2001考研数四真题及解析

1、 Born to win2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设生产函数为, 其中是产出量, 是劳动投入量,是资本投入量,而均为大于零的参数,则当时关于的弹性为 (2) 设，且当时，则= (3) 设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为 (4) 设矩阵且秩()=3,则 (5) 设随机变量的数学期望都是,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式 .二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设的

2、导数在处连续,又则 ( )(A) 是的极小值点.(B) 是的极大值点.(C)是曲线的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是曲线的拐点.(2) 设其中则在区间内 ( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设其中 可逆,则等于 ( )(A) (B) (C) (D).(4) 对任意二事件，与不等价的是 ( )(A) (B) (C) (D)(5) 将一枚硬币重复掷次,以分别表示正面向上和反面向上的次数,则的相关系数等于 ( )(A) -1 (B) 0 (C) (D) 1三 、(本题满分6分)设有连续的一阶偏导数,又函数及分别由下列两式确定:和求四 、(本题满分6分)已知在内可导,

3、且求的值.五 、(本题满分6分)求二重积分的值,其中是由直线及围成的平面区域.六、(本题满分7分)某商品进价为(元/件),根据以往经验，当销售价为(元/件)时，销售量为件(均为正常数，且)，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价.试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润.七、(本题满分6分)设在区间上连续,在内可导,且满足证明: 至少存在, 使得八、(本题满分6分)设函数在内连续，且对所有，满足条件求.九、(本题满分9分)设矩阵已知线性方程组有解但不唯一,试求:(1) a 的值; (2) 正交矩阵,使为对角矩阵.十、(本题满分8分)设是维实向量，

4、且线性无关.已知是线性方程组的非零解向量.试判断向量组的线性相关性.十一、(本题满分8分)一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (,其中是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量的联合分布在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量的方差.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】【使用概念】设在处可导，且，则函数关于的弹性在处的值为【详解】由，当时，即，有于是关于的弹性为：

5、(2)【答案】【详解】由题设y =0时，知，即：，从而 ，于是 故 (3)【答案】-28【详解】方法1： 用j =( 1，2，3，4) 表示第四行各元素的余子式，由余子式的概念，有故M41+M42+M43+M44 =(-56)+0+42+(-14)=28.方法2：用 (j =1，2，3，4) 表示第四行各元素的代数余子式， 由于于是M41 +M42 +M43 +M44 =A41 +A42A43 +A44(4) 【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对进行初等变换可见只有当k =3时，r(A)=3.故k =3.方法2：由题设r(A)=3，

6、故应有四阶矩阵行列式.由 解得 k =1或k = 3. 当k =1时，可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =3. (5)【答案】【所用概念】(i) 切比雪夫不等式为：(ii) 期望和方差的性质：，(iii) 相关系数的定义：【详解】把看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.故 所以由切比雪夫不等式：二、选择题(1)【答案】 B【详解】方法1：由知又函数的导数在处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以，于是有即，根据判定极值的第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且，当时，函数在处取得极大值. 知是的极大值点，因此，正确选项为(B).方法2

7、：由及极限保号性定理：如果，且(或)，那么存在常数，使得当时，有(或)，知存在的去心邻域，在此去心邻域内.于是推知，在此去心邻域内当时；当时又由条件知在处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数在处连续，且在的某去心领域内可导，若时，而时，则在处取得极大值，知为的极大值. 因此，选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g(x)的表达式.当时， ，有 当时， ，有即 因为 ，且 ，所以由函数连续的定义，知在点处连续，所以在区间内连续，选(D).同样，可以验证(A)、(B)不正确，时，单调增，所以(B)递减错；同理可以验证当时，单调增，所以，即与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详

8、解】由所给矩阵观察，将的列互换，再将的列互换，可得. 根据初等矩阵变换的性质，知将的列互换相当于在矩阵的右侧乘以，将的列互换相当于在矩阵的右侧乘以，即，其中，由题设条件知，因此.由于对初等矩阵有，故.因此，由，及逆矩阵的运算规律，有.(4)【答案】【详解】 等价于或，也就说明没有公共部分，即.故与(A)、(B)、(C)都等价.如果(D)，成立即，就有与不等价.(5) 【答案】【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以，从而，故 由方差的定义：， 所以)由协方差的性质： (为常数)；)所以 由相关系数的定义，得 三【变限积分求导公式】【详解】 根据复合函数求导公式，有 (*)在两边分别对

