2020-2021年高一数学5月月考试题(含解析)

1、-1 -高一数学 5 月月考试题（含解析）、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.sin 1020的值为（）A.辽2【答案】A【解析】【分析】本题正确选项：A【点睛】本题考查利用诱导公式求解三角函数值的问题，属于基础题2.已知两个球表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（a|b|c|b|A.1:3B.1：,3C.1:9D.1: 27【答案】A【解析】分析】根据球的表面积公式直接作比可得结R : R21: 3本题正确选项:【详解】 设两个球的半径分用,【点睛】 本题考查基础题3.设 abc,且 a立的是（A. abbcbacC.acbcD.C.1D.-2根据诱导公式可得sin1020os

2、in60,从而求得结果【详解】sin 1020osin 3603 60osin 60-2 -【答案】B【解析】【分析】利用特殊值的方式可排除A,C,D；利用作差法可判断出B正确【详解】若a 3,b1,c2则ab 3bc2, 可知A错误 ;ac6bc2，可知C错误;若a 3,b 0,c3, 则a bcb0,可知D错误；/ a b c0且abca 0且bc0又ab aca bc0abac, 可知B正确本题正确选项：B【点睛】本题考查利用作差法比较大小的问题，对于不等式恒成立判断问题，也常采用排除 法来进行求解4.若幕函数 f（x）的图像过点（4, 2）,则 f（a2）=（）A. aB. -aC.

3、a【答案】D【解析】【分析】利用待定系数法可求得函数解析式，代入xa2求得函数值【详解】设f x x，则42，解得:ia2a2 2本题正确结果：D【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、函数值的求解问题，属于基础题5.在空间中有如下命题，其中正确的是（）A. 若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则直线 a 和 c 共面；B. 若平面a内的任意直线m/平面卩，则平面a/平面卩;C.若直线 a 与平面 不垂直，则直线 a 与平面 内的所有直线都不垂直;D. |a|-3 -D.若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的内心.【答案】B【解析】【分析】

4、根据直线与直线的位置关系、面面平行判定定理、三角形内心的定义依次判断各个选项即可得到结果【详解】直线a与直线b共面，直线b和直线c共面，存在直线a与直线c异面的情况，A错误；平面 内任意直线均平行于平面，必在 内必存在两条相交直线平行于平面，根据面面平行判定定理可知平面/平面 ，B正确；直线a与平面 不垂直，可能与平面平行或相交；则在平面内存在与直线a异面的直线与直线a垂直，C错误；若点P到三角形三条边的距离相等，可知点P在三角形所在平面内的射影到三角形三边的距离相等，此射影点可为三角形两外角平分线与一内角平分线的交点，此时不是三角形的内心，D错误.本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中的

5、直线与直线的位置关系、面面平行的判定、三角形内心的判定问题本题易错点是判断D选项时，忽略射影点位于三角形外部的情况-4 -6.若，是锐角VABC的两个内角，则有（A.sinsinB. coscos对【答案】 C【解析】【分析】)C.sin cosD.以上都不2；通过角的范围和sinx的单调性可根据三角形为锐角三角形可知-，即-5 -【详4xQx o，y 0X2y4xx 144本题正确选项:【点睛】 本题考查上4x（当且仅当4x4xy，即2x y时取等号）4x1,4艺解和的最小值问题， 关键是配凑出符合基本不等式的形本题正确选项：C【点睛】本题考查根据三角形形状判断角的关系的问题，关键是能够灵活

6、应用角的范围、正 弦函数图象和诱导公式来进行化简.17.若正实数x，y满足一41，且x2a 3a恒成立，则实数a的取值范围为（）xy4A.1,4B.1,4C.4,1D.4,1【答案】B【解析】分析】解不等式求得结果得sinsin，利用诱导公式整理可得结果【详解】Q ABC为锐角三角形且0?，02Q sinx在0,上单调递增2sinsin 2cos-，结合基本不等式可44，从而得到关于a的不等式，yy，解得:-6 -式，从而求得最值需将函数g xAs in x的图象()A.向左平移n个长度单位6C.向右平移n个长度单位6【答案】A【解析】【分析】nB.向左平移丄个长度单位3D.向右平移上个长度单

7、位3【详解】由图象可知：A 1,T 47小7又f1，贝Usin126_2k,k Z，又_32722123T73亠12k,k Z623f x sin 2x,g x sin2x3f x，即只需将g x向左平移一个长度单位即可得到f x6本题正确选项：A【点睛】本题考查已知三角函数图象求解解析式、图象平移变换的问题，关键是明确左右平 移的变换是针对x的变化量.9.已知A, B,C, D是同一球面上的四个点，其中ABC是正三角形，AD平面ABC,根据图象的最值、周期、特殊值可求得x解析式，再根据图象平移变换原则可求得结果8.若函数f(x) Asin( x)(A0,-)的图象如图所示，则为了得到f x图

