2020-2021学年北师大版必修14.2实际问题的函数建模学案

1、2 实际问题的函数建模2. 1 实际问题的函数刻画2. 2 用函数模型解决实际问题2. 3 函数建模案例1傑前基讯茂电梳理知识学习目标|1. 了解数学建模的过程，进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学 解决实际问题的意识.2尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题.竹知倶萌理1用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作 数学建模，可以用图 示表示数学建模的过程.2.常用到的函数模型正比例函数模型：y = kx(0)；k(2) 反比例函数模型： 烂(& 0)；(3) 次函数模型：y= kx+ b(kM0)；(4) 二次函数模型：y = ax2+ bx+ c(a 工 0

2、);(5) 指数函数模型：y= max+ b(a0 且 a 1，mH0)；(6) 对数函数模型：y= mlogax+ c(mH0， a0 且 aH1)；(7) 幕函数模型：y= kxn+ b(kH0).解决应用题应遵循什么步骤？阅读理引入符运用数学代入实际解认真 - 号建立 方法解决-T 问题核查审题模型1 数学模型 11 说明作答12傑堂互动傑究规律总结1竹典绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料，根据以前的统计数 据，若零售价定为每瓶 4 元，每月可销售 400 瓶；若每瓶售价每降低 0.05 元, 则可多销售 40 瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一 个方案：

3、销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？【解】 设销售价为 x 元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好销售完即 400(9 2x)瓶.此时所得的利润为 f(x) = 400(9-2x)(x- 3) =400(- 2x2+ 15x-27)(元)(3x0,所以 0 x12,则利润 y = (480 40 x)(1 + x) 200=40 x111 2 3 4 5 6 7+ 1 490(0 x12)，所以当 x= 5.5 时，利润最大，即当每桶水的价格为 11.5 元时，利润最大值为 1 490 元.疑近医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只

4、小白鼠体内进行实验， 经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记 录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108的时候，小白鼠将会死亡如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.天数 t病毒细胞总数 N112234485166321 为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药 物？(精确到天)2 第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天, 已知：lg 2= 0.301 0)【解】 由题意知，病毒细胞的个数关于时间 t 的函数为 y= 2t则由 2f1 108两边取对数得(t 1)lg 28,得 t27.6.即第一次最迟应在第27 天注射该种药

5、物.(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为226X2%，再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞数为 226X2%X2x.由题意 226X2%X2x108，两边取对数得 26lg 2+ lg 2 2 + xlg 28,得x 6.2.即再经过 6 天必须注射药物，即第二次应在第 33 天注射药物.【方法总结】随着新课标的逐渐铺开（如计算器的广泛使用），以往对于指 数运算的困难便已不再是困难.换句话说，指数函数的应用型问题将可以堂而皇 之地进入到各级各类考试中就本题而言，难度并不大，在读懂题意的基础上， 只需要最基本的归纳推理能力和观察能力，便能发现病毒细胞个数关于时间的函 数关系式，在

6、此基础上问题的解决只是计算上的问题了.JgF 字二携 U 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量 M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量 m（单位：kg）满足ev=M1 + m2 000（e 为自然对数的底）（1）当燃料质量 M 为火箭（除燃料外）质量 m 两倍时，求火箭的最大速度（单位: m/s）;（2）当燃料质量 M 为火箭（除燃料外）质量 m 多少倍时，求火箭的最大速度是否可以达到 8 km/s?（结果精确到个位,数据：e2.718, e454.598, In 3= 1.099）v=ln 1+m2 000=2 000ln1+M，当燃料质量 M 为火箭（除

7、燃料外）质量 m 两倍时，即 M = 2m， v=2 000l n 32 000X1.099=2 198（m/s）.当燃料质量 M 为火箭质量 m 两倍时，火箭的最大速度为 2 198 m/s.2 000e 18 000M 2 0004 = e 1= e4 1 54.598- 1 54,m，当燃料质量 M 为火箭质量 m 的 54 倍时，火箭最大速度可以达到函数模型拟合问题解:(1)vev=2 000(2)vev=8km/s.t、120 t、130 t.为了预测今后各个月的月产量，需要以这三个月的月产量为根 据，用一个函数来模拟月产量 y（t）与月序数 x 之间的关系.对此模拟函数可以选 用二

8、次函数 f(x) = ax2+ bx+ c(a, b, c 均为待定系数，x N+)或函数 g(x)= pqx+ r(p, q, r 均为待定系数，x N+)现在已知该厂这种新产品的第四个月的月产 量为 137 t，试问：选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？【解】 对于两个模拟函数中的前者，将前三个月的已知数据分别代入其中， 得f(1) = a+ b+ c= 100，f(2) = 4a+ 2b + c= 120，f(3) = 9a+ 3b + c= 130.解由此形成的关于 a，b，c 的三元一次方程组，得a= 5， b = 35， c= 70.所以 f(x) = 5x2+ 35x+ 7

