第1章数学物理方程定解问题

1、数学物理方程数学物理方程定解问题定解问题主要内容主要内容r 三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出r 定解条件定解条件r 数学物理方程的分类（自学）数学物理方程的分类（自学）（一）（一）梯度梯度矢量矢量zkyjxi令令三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有时记有时记22222yx2222223zyx记记22tuutt22xuuxxtuut222222zyx（二）（二）三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出1 1 弦的横振动弦的横振动xx+ x1T2T1M2M12),(txFxudsdm0coscos1122

2、TT1122sinsinTT2211sinsinttTTds u弦的横向位移为弦的横向位移为 u(x,t)ttdmu考虑小振动考虑小振动xx+ x1T2T1M2M12xu22)()(dydxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTttdsuTT1122sinsindx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuuuT)(ttxxdxxxudxuuT)(TTT12ttxxuTu0 xxttTuuTa 220ttxxua u记记xx+ x1T2T1M2M12xu例：一长为例：一长为l的均匀柔软的均匀柔软轻绳

3、轻绳，其一端固定在竖直轴上，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度绳子以角速度 转动，试推导此绳相对于水平线的横转动，试推导此绳相对于水平线的横振动方程振动方程xx+ x1T2T1M2M12xudxdm弦的横向位移为弦的横向位移为 u(x,t)xu lxx+ xttdxuTT1122sinsinxdxTT22211coscosxdxdT22( )( )lxT lT xxdx ttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(22221( )()2lxT xxdxlxttxxdxxxdxuuxluxl)(21)(212222222221()02ttxulx ux整理得：整理

4、得：x=l 端自由端自由( )0T l 2 2 均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动将细杆分成许多段将细杆分成许多段t时刻，时刻，A段伸长段伸长),(txu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCt时刻，时刻，B段伸长段伸长相对伸长相对伸长dxtxutdxxu),(),(xu事实上，相对伸长事实上，相对伸长是位置的函数，如是位置的函数，如xxudxxxu相对伸长相对伸长由胡克定律，由胡克定律，B两端的两端的张应力（单位横截面张应力（单位横截面的力）分别为的力）分别为xxudxxxuxxuYdxxxuYB段运动方程为段运动方程为22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx

5、ttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段运动段运动方程为方程为ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa 220ttxxua u记记22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx3 3 扩散方程扩散方程由于浓度不同引起的分子运动由于浓度不同引起的分子运动qD u 扩散流强度扩散流强度q ，即即单位单位 时间内时间内流过流过单位单位横截横截面积面积的分子数或质的分子数或质量，与量，与浓度浓度 u(单位体积内的粒子单位体积内的粒子数数） 的下降成正比的下降成正比 D 为扩散系数为扩散系数()uuuqDijkxyz xuDqxyuDqyzuDqz 负号表

6、扩散方向负号表扩散方向与浓度梯度相反与浓度梯度相反nukq大小大小dydzdtqxxuDqxyuDqyzuDqzxyzdxdydz x方向左表面，方向左表面，dt 时间时间流流入六面体的流量为入六面体的流量为流出六面体的流量为流出六面体的流量为dydzdtqdxxxxx+dxdydzdtqxx x方向左表面，单位时间方向左表面，单位时间流入六面体的流量为流入六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为dydzdtqdxxx净流入量为净流入量为dydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx),(zyxxyzdxdydzx 方向净流

7、入量为方向净流入量为dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向净流入量为方向净流入量为dxdydzdtyuDy)(z 方向净流入量为方向净流入量为dxdydzdtzuDz)(),(zyxxyzdxdydz立方体净流入量为立方体净流入量为dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方体内无源和汇如立方体内无源和汇dxdydzuutdtt)(dt时间内粒子增加数为时间内粒子增加数为dxdydzduzyx,),(zyxxyzdxdydzdxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()

8、(0)()()(dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D2()0txxyyzzua uuu02uaut02xxtuau 一维一维02uaut02xxtuau若单位时间内单位体积中产生的粒子数为若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F=(x,y,z,t) 与与 u 无关无关),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut若单位时间内单位体积中产生的粒子数为若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u ubuaut22022ubuaut4 4 热传导方程热传导方程),(),()(txuttxuxAcQ0t设有一根恒截面为设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度