8、象，只-7 -AD 2AB 6，则该球的体积为（)A. 48 nB. 24 nC. 16 nD. 32.3 n【答案】D【解析】【分析】根据球的性质可知球心0与ABC外接圆圆心0连线垂直于平面ABC;在Rt P0E和Rt 00 A中利用勾股定理构造出关于半径R和00的方程组，解方程组求得R，代入球的体积公式可得结果【详解】设0为ABC的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心0与0连线垂直于平面ABC，作0E AD于E设球的半径为R，00 xABC为等边三角形，且AB 3A0.3Q 00平面ABC，AD平面ABC，0E AD00 AE x，0E A0 ,3在Rt P0E和Rt 00 A中，由勾股

9、定理得：0E2PE20 020A2R2，即36 x2x23 R2解得：x 3，R 2込球的体积为：V4R332-、33本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从-8 -而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径logix, ?x 02，若关于x方程f（x） k有两不等实数根，则k的取值范2x,x 0【解析】【分析】由图可知当方程f x k有两不等实数根时,则实数k的取值范围是（0,1故选D【点睛】本题是一道关于分段函数的应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握对数函数与指数函数的图象与性质，考查了数形结合思想，属于中档题。11.对于棱长为1的

10、正方体ABCD A1C1D1，有如下结论，其中错误的是（）A. 以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体；B. 过点A作平面ABD的垂线，垂足为点H，则代H ,G三点共线；C. 过正方体中心的截面图形不可能是正六边形；10.已知函数f（x）围（）A. (0,)B. (,0)C. （ 1，）D.(0,1作出函数yx和程y k的图象，结合图象即可求得答案【答案】Dk的图象，如图所示-9 -D. 三棱锥A B1CD1与正方体的体积之比为1:3.-10 -【答案】C【解析】【分析】在正方体中可找到四面体AADC各个面都是直角三角形，排除A;利用线面垂直判定定理可证出AG平面ABD

11、，从而可知三点共线，排除B;在图形中可找到截面图形为正六 边形的情况，可知结果为C;利用切割的方法求得VB,CD,，从而可求得所求体积之比，排除D.【详解】在如下图所示的正方体中：四面体A ADC的四个面均为直角三角形，可知A正确；Q BD AC，BD CC1BD平面ACC1A1BD AG又tan GAC tan AAO2GAC AAO2CiACAiOAAAOAQA 90，即AC,AOAC,平面AiBD，即过A作平面ABD的垂线即为AC,AH ,Ci三点共线，可知B正确；若P,Q, N,M ,F , E为所在棱的中点，连接后可知六边形PQNMFE为正六边形且此正六边形 过正方体的中心，可知C错

12、误；1 11三棱锥A B,CD,体积：VA BCD1 413 23正方体体积：V 1三棱锥A B1CD1与正方体的体积之比为：VA B1CD1: V 1:3，可知D正确-11 -本题正确选项：C-12 -【点睛】本题考查正方体中的线线关系、线面关系、截面问题、体积问题的相关命题的判定, 对于学生空间想象能力要求较高 12.设f xa sin2x bcos2x a, b R,ab 0，若f x f 对一切x R恒成立,3给出以下结论:11124函数 y f x 既不是奇函数也不是偶函数；5存在经过点 a,b 的直线与函数f x的图象不相交.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4

13、【答案】 C【解析】【分析】根据fxf3可知f Ja2b2,从而得到aJ3b,将f x化简为3f x2bcos2x-;代入求值即可知正确；当b 0和b 0时,可验证出所给3区间可能为单调递减区间， 错误； 禾U用奇偶性定义可知正确； 根据函数图象可知无交点 时需b Ja2b2，又aJ3b，可知不成立，故错误.512f x的单调递增区间是k56(k?Z)；-13 -【详解】由f x即：乜a】b2 2对x R恒成立可知:,a2b2，整理可得:a 3b-14 -、.3bsin 2x bcos2x 2b cos 2x可知错误;4正确；5要使得经过 a,b 的直线与函数f x无交点，则直线需与x轴平行且