9、求导，得即 在两边分别对x求导，得 即将其代入(*)式，得四 【详解】因为 (把写成) (把写成) (利用幂函数的性质) (利用对数性质) (利用对数性质) (利用函数的连续性，)(当各部分极限均存在时，) (利用函数的连续性，) (利用) ()又因为在内可导，故在闭区间上连续，在开区间内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有左右两边同时求极限，于是，因为，趋于无穷大时，也趋向于无穷大由题意， 从而，故五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成其中，于是六【详解】设表示降价后的销售价，销售价下降的部分可记作，表示由此而产生的增加的销售量，销售价下降10%，即下降，销售量增加40%，即增加，那么 则

10、令为总利润，从而上式左右两端分别对求导，得令得唯一驻点(即，使得一阶导数值为零的点) 由问题的实际意义或(极值判定的第二充分条件)，可知为极大值点，也是最大值点，故定价为时获得最大利润，为七【详解】将要证的式子中的换成，即要证方程 (1)在区间内存在根. 用罗尔定理去证. 为此，先构造辅助函数. 用“微分方程法”，将(1)看成是一个微分方程，分离变量，得式子左右两端积分，利用及，得去掉绝对值符号，得，记，则，即，由，及积分中值定理(如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使得)， 知至少存在一点使得令，在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得又 ，即有 即 八

11、【详解】因为连续，所以题中的每一个积分均可导，(如果在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，且).等式的每一项都是的可导函数，于是等式两边对求导，得即 在式中，令，则由，得 则，是内的可导函数. 式两边对求导，得利用及 即 上式两边求积分，得利用函数积分和求导之间的关系，以及由在上式中令，得于是 九【详解】(1) 线性方程组有解但不唯一，即有无穷多解，将增广矩阵作初等行变换，得因为方程组有解但不唯一，所以，故a=2.(2) 由(1)，有由故A的特征值为.当时，于是得方程组的同解方程组为可见，可知基础解系的个数为，故有1个自由未知量，选为自由未知量，取，解得对应的特征向量为.当时，于是得方程组的

12、同解方程组为可见，可知基础解系的个数为，故有1个自由未知量，选为自由未知量，取，解得对应的特征向量为.当时，于是得方程组的同解方程组为可见，可知基础解系的个数为，故有1个自由未知量，选为自由未知量，取，解得对应的特征向量为.由于是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将单位化，其中，令则有 十【详解】方法1：用线性无关的定义证明设有一组数使得 (*)因为是线性方程组的非零解向量，故有因此，由题设条件，可得，也即.(*)式两边左乘，得将代入上式，可得.又由已知，得，故k =0. 将k =0代入(*)式，得由于向量组线性无关，所以由线性无关的定义，可

13、知即 因此向量组线性无关.方法2：用反证法题设条件向量组线性无关，若向量组线性相关，则可由线性表出(且表示法唯一)，设为因为是线性方程组的非零解向量，故有因此，由题设条件，可得也即.(*)式两边左乘，得将代入上式，可得.这和，矛盾，故不能用线性表出，与假设矛盾，从而有向量组线性无关.十一【应用定理】(i) 期望的性质：；独立随机变量方差的性质：若随机变量独立，则(ii) 列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量相互独立同分布，方差存在，记分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数，恒有(通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若，则【详解】设是装运的第箱的重量(单位:千克)， n是所求箱数. 由题设可以将视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量是独立同分布随机变量之和.由题设，有(单位:千克)所以 则根据列维林德柏格中心极限定理，知近似服从正态分布，箱数根据下述条件确定 (将标准化)由此得从而， 即最多可以装98箱.O十二【详解】方法1：三角形区域为因在上服从均匀分布则随机变量X和Y的联合密度为: (二维均匀分布的密度为其总面积的倒数)随机变量函数期望的计