等腰三角形的概念和性质

1、细心观察 积极探索在观察中发现特点 在探索中提高能力 让我们一起 走进美丽的数学世界A AC CB B 的三角形叫等腰三角形的三角形叫等腰三角形. . 腰腰腰腰底边底边底角底角底角底角顶角顶角一、一、 相等的两边都叫做相等的两边都叫做腰腰，另一边叫做，另一边叫做底边底边，两，两腰的夹角叫做腰的夹角叫做顶角顶角，腰和底边的夹角叫做，腰和底边的夹角叫做底角底角. .有两边相等有两边相等1.1.以下列各组数据为边长以下列各组数据为边长, ,可以构成等腰三角可以构成等腰三角形的是形的是( )( )(A A)4,9,4 (B)3,3,1 (C)2,4,2 (D)6,1,12. .已知等腰三角形的两边长分

2、别是已知等腰三角形的两边长分别是3 3和和7,7,则它则它的周长是的周长是( )( )(A)13 (B)17 (C) 13或17 (D)不确定不确定CB3、已知一等腰三角形三边分别为已知一等腰三角形三边分别为3x-1、 x+1、5，试求，试求x的值。的值。做一做做一做1 1： (1)(1)把准备的等腰三角形纸片拿出来；把准备的等腰三角形纸片拿出来；(2)(2)把三角形的顶角顶点记为把三角形的顶角顶点记为A A，底角顶点记为，底角顶点记为B B，C C。(3)(3)把三角形对折，让两腰把三角形对折，让两腰ABAB，ACAC重叠在一起，折重叠在一起，折痕为痕为ADAD。 二二. .等腰三角形性质的

3、探索等腰三角形性质的探索BACDABCDAB(C)D通过折叠通过折叠你发现什你发现什么？么？ 等腰三角形等腰三角形是是轴对称图形轴对称图形，顶角平分线所在顶角平分线所在的直线的直线是它的对是它的对称轴。称轴。 重合的线段：重合的线段：ABABACACBDBDCDCDADADADAD重合的角重合的角BADCADBCADBADCBACD 把剪出的等腰三角形沿折痕对折，把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角找出其中重合的线段和角(1)(1)等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形(2)B = C,(2)B = C,(3) BD = CD,(3) BD = CD,(4)ADB=ADC

4、= 90(4)ADB=ADC= 90, ,(5)BAD = CAD (5)BAD = CAD ，CABD问题问题1:1:上述结论（上述结论（2 2）用文字如何表述？）用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. .问题问题2:2:上述结论上述结论3 3、4 4、5 5用一句话可以归纳为什么？用一句话可以归纳为什么？等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合边上的高互相重合. .即即两底角相等两底角相等即即AD为底边上的中线为底边上的中线即即AD为底边上的高为底边上的高即即AD为顶角平分线为顶角平分线ACB 性质性质1

5、1：等腰三角形的两个底等腰三角形的两个底角相等角相等 ( (简写简写“等边对等角等边对等角”) )在ABC中AB=ACAB=ACBBCC 注意：注意：在在一个一个 三角形中三角形中,等边对等角等边对等角. 性质性质2 2：等腰三角形顶角的平分线、底边等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。上的高、底边上的中线互相重合。（简称（简称“三线合一三线合一”）CAB 1 2D D一般的三角一般的三角形有这种性形有这种性质吗？质吗？要注意是指顶角要注意是指顶角的平分线、底边的平分线、底边上的高、底边上上的高、底边上的中线这三线重的中线这三线重合。合。在在ABCABC中中（1 1）AB=

6、ACAB=AC，ADBCADBC， _=_ _=_，_=_=_；（2 2）AB=ACAB=AC，ADAD是中线，是中线， =，_；（3 3）AB=ACAB=AC，ADAD是角平分线，是角平分线， _ _，_=_. _=_. CAB 1 2D D等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质的性质用符号语言表示为：用符号语言表示为：1 12 2B BC C1 12 2ADADBCBCADADBCBCBDBDCD(2)(2)有一个角是有一个角是6060的等腰三角形，的等腰三角形，其它两个内角也为其它两个内角也为6060。（。（ ） 知识巩固：知识巩固：判断下列语句是否正确判断下列语句是否正确. .

7、(1)(1)等腰三角形的角平分线、中线和高等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合互相重合.( ).( )(3)(3)等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（ ） (4)(4)钝角三角形不可能是等腰三角形钝角三角形不可能是等腰三角形 。 （ ） 解 已知已知:在在ABC中，中，AB=AC，B=800。 求求C和和A的大小。的大小。AB=ACAB=ACC=BC=B=80=800 0又又A+B+C=180A+B+C=1800 0A=180A=1800 0-B-B-CC( (已知已知) )( (等边对等角等边对等角) )=180=1800 0-80-800 0-80-800 0( (等式的

8、性质等式的性质) )答：答：C C是是80800 0，A A是是20200 0。A ABC=20=200 0在等腰在等腰ABCABC中，顶角为中，顶角为8080。，底角底角内角内角。则另外个角的度数是则另外个角的度数是 。或或 分类讨论分类讨论 如图如图, ,在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，AD=AE,AD=AE,求证：求证：BD=CEBD=CEABCDE方法一：方法一：利用等腰三角形的性质利用等腰三角形的性质等腰对等角等腰对等角方法二：方法二：全等三角形的性质全等三角形的性质 如图在如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，AD=AE,AD=AE,求证：求证：BD=CEB

9、D=CEABCDEF F证明：证明：作作AFBC于点于点FAB=ACBF=CF(三线合一三线合一)又又AD=AE DF=EF (三线合一三线合一)BD=BF-DF =CF-EF=CE即即BD=CE 如图在如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，AD=AE,AD=AE,求证：求证：BD=CEBD=CEABCDE证明：证明：AD=AEAB=ACB=CADE=AED (等边对等角等边对等角)ADB=1800-ADE=1800-AED=AEC在在ABD与与AEC中中B=CADB=AECAB=ACABD AEC (AAS)BD=CE(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)解：解： AB=AC

10、 AB=AC（已知）（已知） B=C B=C（等边对等角）（等边对等角） 又又BAC=120BAC=120B=C= 30B=C= 30 又又BD=AD(BD=AD(已知已知) ) BAD=B= 30 BAD=B= 30（等边对等角）（等边对等角） 同理同理 CAE =C= 30 CAE =C= 30 DAE =BAC DAE =BACBADBADCAECAE =120 =12030303030 =60 =60 变式练习：如图变式练习：如图, ,在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=120BAC=120，点，点D D、E E是底边的两点，是底边的两点，且且BD=ADBD=AD，CE=AECE=AE，求求DAEDAE的度数。的度数。ABCDE(1)(1)本节课里你学到了什么？本节课里你学到了什么？(2)(2)等腰三角形中常作的辅助线等腰三角形中常作的辅助线: :作顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线作顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线等腰三