14、b一 b2又a ,3bb 2 b，不成立，可知错误.综上所述：正确本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合应用问题，涉及到三角函数最值的应用、单 调区间的求解、奇偶性的判断、函数图象的应用、函数值的求解问题，对于学生对三角函数 知识的应用能力要求较高.二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.若函数f（x） log2（4x1）? k x为R上的偶函数，贝 U k _【答案】k 1【解析】f 12f512 5f12V3|b；11122bcos136当k,kk Z时，2x2k3630时，k , k5k Z 为f x的单调递增区间360时，k, k5k Z 为f x的单调递减

15、区间,2k2 k Z由函数解析式可知:x且f x f x，则fx为非奇非偶函数，可知可知正确;0，可知正确;-15 -【分析】-16 -由f x是偶函数，运用偶函数定义f X f x，代入求出k的值【详解】Q函数f xlog24X1 kx,解得k 1故答案为k 1【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求参数的值，运用奇偶性的定义代入求解，考查了计算能力14.若圆锥的表面积为 27n，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的半径为【答案】3.【解析】【分析】根据侧面展开图是半圆可求得I 2r，利用圆锥表面积构造方程可求得结果【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为1Q侧面展开图是半圆2 r I

16、I 2r圆锥表面积：Sr22 r23 r227r 3本题正确结果：3【点睛】本题考查圆锥表面积相关问题的求解，属于基础题f xlOg24x1 kx，Q函数f xxIog241kx为R上的偶函数,fx fx，即lOg24x1kx log24x1 kx，4x1故x2kx，41化简得42x4x4kx4k 1 x2xk 1x则x kx-17 -么a的取值范围是10.考点：函数的单调性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数单调性及其应用，其中解答中涉及的分段函数的解析式, 分段函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数f x

17、为单调递增函数，列出不等式组是解答问题的关键，试题比较基础，属于中档试题.16.在如图所示的三棱锥 A-BCD 中，BD=2 DC=3 / DABf BACf DAC=90 ,/ ADBM BDCM ADC=90 .现有一只蚂蚁从点D 出发经三棱锥 A-BCD 的三个侧面绕行一周后【答案】5-2【解析】15.f(x)1,? x2)eax?x0为 R 上的单调函数，则a的取值范围是0【答【解试题分析: 由题意得，函数2ax1,x02axe ,x0是R上的单调函数，则若函数fx为单调递增函数，则a(a22)e，此时解集为空集; 若函数f x为单调递增函数，则a(a2 02)e0，解得112ax所以

18、函数fxa 21,x eax,x00是R上的单调函数，那最短距离为-18 -【分析】画出三棱锥的侧面展开图，可知所求最短距离即为形为正方形，设CE x，构造方程可解出正方形边长，从而求得DD【详解】三棱锥的侧面展开图如下图（实线部分）所示：由题意可知，蚂蚁爬行的最短距离即为：DDQ DABBACDAC90DAD 90Q ADBBDCADC90且ADAD四边形ADED为正方形设CE x，则BC,2232币，BE 13 x2Q DE D E3 1 x 2.13 x2，解得：x 2DE D E5DD25 2552本题正确结果:52【点睛】本题考查最短路线问题，关键是能够通过侧面展开图确定直线距离最短

19、，从而利用平面几何的知识来进行求解 （II ）求证：平面PAC平面PAB三、解答题（共 6 小题，共 70 分）平面ABCD,AD/BC，AB1,BCABC 60I，求证：BC/IDD的长度；根据已知的角度可证得四边-19 -【答案】(I)见解析；(II )见解析【解析】【分析】(I)根据线面平行判定定理可知BC/平面PAD;利用线面平行性质定理可证得结论；(II )根据线面垂直性质定理可得PA AC，利用余弦定理求得AC，根据勾股定理可证得AC AB，利用线面垂直判定定理证得AC平面PAB，根据面面垂直判定定理可证得结 论.【详解】(I)Q BC /AD,AD平面PAD,BC ?平面PADB

20、C/平面PADQ BC平面PBC，且平面PBC平面 PAD lBC/l(II )Q PA平面ABCD,AC平面ABCDPAACQ AB 1，BC 2， ABC 60，由余弦定理得：AC AB2BC22AB BC cos ABC Ji 222 1 2cos60V3AB2AC2BC2AC AB又ACPA,PAI ABA,PA平面PAB,ABi平面PABAC平面PAB又AC平面PAC平面PAC平面PAB【点睛】本题考查立体几何中的线面平行的证明与性质、面面垂直的证明、线面垂直的证明与性质应用，考查学生对于空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理的掌握情况18.在ABC中，角 A,B,C 的对边分