9、差，的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热其侧面绝热u(x,t) 为为 x 处处 t 时刻温度，时刻温度， 为杆密度为杆密度xxx+ x （1）dt 时间内时间内引起小段引起小段 x温度温度升高所需热量为升高所需热量为txAucQtxxx+ x （2）Fourier实实验定理验定理：单位单位 时时间内流过单位间内流过单位横横截截面积的热量面积的热量 q (热流强度量）与热流强度量）与温度的下降成正温度的下降成正比比nnukq k 为热传导系数为热传导系数 一维情况下如图有一维情况下如图有xukqxnukq大小大小Adtqxx x方向左表面，方向左表面，dt 时间时间流入流入圆圆柱体的热量为柱体

10、的热量为dt 时间时间流出流出圆柱体的热量为圆柱体的热量为Adtqdxxxxxx+ xAdtqAdtqdxxxxxdt 时间净流时间净流入的热量为入的热量为AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx20txxua ucka25 5 泊松方程泊松方程电通量的高斯定理电通量的高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE20/V 称为泊松方程称为泊松方程20/V 称为泊松方程称为泊松方程称为称为 Laplace Laplace 方程方程020V),(2tzyxFuaut对于对于稳定浓度分布有稳定浓度分布有0t

11、u),(),(zyxFtzyxF2( , , )/uF x y za 为泊松方程为泊松方程0),(zyxF0u 为为 Laplace Laplace 方程方程6 6 稳定浓度分布稳定浓度分布和和若若若若定解条件定解条件输运方程输运方程（一）初始条件（一）初始条件02uaut初始条件要求已知初始条件要求已知),(),(0zyxtzyxutt弦振动方程弦振动方程02uautt初始条件要求已知初始条件要求已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移满足位移满足速度满足速度满足x=l / 2xux=lhx00),(0ttttzyxu位移满足位移满足速度满足速度满足0)

12、(ttxu2/0, /2hx ll, 2/)(2llxllh（二）边界条件（二）边界条件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一类边界条件第一类边界条件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如两端固定弦如两端固定弦, ,端点位移端点位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu（1 1）第一类边界条件）第一类边界条件如细杆热传导端点温度如细杆热传导端点温度l0 x00),(utxu

13、x1),(utxulx（如扩散端点浓度）（如扩散端点浓度）A）如细杆）如细杆的纵振动，的纵振动，x=a 处受力处受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）第二类边界条件）第二类边界条件)()(tfSYuaxxYStfuaxx)(如杆端自由如杆端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如细杆热传导端如细杆热传导端点有热量流出点有热量流出)(tfaxnkuaxxq如细杆热传导端如细杆热传导端点有热量流入点有热量流入axaxxxukq)(tfB B）热传导）热传导axxuk0 xa如细杆热传导，如细杆热传导，x=a端自由冷却端自由冷却)(axuh则热流强

14、度与杆端则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度和周围介质温度 差有关系差有关系axaxxnukq（3 3）第三类边界条件）第三类边界条件axxHuu)(axxuk),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xax=0 处处0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxHuu0 xxukaxxHuu)(0)(xxuk（三）衔接条件（三）衔接条件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintan), 0(0txux22sintan), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00

15、txutxu例：半径为例：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出热传导的，写出热传导的边界条件。边界条件。1sinQMdSdt解：解：xy阳光照射，阳光照射，流入流入圆柱的热量为圆柱的热量为dS由于温度梯度，因散由于温度梯度，因散热流出圆柱的热流为热流出圆柱的热流为2-naaQkudSdtukdS dtxy设柱面外温度为设柱面外温度为u0dtdSukQa2柱面温度柱面温度 u| = a由牛顿冷却定律由牛顿冷却定律120()aQQh uudSdt1sinQMdSdt0sinaauMdSdtkdSdth uudSdt令令kMm khH 02当当M=0时，时，m=0 xy0sinaauMdSdtkdSdth uudSdt0sinauHumHu0auHuHu例：一根导热杆由两段构成，两段例：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、