2.2常见函数附思维导图要点

1、2.2 常见函数一、 一次函数和常函数：思维导图：（一） 、一次函数 （二）、常函数定义域：（- ，+ ） 定义域: （- ，+ ）值 域：（- ，+ ） 正 k=0 反 值 域： b 解析式：y = kx + b( k 0 ) 解析式：y = b ( b为常数)图 像：一条与x轴、y轴相交的直线 图 像：一条与x轴平行或重合的直线 y b>0 b=0 b<0 y y b>0 o x 0 x o x b=0 b<0 b=0 b>0 b<0 K > 0 k < 0单调性： k > 0 ,在（- ，+ ） 单调性：在（- ，+ ）上不单调 k

2、< 0 ,在（- ，+ ）奇偶性： 奇偶性: 偶函数 周期性: 非周期函数 周期性：周期函数，周期为任意非零实数反函数：在（- ，+ ）上有反函数 反函数:在（- ，+ ）上没有反函数 反函数仍是一次函数例题：二、二次函数1、定义域：（- ，+ ）2、值 域： 3、解析式： 4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线 对称轴： ； ：与x轴交点的个数。 5、单调性： 6、奇偶性：7、周期性：非周期函数8、反函数：在（- ，+ ）上无反函数， 例题:三、反比例函数和重要的分式函数（一）、反比例函数 （二）、分式函数定义域：（- ，0）（0，+ ） 定义域： 值 域：（- ，0）（0，+ ） 值

3、 域: 解析式： 解析式：图 像：以x轴、y轴为渐进线的双曲线 图 像：以和为渐近线的双曲线 y y 0 x 0 x k > 0 k < 0单调性： k>0,（- ，0）,（0，+ ） 单调性:在和上 k<0,（- ，0）,（0，+ ） 单调性相同奇偶性：奇函数 奇偶性：非奇非偶对称性：关于原点对称 对称性：关于点成中心对称周期性：非周期函数 周期性：非周期函数反函数：在定义域上有反函数， 反函数：在定义域有反函数， 反函数是其本身。 反函数是（三）、 （四）、定义域：（- ，0）（0，+ ） 定义域：（- ，0）（0，+ ）值 域： 值 域:（- ，+ ）图 像： 图

4、 像： 单调性： 单调性：（- ，0）（0，+ ）奇偶性：奇函数 奇偶性：奇函数对称性：关于原点对称 对称性：关于原点对称四、指数函数、对数函数和幂函数（一）、指数和对数运算及性质：1、根式过去，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质：整数指数幂概念整数指数幂运算性质an（nN*）（1）amanamn（m，nZ）a01（2）（am）nam·n（m，nZ）an（3）（ab）nan·bn（nZ）因为am÷an可看作am·an，所以am÷anamn可以归入性质(1)；又因为()n可看作an·b-n，所以（）n可以归入性质(3).现在我们来研

5、究如何用幂表示底数。（1）、n次方根的定义：若xna（n1且nN*），则x叫a的n次方根.问题：x如何用a表示呢?【平方根】偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；【立方根】奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.（2）、n次方根的性质：，其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.（3）、根式的运算性质（） 性质推导过程：当n为奇数时，x，由xna得（）na；当n为偶数时，x±，由xna得（）na；综上所述，可知：（）na.性质推导过程：当n为奇数时，由n次方根定义得：a；当n为偶数时，由n次方根定义得：

6、a±则a±综上所述：例1、求下列各式的值(1) （2）(3) （4）（ab）解：(1) 8(2) 10(3) 33(4) abab（ab）例2、求值：分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：2、分数指数幂（1）.正数的正分数指数幂的意义 （2）.规定：(1) (2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用. 若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，

7、有关概念和证明在本书从略.即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质.3.幂的运算性质(1) (2) (3) 例：求下列各式的值：(1)25 （2）27（3）（）（4）（）（5）（6）2××解：(1)53125(2)329(3)(4) (5)= (6)2××2×3×（）×（3×22）2×3×3×2×3×2（2×2×2）×（3×3×3）2×32×363、对数运算及运算性质：引例：假设1995年我国的国

8、民生产总值为 a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍则有 a（18%）x2a 1.08x2用计算器或计算机作出函数图像，计算出x值这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 abN中，已知a 和N求b的问题。（这里 a0且a1）（1）定义：一般地，如果 a（a0且a1）的b次幂等于N, 就是 abN，那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作 log a Nb，a叫做对数的底数，N叫做真数。（2）、指数式和对数式的互换：abN + - log a Nb 例如：4216 log4162 ； 102100 log10100

