若ACBD，而，而AAAC=A.则则BD平面平面AAC，而而AC 平面平面AAC ，则则BDAC.又又BB/DD，且，且BB=DD， 四边形四边形BBDD是平行四边形，是平行四边形，BD/BD，因此因此BDAC.DACABCDB4. 过过ABC所在平面所在平面外一点外一点P，作作PO ，垂足为，垂足为O，连接，连接PA，PB，PC. (1) 若若PA=PB=PC，则点，则点O是是ABC的的_心心. (2)若若

18、PA=PB=PC，C=90，则，则点点O是是AB边的边的_点点. (3) 若若PAPB，PBPC，PCPA，垂足都为，垂足都为P，则点是则点是ABC的的_心心.BCPAOBCPAOBCPAODFE外外中中垂垂 练习练习 教材教材152页页 下面我们研究直线与平面下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线垂直的性质，即探究在直线a与平面与平面垂直的条垂直的条件下能推出哪些结论件下能推出哪些结论. am性质性质1：若若a，m，则，则am.b性质性质2：若若a，b，则，则a/b. (性质定理性质定理)性质性质3：若若a，c ，且，且ca，则则c/. c直线与平面直线与平面垂直的垂直的性质性质定理

19、：定理：垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行.性质性质4：若若/，l，则则l. l6. 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 例例5 如图，直线如图，直线l平行于平面平行于平面求，求证：直线求，求证：直线l上各点到平面上各点到平面的距离相等的距离相等.证明：证明：AA1BB1l 过直线过直线l上任意两点上任意两点A, B分别作平面分别作平面的垂线的垂线AA1, BB1, 垂足分别为垂足分别为A1, B1. AA1，BB1， AA1/BB1.设直线设直线AA1，BB1确定的平面为确定的平面为，=A1B1.l / ， l/A1B1，四边形四边形AA1B1B是矩形是矩形， A

20、A1=BB1. A，B是直线是直线l上上任意任意两两点，点，直线直线l上各点到平面上各点到平面的距离相等的距离相等. 通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离两个平面间的距离.棱台体积公式推导棱台体积公式推导( (棱

21、台的高就是两底面间的距离棱台的高就是两底面间的距离) )hhShS，,POh OOh证明：如图示,设,则11()33S hhS h P ABCDP A B C DVVV 棱台1()3SSSS hADBCABCDOOP.ShhSS 11()33Shh SS11()33SShhSSSS11()33Shh SSS1()3VSS SS h棱台(S, S, h分别分别是是棱棱台台的上下底的上下底面积和高面积和高)例例6 推导棱台的体积公式推导棱台的体积公式 练习练习 教材教材155页页 1. 已知直线已知直线a, b和平面和平面, 且且ab, a, 则则b与与的位置关系是的位置关系是_.平行或在平面内平

22、行或在平面内abbAA1BB12. 已知已知A, B两点在平面两点在平面的同侧，且它们与的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线的距离相等，求证：直线AB/.解解： 过过A, B两点两点分别作平面分别作平面的垂线的垂线AA1, BB1, 垂足分别为垂足分别为A1, B1. 则则又又A1B1 ，又又AA1/BB1.AB / .AB/A1B1.四边形四边形AA1B1B是矩形是矩形.AA1=BB1， 练习练习 教材教材155页页 3. 如图，如图，EA和和DC都垂直于平面都垂直于平面ABC，且，且EA=2DC，F是是EB的中点的中点.求证：求证：DF/平面平面ABC.DAFBECM 练习练习 教材教材155页页解解： 取取AB的中点的中点M，连接，连接FM，CM.DF / 平面平面ABC.DF/CM.四边形四边形DCMF是平行四边形是平行四边形.由由F是是EB的的中点可得，中点可得，EA 2FM. 又又EA 2DC，FM DC，又又DF 平