21、别为a,b,c，点D为边BC的中点，若AD m，且满足2 2a 2bc 4m(I)求BAC；(Il )若a 2，求ABC的周长的最大值.-20 -【答案】(I) ； (II )63【解析】【分析】(I )在ABD和ACD利用余弦定理和cos ADB cos ADC 0可得4m22b22c2a2，将a22bc 4m2代入可整理求出cos BAC，从而得到所求角；(II )24 3bc；利用基本不等式可求得b c的最大值，从而可得周长的最大值BAC 3(II )在ABC中，由余弦定理可得:当且仅当b c时取等号【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形周长最大值的求解问题 角拆分的情况时，通常利用两

22、个互补角构造余弦定理的形式，利用互补角余弦值互为相反数整理可得结果；解三角形周长最大值时，关键是利用基本不等式得到两边之和的不等关系在ABC中利用余弦定理可得【详解】(I )在ABD和ACD中,由余弦Q ADBb2c212a macos4ADB；b2212m a macos4ADCADC2m2cosADB cos ADC，即4m22b22c2又a22bc4m22bc2b22c2即:bbccosBACb22c2bcBAC2 24 b c 2bccos3b2bc3bc， 即2c 4 3bc ABC的周长：L ac 6，即ABC周长的最大值为6当问题中涉及到将所求-21 -19.如图，三角形PDC所

23、在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,-22 -PD PC 4,AB 6, BC 3点E是CD边的中点，点F, G分别在线段AB,BC上,证明：PE FG;(2) 求二面角PADC的正切值；(3) 求直线PA与直线 PG 所成角的余弦值.【答案】见证明；(2)丄:9、一5325【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质得到PE平面ABCD，进而得到PEFG.(2)由二面角的定义可知二面角P- ADC的平面角为PDC，在RtVPDE中求解即可(3)将直线PA与FG所成转化为直线PA与直线AC所成角，利用余弦定理求解【详解】 证明：因为PD PC，点E是CD中点，所以PE DC.又因为平面PDC平面

24、ABCD，交线为DC，所以PE平面ABCD.又FG平面ABCD，所以PE FG.由可知，PE AD.因为四边形ABCD为长方形，所以AD DC.又因为PE DC E，所以AD平面PDC.而PD平面PDC，所以AD PD.由二面角的平面角的定义，可知PDC为二面角PADC的一个平面角.在RtVPDE中，PE、PD2DE21；当a 0时，求得不等式对应的方程的两根，通过讨论两根的大小关系和a的正负可求得结果-25 -综上所述：a 50时，原不等式等价于Q函数g(t)在区间1,上是单调递减的maxg15(Il )Qa b 4解不等式 f x 0 即解不等式2ax 4x 4 a 00时，原不等式等价于

25、4x 40，解得:-26 -解得:Xi2，则1，解得：a“ a4综上，当a 0,不等式的解集为a 4x -;当a 0时，不等式的解集为x xa当0 a 2时，不等式的解集为当a 2时，不等式的解集为x xa 4或x 1；当a 2时，不等式的解集为a【点睛】本题考查不等式恒成立问题的求解，解含有参数的一元二次不等式的问题，涉及到分离变量和分类讨论的思想的应用，属于常规题型2cosx /3sinx cosx 1(1)求函数fx在区间02上的最小值；(II )若f X8- x2,，求cos2x的值;5，31，解得:21.已知函数f x-27 -【答案】（I）1; （II ）3 3 4； （III ）

26、0,103【解析】【分析】 将f x整理为2sin 2x；（I ）利用x的范围求得2x的范围，结合sinx的图象可668可求得sin 2x；结合角的范围和同角三角函数关系56可求得cos 2x-；根据cos2x cos 2xg g，利用两角和差余弦公式可求得结果;（川）利用x的范围求得2 x6的范围，从而根据sinx单调递增区间构造出关于的 不等式组，解不等式组再结合0即可得到结果(III )若函数y f x0在区间6,2上是单调递增函数，求正数的取值范求得最值；（II ）利用f x【详解】f x(I ) Q x 0,22sin 2x 6f x在区间（II ）由题意得：小2Q x,3cos2x

27、 cos33415252i .3 sin 2x cos2x 2sin 2x 64sin 2x653cos 2x65cos sin 2xsin6 66 6-28 -(III )f x 2sin 2 x式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质i i22.若函数f x在区间a,b上的值域为，一，则称区间a,b为函数f x的一个“倒值b a区间” 定义在R上的奇函数g x，当x 0,时，g xx22x(I)求函数g x的解析式；(n)求函数g x在1,上的“倒值区间”；出m的值；若不存在，试说明理由.x22x,x 0亦1【答案】(I)g x2;(n)1,；(川)m 2x22x,x 02【解析】【分析】(I)当 x,0 ,利用函