9、0.同理可得 g(x) = 80X0.5x+ 140.为了比较两个模拟函数的优劣，只需将 x=4 分别代入式与式，得f(4)= 5X42+35X4+70=130(t)，g(4)= 80X0.54+140=135(t).因为与 f(4)相比，g(4)与实际第四个月的月产量在数值上更为接近，所以， 作为模拟函数，式比式更好.故选用函数 g(x) = pqx+ r 作为模拟函数较好.【方法总结】 问题中给出函数关系式，且关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使问题本身获 解.“負 1 茁用打 I某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管

10、理费 2 元，月用电量不超过 30 度时，每度 0.5 元； 超过 30 度时，超过部分按每度 0.6 元收取；方案二：不收管理费，每度 0.58 元.(1) 求方案一 L(x)收费(元)与用电量 x(度)间的函数关系；(2) 老王家九月份按方案一交费 35 元，问老王家该月用电多少度？(3) 老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二更好？某化工厂开发研制的一种新产品，在前三个月的月产量依次为100解：当 0Wx30 时，L(x) = 2 + 30X0.5+ (x30)X0.6=0.6x1,2+ 0.5x, 0 x30.(2) 当 0Wx30 时， L(x) =0.6x1 = 35

11、,得 x= 60,老王家该月用电 60 度.(3) 设方案二收费为 F(x),贝 U F(x)= 0.58x.当 0Wx30 时，由 L(x)F(x),得 2 + 0.5x25, 25x30 时，由 L(x)F(x)，得 0.6x 10.58x,解得 x50, 30 x50,综上，25x50.故老王家用电量在(25,50)范围内时， 选方案一比方案二好.ABCD 中，已知 AB= a, BC= b(bva)，在 AB,AH, CG, CF，且 AE = AH = CG = CF = x.【错解】 设四边形 EFGH 的面积为 S,121则 S= ab 2 2x + 2 a x b x=衣+ (

12、a+ b)x= 2 x ab 2+根据二次函数的性质可知,【错因分析】 实际问题中，应考虑函数的定义域，错解中直接利用二次函 数的性质求解，从而导致出错.【正解】设四边形 EFGH 的面积为 S,则S= ab 2 x2+ 2 a x b x = 2x2+ (a+ b)x= 2 x +b2+ 蔦匕,x (0, b.箱如图所示，在矩形AD, CD , CB 上分别截取 AE,问：当 x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.a+ b8x=宁时,S 有最大值a+ b8因为 0vbva,所以 0vbva+ b2当学Wb, 即卩 a3b 时,易知 S(x)在(0，b上是增函数，x= b

13、时，S 有最大值 ab b2.2a+ ba+ b综上，当 a3b，x= b 时，S 有最大值 ab b2.3基編知识达标稳操胜券|知识点一指数型苗敛1.某工厂 2000 年的产值为 a 万元，预计产值每年以 n%递增，则该厂到 2012 年的产值(单位：万元)是()A. a(1 + n%)13万元C . a(1 + n %)11万元答案：B知识点二二次函数的应用2.某商品进货价为每件 40 元，当售价为 50 元时，一个月能卖出 500 件.通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高 1 元，则商品一个月的销售量会减少10 件，商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为()B. 55 元

14、D. 70 元解析：设当商品定价为 x 元时，商店的销售利润为 y 元,则有 y= (x 40)500 10(x 50)=(x 40)(1 000 10 x)=1 农 + 1 400 x 40 000(x 50)，当 x= 70 时，y 有最大值.答案：D3.某旅店有客床 100 张，各床每天收费 10 元时可全部客满，若每床每天收所以当B. a(1 + n%)12万元D. a(1 n%)12万元C. 65 元费每提高 2 元，则减少 10 张客床租出这样为了减少投入多获利，每床每天收 费应提高_ .解析：设每床每天收费提高 2x 元(x N+),则收入为 y= (10+ 2x)(10010

15、x) =20(5+x)(10 x),A当 x= 2 或 3 时，y 取最大值，当 x= 2 时，y= 1 120,当 x =3 时，y= 1 120.为了满足减少投入要求应在获利相同条件下多空出床位，故 x =3.答案：6知识点三指数型函数的应用4已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y= a(0.5)x+ b， 现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件，则该厂 3 月份 产品的产量为1 = 0.5a+ b，解析：由1.5= 0.25a+ b， y= 2(0.5)x+ 2， 3 月份产品的产量为 y= 2(0.5)3+ 2= 1.75(万件).答案：1.75 万件5某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：C)之间满足函数 关系y= ekx+b(e= 2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)已知该食品在 0C的保鲜时间为 160 小时，在 20 C 的保鲜时间为