信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论

1、第三章第三章 标量衍射理论标量衍射理论概述概述 信息光学为什么要研究光的传播？信息光学为什么要研究光的传播？信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的传播规律。传播规律。 光的传播规律应该用什么理论进行描述？光的传播规律应该用什么理论进行描述？在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规律是用电磁波理论来描述的。律是用电磁波理论来描述的。 概述概述

2、什么是标量衍射理论？什么是标量衍射理论？ 光的衍射光的衍射几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离。光路的任何偏离。信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级一个量级时，衍射现象最显著。时，衍射现象最显著。 光的标量衍射理论的条件光的标量衍射理论的条件（1 1）衍射孔径比波长大很多；）衍射孔径比波长大很多；（2 2）观察点离衍射孔不靠太近。）观察点离衍射孔不靠太近。标量衍射理论是一种标量衍射理论是一种近似近似

3、理论，当衍射场能量分布理论，当衍射场能量分布与光的偏振状态密切相关时，必须采用与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理矢量衍射理论论。 概述概述标量衍射理论的发展历程标量衍射理论的发展历程 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象；年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象； 1678年惠更斯提出子波的假设；年惠更斯提出子波的假设； 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加可以产生暗斑；可以产生暗斑； 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理；年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波；年麦

4、克斯韦认为光等同于一个电磁波； 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式；波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式； 瑞利瑞利-索末菲公式的提出与完善。索末菲公式的提出与完善。概述概述本章主要研究内容和特点本章主要研究内容和特点 主要研究内容：主要研究内容： 从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发，讨从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发，讨论衍射问题。论衍射问题。 特点：特点：光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释；光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释；将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学将

5、衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学系统的脉冲响应和传递函数。系统的脉冲响应和传递函数。第三章第三章 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论光场随时间的变化关系光场随时间的变化关系: 由频率由频率n n表征。表征。单色光场中某点单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻在时刻 t 的光振动可表为的光振动可表为:可见光可见光: : n n 1014Hz严格单色光严格单色光: : n n为常数为常数光场随空间的变化关系体现在：光场随空间的变化关系体现在： (1) (1) 空间各点的振幅可能不同空间各点的振幅可能不同(2) (2) 空间各点的初位相可能不空间各点的初位相可能不 同，由传播引起。同，由传播

6、引起。光场变化的空间周期为光场变化的空间周期为l l。光场变化的时间周期为光场变化的时间周期为1/ n n。由于由于u(P,t) 必须满足波动方程，必须满足波动方程，可以导出可以导出a(P)、n n、 j j(P)必须满足的关系必须满足的关系3-1 光波的数学描述光波的数学描述一、一、光振动的复振幅表示光振动的复振幅表示 ,cos 2u P tta PPjn振幅振幅初位相初位相频率频率3-1 光波的数学描述光波的数学描述一、光振动的复振幅表示一、光振动的复振幅表示光场随时间的变化光场随时间的变化e -j2pnpnt： u(P,t) = a(P)cos2pnpnt - j j(P) = ea(P

7、)e-j2pnpnt -j j(P) n n 1014Hzn n为常数，线性运算后不变为常数，线性运算后不变对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。故引入故引入复振幅复振幅U(P):为了导出为了导出a(P)、n n、 j j (P)必须满足的关系，将光场用复数表必须满足的关系，将光场用复数表示，以利于简化运算示，以利于简化运算= ea(P) e jj j(P). e -j2pnpnt 复数表示有利于复数表示有利于将时空变量分开将时空变量分开U(P) = a(P) e jj j(P)则则 u(P,t)= e U(P) e -j2pnpnt 3-

8、1 光波的数学描述光波的数学描述一、光振动的复振幅表示一、光振动的复振幅表示 U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布，是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关；与时间无关；U(P) = a(P) e jj j(P) U(P)同时表征了空间各点的振幅同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|和相对位相和相对位相arg(U)= j j(P) 方便运算，满足叠加原理方便运算，满足叠加原理 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动：实际物理量是实量，要恢复为真实光振动： 光强分布：光强分布：I = UU* 光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方光强是波印廷矢量的时

