第五章测量误差知识

1、第四章第四章 内容回顾内容回顾v经纬仪结构v水平角观测v竖直角观测v三角高程测量v视距测量第五章第五章 测量误差基础知识测量误差基础知识5.1 概述概述v在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果。操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果。这说明在这说明在各观测值之间各观测值之间及在及在观测值与理论值观测值与理论值之间不之间不可避免地存在着可避免地存在着差异差异，我们称这些差异为观测值的，我们称这些差异为观测值的测量误差测量误差。 v设某观测量的设某观测量的真值真值用用X X表示。若以表示。若以L L

2、i i ( i=1, ( i=1, 2,.n2,.n）表示对某量的）表示对某量的n n次观测值，并以表示真次观测值，并以表示真误差，则误差，则真误差可定义为真误差可定义为: :观测值观测值L L与真值与真值X X之差之差，即即 i i=L=Li i-X ( i=1,2,3n)-X ( i=1,2,3n)一、测量误差的来源一、测量误差的来源v外界环境外界环境、测量仪器测量仪器和和观测者观测者构成构成观测条件观测条件, ,是产是产生测量误差的根本原因。生测量误差的根本原因。 1.1.仪器仪器精度的局限性精度的局限性 v仪器制造误差及检校残余误差。仪器制造误差及检校残余误差。 2.2.观测者观测者感

3、官的局限性感官的局限性 观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动态度等。表现在对中，整平，瞄准，读数各环节。态度等。表现在对中，整平，瞄准，读数各环节。3.3.外界环境外界环境的影响的影响 主要指观测环境中温度、湿度、气压、风力、大气主要指观测环境中温度、湿度、气压、风力、大气折光、烟雾等。折光、烟雾等。v等精度观测等精度观测 : : 观测条件相同的各次观测。观测条件相同的各次观测。 v不等精度观测不等精度观测: : 观测条件不同的各次观测。观测条件不同的各次观测。 可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的产生可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的

4、产生不可避免。但是，在测量工作实践中，可以采取一不可避免。但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。够控制测量误差。二、测量误差的分类及减少误差的措施二、测量误差的分类及减少误差的措施 1、系统误差、系统误差在相同的观测条件下，误差的符在相同的观测条件下，误差的符号和数值相同或按一定的规律变化。号和数值相同或按一定的规律变化。v产生原因产生原因: :仪器、观测者、外界环境。仪器、观测者、外界环境。v特征特征: : 规律性、累积性。规律性、累积性。v措施措施: : 找出规律，加以消除或减少。找出规律，

5、加以消除或减少。2、偶然误差、偶然误差在在相同相同的观测条件下，误差出现的观测条件下，误差出现的符号和数值大小的符号和数值大小都不相同都不相同，从表面看没有任何规，从表面看没有任何规律性，但律性，但大量大量的误差有的误差有“统计规律统计规律”。 偶然误差的统计特性：偶然误差的统计特性： 对对358358个三角形在相同的观测条件下观测了个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差全部内角，三角形内角和的误差 i i=(=(测量测量值值-180-180), ), 其结果如下表所示，分析三角其结果如下表所示，分析三角形内角和的误差形内角和的误差 i i的规律。的规律。7 误差区间误差

6、区间 负误差负误差 正误差正误差 误差绝对值误差绝对值dd K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.05944440.123 0.123 1215

7、 121517170.0470.047 16 0.045 16 0.04533330.092 0.092 1518 151813130.0360.036 13 13 0.036 0.03626260.073 0.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.031 0.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.017 0.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 181181 0.505 0.505 177177 0.495 0.495 358358

8、1.000 1.000 偶然误差的统计偶然误差的统计 8 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X= k/d 偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性: :（1 1）有界性）有界性: :在有限次观测中，偶然误差应小于限值；在有限次观测中，偶然误差应小于限值；（2 2）密集性）密集性: :误差小的出现的概率大；误差小的出现的概率大； （3 3）对称性）对称性: :绝对值相等的正负误差概率相等；绝对值相等的正负误差概率相等； （4 4）抵偿性）抵偿性: :当观测次数无限增大时，偶然误差的平均当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零

9、。数趋近于零。 lim0nn3.粗差粗差v由于各种原因造成的由于各种原因造成的大于限差大于限差的误差。的误差。v粗差可以避免。粗差可以避免。v措施：多余观测，根据其差值与限差比较，或重措施：多余观测，根据其差值与限差比较，或重测或分配。测或分配。 总结：总结：测量成果中会不可避免地含有误差。但测测量成果中会不可避免地含有误差。但测量成果只有符合规范规定的量成果只有符合规范规定的限差限差要求时，才要求时，才算合格，否则应重测。算合格，否则应重测。5.2 评定精度的指标评定精度的指标v精度精度: :指误差分布的离散程度。指误差分布的离散程度。v评定精度的指标：评定精度的指标：中误差中误差、相对误差