9、242 log42 ； 1020.01 log100.012（3）、对数的性质、负数与零没有对数 在指数式中 N > 0 、对任意 a0且a1， 都有 a01 log a 10同样易知： log a a1、对数恒等式：如果把 abN 中的 b写成 log a N, 则有 aN、指数恒等式：、常用对数我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数例如：log 105简记作lg 5 log103.5简记作lg3.5.、自然对数在科学技术中常常使用以无理数e2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数。例如：loge3简记作ln3 loge10简记

10、作ln10（4）.运算性质：若a0，a1，M0，N0，则(1) ;(2) ;(3) 【现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用】.证明：(1)设logaMp，logaNq由对数的定义得：Map，Naq MNap·aqap+q再由对数定义得logaMNpq，即证得logaMNlogaMlogaN(2)设logaMp，logaNq 由对数的定义可以得Map，Naq， apq，再由对数的定义得 logapq即证得logalogaMlogaN(3)设logaMp 由对数定义得MapMn（ap）nanp

11、 再由对数定义得logaMnnp 即证得logaMnnlogaM例：计算：（1）lg142lglg7lg18 （2） （3） 【解析】(1)、解法一：lg142lglg7lg18lg(2×7)2(lg7lg3)lg7lg(32×2)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20解法二：lg142lglg7lg18lg14lg（）2lg7lg18lglg10（2）（3）（5）.对数换底公式：证明：设log a Nx , 则 axN 两边取以m为底的对数：log m axlog m Nx log m alog m N 从而得：x log a N两个常用的推论: 证：log

12、a b·log b a1 log bnlog a b 例：设 x、y、z（0，）且3x4y6z 1° 求证 ； 2° 比较3x，4y，6z的大小 证明1°：设3x4y6zk x、y、z（0，） k1 取对数得：x， y， z 2° 3x4y（）lgklgk0 3x4y 又4y6z（）lgklgk0 4y6z 3x4y6z （二）、指数函数、对数函数和幂函数已知，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：关系一：N如何随着b的变化而变化以指数为自变量、以幂为因变量的函数指数函数；关系二：N如何随着a的变化而变化以底数为自变量、以幂为因变量的函数幂

13、函数；关系三：a如何随着b的变化而变化(指数为自变量、幂为因变量) 指数函数；+ 关系四：b如何随着N的变化而变化（以真数为自变量、以对数为因变量） 对数函数；关系五：a如何随着N的变化而变化（以底数为自变量、幂为因变量） 指数函数关系六：b如何随着a的变化而变化； 定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量。 函数叫做对数函数。 函数叫做幂函数，其中x是自变量。1、指数函数 2、对数函数定义域：（- ，+ ） 定义域:（0，+ ）值 域：（0，+ ） 值 域：（- ，+ ）解析式： 解析式：图 像：位于x 轴上方，向x轴无限接近 图 像：位于y轴右侧，向y轴无限接近 y y y y 1 1 0

14、x 0 x 0 1 x 0 1 x 【特殊点】恒过（0，1），（1，a) 【特殊点】恒过（1，0)，（a，1）【y = 1】 【x = 1】 或 或 或 或 【底数的大小】 y 【底数的大小】 y x 0 x 0 单调性： 单调性： 奇偶性：无 奇偶性：无周期性：无 周期性：无反函数： 反函数： 3、幂函数问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？（1）y；（2）y；（3）y；（4）y思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行

15、判断（1）定义域为0，），（2）（3）（4）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？（1）yx1；（2）yx2；（3）y；（4）y思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是x|x0，（3）的定义域是（0，）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数它们的图象都经过点（1，1），且在

16、第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比【五个重要的幂函数】：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 定义域值域奇偶性单调性定点【幂函数性质】（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；

17、当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴例1讨论函数y的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图思路：函数y是幂函数（1）要使y有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R（2）xR，x20 y0（3）f（x）f（x），函数y是偶函数；（4）n0，幂函数y在0，上单调递增由于幂函数y是偶函数，幂函数y在（，0）上单调递减（5）其图象如右图所示例2比较下列各组中两个数的大小：（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（1.2），（1.25）解析：（1）考查幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增， 1.51.7 1.51.7（2）考查幂函数y的单调性，同理0.71.5