9、间平均值，正比于电场振幅的平方 u(P,t)= eU(P)exp(-j2pnpnt) 即可即可3-1 光波的数学描述光波的数学描述一、光振动的复振幅表示一、光振动的复振幅表示电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的相互激发形成统一的场场电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的传播形成电磁波。传播形成电磁波。 波动方程：波动方程：波动方程是波动方程是线性线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组的，也就是说满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。可以证明，合都是方程的解。可以证明，球面波球面波和和

10、平面波平面波都是波动方程都是波动方程的的基本解基本解。任何。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示合表示，也都是波动方程的解。，也都是波动方程的解。 2222222210()10()EEctBBct 电场磁场拉普拉斯算符拉普拉斯算符传播速度传播速度3-1 光波的数学描述光波的数学描述一、光振动的复振幅表示一、光振动的复振幅表示可导出复振幅满足的方程为：可导出复振幅满足的方程为：将将U(P)exp(j2pn pn t)代入波动方程代入波动方程012222utcu0)(22Uk即亥姆霍兹（即亥姆霍兹（Helmholtz)方程方程 不含时间变量的波动方

11、程不含时间变量的波动方程 称为称为波数波数或或传播常数传播常数，表示表示单位长度上产生的相位变化单位长度上产生的相位变化lp2k 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹方程。也就是说，亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。布完善地描述单色光波场。 3-1 光波的数学描述光波的数学描述二、球面波的复振幅表示二、球面波的复振幅表示点光源或会聚中心点光源或会聚中心球面波：等相面为球面，且所有等相面有球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心共同中心的波的波k = |

12、k |=2p p /l l , 为波数。表为波数。表示由于波传播示由于波传播, 在单位长度在单位长度上引起的位相变化上引起的位相变化, 也表明也表明了光场变化的了光场变化的“空间频率空间频率”(P(x,y,z)0zyx源点源点S(rk设观察点设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为与发散球面波中心的距离为r, k: 传播矢量传播矢量球面波的等位相面：球面波的等位相面：以以S为中心的球面，为中心的球面，r =constjkreraPU0)(则则P点处的复振幅：点处的复振幅：j j(P) = k . rk : 传播矢量传播矢量球面波球面波: k/ra0: 单位距离单位距离处的光振幅处的

13、光振幅3-1 光波的数学描述光波的数学描述二、球面波的复振幅表示二、球面波的复振幅表示会聚球面波会聚球面波会聚球面波会聚球面波jkreraPU0)(P(x,y,z)会聚点会聚点S(r0zyxk3-1 光波的数学描述光波的数学描述二、球面波的复振幅表示二、球面波的复振幅表示球面波的空间分布球面波的空间分布距离距离 r 的表达的表达若球面波中心在原点若球面波中心在原点: 222zyxr若球面波中心在若球面波中心在 S (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyxxrjkreraPU0)(P点处的复振幅点处的复振幅:取决于取决于k与与r是平行是平行还是反平行还是反平行3-1 光波的

14、数学描述光波的数学描述二、球面波的复振幅表示二、球面波的复振幅表示球面波在给定平面的分布球面波在给定平面的分布以系统的光轴为以系统的光轴为z轴，光沿轴，光沿 z 轴正方向传播。所轴正方向传播。所考察的平面垂直于考察的平面垂直于z 轴。轴。令点光源位于令点光源位于z = 0的平面上坐标的平面上坐标(x0, y0)处。考察与处。考察与其距离为其距离为z的的x - y平面上的光分布平面上的光分布2/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近轴近似需要作近轴近似3-1 光波的数学描述光波的数学描述二、球面波的复振幅表示二、球面波的复振幅表示球面波：近轴近似球面

