§7.3(1)三重积分的概念和计算方法

1、一、三重积分的定义一、三重积分的定义.),(lim),(10iniiiivfdvzyxf .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 来划分来划分用平行于坐标面的平面用平行于坐标面的平面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三重积记为三重积记为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . . .积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中 dxdydz三重积分的性质与二重积分的类似。三重积分的性质与二重积分的类似。特别地，特别地，被被积积函函数数1),( zyxf时时， 的的体体积积 dv . . 直角坐标系中将三重积分化为三次积分

2、直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算)(1xyy )(2xyy 如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zzxyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2z的的函函数数，则则只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(.),(),(),(),(

3、21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得是是 x、y 的函数。的函数。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意相交不多于两点情形相交不多于两点情形的边界曲面的边界曲面区域区域内部的直线与闭内部的直线与闭轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域平行于平行于Sz )1(分分若若干干个个小小区区域域来来讨讨论论相相交交多多于于两两点点时时，把把的的边边界界曲曲面面闭闭区区域域内内部部的的直直线线

4、与与轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域若若平平行行于于 )2(Sz三重积分化为三次积分的过程：三重积分化为三次积分的过程：。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( xyzo D )2(轴轴投投影影，得得到到向向 xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直线作直线过点过点Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事实上，事实上， dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )

5、1( )2(轴轴投投影影，得得到到向向 yD . ),()(:11dycyxxyxD,),( )3(作直线作直线过点过点Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 事实上，事实上， ).,(),(, ),()( :2111yxzzyxzdycyxxyxxyzo Dcd1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy。面面上上投投影影，得得到到向向yzDyoz )1( )2(轴轴投投影影，得得到到向向 yDyz . ),()(:11byayzzyzD,),( )3(作直线作直线过点过点yzDzy 得到得到).,(),(

6、21zyxxzyx 事实上，事实上， ).()( , ),(),(:2111yzzyzbyazyxxzyxD),(zyabxyzo 1x2x dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 bayzyzzyxzyxdxzyxfdzdy例例 1 1 计算三重积分计算三重积分 xdxdydz，其中，其中 为三个坐标为三个坐标 面及平面面及平面12 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域. . 211xozy1提提示示D dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx.481 例例 2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三次积分，为三次积分， 其中积分区域其中积分区

7、域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及 22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解 得交线投影区域得交线投影区域 , 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , .),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因此，因此，截截面面法法的的一一般般步步骤骤： ( (1 1) ) 把把积积分分区区域域 向向某某轴轴（例例如如z轴轴）投投影影，得得投投影影 区区间间,21cc； ( (2 2) ) 对对,21ccz 用用过过z轴轴且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD; ; (3)(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF； (4) (4) 最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值. . zzD dxdydz ez23计算积分计算积分例例围成的闭区域。围成的闭区域。与与是由是由其中其中122 zyxz 例例 4 4 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由椭球是由椭球 面面 1222222 czbyax 所成的空间闭区域所成的空间闭区域. . : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原原式式,2 zDccdxdydzz 解解xyzozD