15、波：近轴近似只考虑只考虑 x - y平面上对源点平面上对源点 S 张角不大的范围，即张角不大的范围，即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展开可以作泰勒展开(1+D D)1/2 1+ D D /2一级近似一级近似二级近似二级近似对振幅中对振幅中r 的可作一级近似。的可作一级近似。但因为但因为 k 很大，对位相中的很大，对位相中的 r 须作二级近似须作二级近似jkreraPU0)(20200)()(2exp)exp(yyxxzkjjkzza3-1 光波的数学描述光波的数学描述二、球面波的复振幅表示二、球面波的复振幅表示-近轴近似近轴近似已将球面波中心取在已将球

16、面波中心取在 z = 0的平面，且光波沿的平面，且光波沿 z 轴正方向传播。轴正方向传播。如果如果 z 0，上式代表从，上式代表从 S 发散的球面波。发散的球面波。如果如果 z b0。观察平面与光栅相距。观察平面与光栅相距z。当。当 z 分别取下列各数值时，确定分别取下列各数值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 （式中（式中zT称作泰伯距离）称作泰伯距离） baldzzTldzzTldzzT（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的频域表达式解：采用菲涅耳衍射的频域表达式 1 ,)()(2)()(000dfffffbfa

17、fTxxxx输入频谱：输入频谱：菲涅耳衍射的传递函数：菲涅耳衍射的传递函数：)exp()exp()(2xxzfjjkzfHpl此传递函数对平面波分量只引起相移此传递函数对平面波分量只引起相移菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应解：采用菲涅耳衍射的频域表达式解：采用菲涅耳衍射的频域表达式 1 ,)()(2)()(000dfffffbfafTxxxx输入频谱：输入频谱：菲涅耳衍射的传递函数菲涅耳衍射的传递函数: :)exp()exp()(2xxzfjjkzfHpl此传递函数对平面波分量只引起相移此传递函数对平面波分量只引起相移输出频谱：输出频谱：)exp()exp()()(2)()(

18、200 xxxxxzfjjkzffffbfafTpl)()()exp(2)()exp(0020ffffzfjbfajkzxxxpl故：故： dxdzjbajkzxtplp2cos)22exp()exp(2菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应 dxdzjbajkzxtplp2cos)22exp()exp(2观察平面的观察平面的复振幅分布：复振幅分布：在泰伯距离：在泰伯距离：ldzzT1)22exp(2dzjlp dxbajkzxtTp2cos)exp(与原物的复振幅分布只差一个与原物的复振幅分布只差一个常数位相因子常数位相因子自成像自成像 22cosdxbaxIp像强度分布：像强度分

19、布：与原物的强度分与原物的强度分布完全相同布完全相同菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应思考思考: : 在两个自成像位置的中间位置在两个自成像位置的中间位置, , 光强度分布如何变化光强度分布如何变化? ?自成像发生在泰伯距离的整数倍上。自成像发生在泰伯距离的整数倍上。泰伯距离泰伯距离: :l22dzT原物：原物：像：像：菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。 a提示提示: 1. 用用F.T.表达式表达式, 并取

20、并取x = y = 0, 2. 用极坐标用极坐标, 积分可求出积分可求出.圆孔的复振幅透圆孔的复振幅透过率过率 , 0 , 1circ),(22020202000其它ayxayxyxt轴上强度分布轴上强度分布: :222sin4)0 , 0(azIzlp取取a=1mm, l=0.633mm, 作出作出 I(0,0)z 随随 z 变化的曲线变化的曲线z/a 1不满足时不满足时, 菲涅耳近似失效。菲涅耳近似失效。当当 时，时， I (0,0)z = 0 为极小值为极小值maza2/l当当 时时, I (0,0)z = 4 为极大值为极大值12/ mazal菲涅耳圆孔衍射轴上强度: a/l=1580

21、0123410100100010000传播距离z/a强度m的最小值为的最小值为0，当，当 时，时， 过渡过渡到夫琅和费近似。到夫琅和费近似。llaazaza , 1/即222sin4)0 , 0(azIzlp3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换1、夫琅和费衍射公式及其成立的条件、夫琅和费衍射公式及其成立的条件此条件容易满足。例如此条件容易满足。例如, l l = 632.8nm, Rmax = 31mm z1.2mzyfzxfyxzkjyxUyxzkjjkzzjyxUyxlll,)(2exp),( )(2exp)exp(1),(20200022菲涅耳衍射的菲涅耳衍射的F.T

22、.表达式表达式:上式成立上式成立的条件的条件: :l4max4max334max3220208 , 18 , 1)()(8RRkzzkRzyyxxk或即如果进一步对系统施加限制如果进一步对系统施加限制, , 使得使得1)(22020 yxzk则衍射过渡到夫琅和费衍射区则衍射过渡到夫琅和费衍射区d为孔径的为孔径的最大线度最大线度l228 ddkz即3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式除了一个与传播距离除了一个与传播距离z及观察面坐标有关的位相因子以外，在及观察面坐标有关的位相因子以外，在给定距离给定距离z的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场

23、的傅的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅里叶变换，其里叶变换，其振幅振幅及及变换的尺度变换的尺度与距离与距离z有关。有关。衍射图样及光强的分布正比于孔径透射函数的功率谱衍射图样及光强的分布正比于孔径透射函数的功率谱: :zyfzxfyxUyxzkjjkzzjzyxUyxlll,)0 ,( )(2exp)exp(1),(0022zyfzxfyxUzyxIyxlll,),( 1),(20023-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式:讨论讨论 夫琅和费衍射区的条件苛刻夫琅和费衍射区的条件苛刻例例: : l l =632.8nm, Rmax =

24、31mm 菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区 z 1.2m 夫琅和费衍射区要求夫琅和费衍射区要求 z 6.3ml l =532nm，夫琅和费衍射区要求，夫琅和费衍射区要求 z 7.5m 与菲涅耳衍射的关系与菲涅耳衍射的关系菲涅耳衍射区包括了夫琅和费衍射区菲涅耳衍射区包括了夫琅和费衍射区夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的进一步近似夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的进一步近似3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换 2、一些简单孔径的夫琅和费衍射、一些简单孔径的夫琅和费衍射照明条件：振幅为照明条件：振幅为A的单色平面波垂直照明的单色平面波垂直照明孔径：孔径：复振幅透过率复振幅透过率 孔径函数的频谱孔径函数的

25、频谱t (x0,y0) T (fx,fy)F.T.屏后光场复振幅屏后光场复振幅U (x0,y0) = A t (x0,y0)衍射公式衍射公式(观察面的观察面的光场分布光场分布)：zyzxTyxzkjjkzzjAzyfzxfyxtyxzkjjkzzjAyxUyxllllll,)(2exp)exp( ,),( )(2exp)exp(),(220022我们更关心衍射图样的我们更关心衍射图样的强度分布：强度分布：222,),(),(zyzxTzAyxUyxIlll3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换 简单孔径的夫琅和费衍射：圆孔简单孔径的夫琅和费衍射：圆孔 /2)/2(2)0()(

26、)0(2)2(2circ circ)(212212000zarzarJIrIzaIaaJaararrtzrlplplpppplAiry Pattern第一暗环半径：第一暗环半径：D Dr2p pa/l lz = 3.83, D Dr = 0.61l lz/a D Dr/z =0.61l l/a方向严格沿方向严格沿z方向传播的无穷方向传播的无穷大平面波，在受到孔径限制大平面波，在受到孔径限制后，角度展宽为后，角度展宽为q q = 0.61l l/a。孔径越小，角度展宽越大。孔径越小，角度展宽越大。3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换 简单孔径的夫琅和费衍射：矩孔简单孔径的夫琅

27、和费衍射：矩孔ax/lzI/I(0)0 1-11zbyzaxzabyxIzyfzxfbfafabyxtbyaxyxtyxyxlllll222000000sincsinc),(,),(sinc)(sinc),( rectrect),(中央亮斑宽度中央亮斑宽度: Dx =2lz/a, Dy =2lz/bx, y方向的角展宽方向的角展宽:2/,2/bazxyxlqlqDDD与圆孔数量级相同。与圆孔数量级相同。孔尺寸越小，角展宽越大孔尺寸越小，角展宽越大若若ba, 成为单缝，可仅作一维处理成为单缝，可仅作一维处理3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换 简单孔径的夫琅和费衍射：双缝简单

28、孔径的夫琅和费衍射：双缝fxasinc(afx)01/aa* F.T.F.T.F.T.rect(x0/a)0a a/2aa/21x00 d/2 d/2 (x0-d/2)+ (x0-d/2)1x01x0t (x0)0d/2 d/22cos (p pfxd)f02双缝的频谱是两个双缝的频谱是两个单缝的频谱以一定单缝的频谱以一定的位相关系互相干的位相关系互相干涉的结果涉的结果3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换衍射光栅衍射光栅（线光栅）线光栅）有限缝数的线光栅复有限缝数的线光栅复振幅透过率函数：振幅透过率函数：xLxdxdaxxt0000rectcomb1rect)(单个狭缝单个

29、狭缝有限尺寸有限尺寸阵列函数阵列函数观察面上的复振幅分布观察面上的复振幅分布( (忽略了常数幅相因子忽略了常数幅相因子) )：xxxxxxfLLdfafafTsinccomb)c(sin)(分立的无限细谱线分立的无限细谱线,间隔为间隔为1/d ( 即光栅基频）即光栅基频）受基元孔径衍射的调制受基元孔径衍射的调制光栅有限尺寸引起的光栅有限尺寸引起的谱线展宽谱线展宽宽度为宽度为1/Lx谱线的概念：谱线的概念：comb(dfx)的周期性结构形成谱线，的周期性结构形成谱线，Lx d ，1/ Lx1/d，各谱线的，各谱线的sinc函数互不重叠。函数互不重叠。3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与

30、傅里叶变换衍射光栅衍射光栅：线光栅线光栅强度分布是强度分布是|T(x)|2，并附加传播引起的振幅衰减因子，并附加传播引起的振幅衰减因子若要进行数值计算或画截面图等，将若要进行数值计算或画截面图等，将comb(dfx) 和卷积展开更方便和卷积展开更方便)(sinccsin)(dnfLdandaLfTxxnxxfx =x/l lz, fy =y/l lz)(sinccsin)(222dnfLdandzaLfIxxnxxl3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换衍射光栅：线光栅衍射光栅：线光栅谱线间隔为谱线间隔为1/d, 即光栅基频即光栅基频谱线宽度为谱线宽度为1/Lx决定于光栅有限

31、决定于光栅有限尺寸尺寸3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换衍射光栅：余弦型振幅光栅衍射光栅：余弦型振幅光栅全息光栅全息光栅lylxxfmyxt000000rectrect)2cos(221),(p复振幅透过率复振幅透过率: :m1/l，即光栅的周期比光栅的尺寸小得多，即光栅的周期比光栅的尺寸小得多(dl)，则三个，则三个sinc函数之间不存在交叠。函数之间不存在交叠。夫琅和费衍射图的复振幅分布为：夫琅和费衍射图的复振幅分布为： )(sinc2)(sinc2sincsinc)(2exp)exp(2),()(2exp)exp(1),(00222,22zfxzlmzfxzlmzl

32、xzlyyxzkjjkzzjlffTyxzkjjkzzjyxUzyfzxfyxyxllllllllll3-4 夫琅禾费衍射与傅里叶变换夫琅禾费衍射与傅里叶变换衍射光栅：余弦型振幅光栅衍射光栅：余弦型振幅光栅全息光栅全息光栅用平面波照明的光栅后方光能量用平面波照明的光栅后方光能量重新分布，其能量只集中在三个重新分布，其能量只集中在三个衍射级上。衍射级上。0级与级与+1级衍射间的级衍射间的距离为距离为f0 0l lz 。 傅里叶分析方法比传统的光程差分析方法要简捷得多傅里叶分析方法比传统的光程差分析方法要简捷得多 因为三个因为三个sinc函数之间不存在交叠函数之间不存在交叠,衍射图的光强度分布为：衍射图的光强度分布为： )(sinc4)(sinc4s