10、相对误差、极限误差极限误差。一、中误差一、中误差 1.1.定义定义: :若被观测对象的真值已知为若被观测对象的真值已知为X X，真误差为，真误差为，标准差（概率统计）在测绘中称为中误差，常用标准差（概率统计）在测绘中称为中误差，常用m m表示。表示。 2lim(1,2, )iininn 在测量专业中在测量专业中, ,标准差标准差指在一定观测条件下，当指在一定观测条件下，当观测次数观测次数n n无限增加时，观测量的真误差的平方和无限增加时，观测量的真误差的平方和的平均数的平方根的极限，表示为：的平均数的平方根的极限，表示为：v通常，观测次数通常，观测次数n n总是有限的，只能求得标准差的总是有限

11、的，只能求得标准差的“估值估值”，记作，记作m m，称为，称为“中误差中误差”。其值可用下。其值可用下式计算式计算: :v由定义可知，中误差由定义可知，中误差m m不等于每个测量值的真误差，不等于每个测量值的真误差，它只是反映这组它只是反映这组真误差群体分布的离散程度真误差群体分布的离散程度大小的大小的数字指标。数字指标。iimn 2.用改正数计算中误差用改正数计算中误差v在大多数情况下，真值无法知道。在大多数情况下，真值无法知道。v在实际工作中，观测次数总是有限的，算术平均值在实际工作中，观测次数总是有限的，算术平均值x x作为未作为未知量的估值，称为未知量的知量的估值，称为未知量的“最或然

12、值最或然值( (或称最可靠值或称最可靠值)”)”，它比任何观测值都接近真值。它比任何观测值都接近真值。v改正数改正数v v：观测值观测值L Li i与最或然值与最或然值x x之差。之差。 Vi = x-Li 1vvmn 12nLLLxn15 中误差计算方法小结中误差计算方法小结v已知真值已知真值X X，则真误，则真误差：差： 中误差：中误差： v若真值不知，则改正数：若真值不知，则改正数： 中误差：中误差： iiLX nm ilxnvxLi1nvvm二、相对误差二、相对误差 观测值的中误差与观测值之比，称为观测值的中误差与观测值之比，称为“相对误差相对误差”。三、极限误差（限差）三、极限误差（

13、限差）偶然误差的绝对值大于偶然误差的绝对值大于2 2倍中误差的占倍中误差的占5%5%，而大于，而大于3 3倍的约占倍的约占0.3%0.3%，所以常取，所以常取2 2倍中误差为极限误差。倍中误差为极限误差。2m容mKL17 5.3 误差传播定律误差传播定律 已知：mx1，mx2 ， - ，mxn 求：my=? 由观测值的中误差推算函数值的中误差，称为由观测值的中误差推算函数值的中误差，称为误差误差传播定律传播定律。 12( ,.)yf x x设有函数式：一、观测值的函数一、观测值的函数1 1、和差函数、和差函数2 2、倍数函数、倍数函数3 3、线性函数、线性函数4 4、一般函数（非线性）、一般函

14、数（非线性）12nzxxxzkx1 122.nnzk xk xk x12(,.)nyfxxx二、函数的中误差二、函数的中误差1、和差函数、和差函数 z= z= x xy yv结论结论：和差函数中误差等于两独立观测值中误差平：和差函数中误差等于两独立观测值中误差平方和的平方根。方和的平方根。11122222222./2/,znnnzxyzxyxyzxyzxynnnnmmmmmm 平方求和再除以n 得：z zx xy yx y2、倍数函数、倍数函数 z=z=kxkxv结论结论：倍数函数中误差等于观测值中误差的：倍数函数中误差等于观测值中误差的k倍。倍。11222222./,znnzxzxkxzkx

15、zkxnknmk mmkm 平 方 求 和 再 除 以 n 得 ：zzxx3、线性函数、线性函数 z=kz=k1 1x x1 1k k2 2x x2 2. knxnv根据根据和差函数及倍数函数和差函数及倍数函数的中误差公式的中误差公式, ,可得一般可得一般函数中误差的公式为函数中误差的公式为: :4、非线性函数、非线性函数v非线性函数的真误差关系式可用全微分式近似表示非线性函数的真误差关系式可用全微分式近似表示：22222221122.znnmk mk mk m22222221122(/)(/). (/)znnmfxmfxmfxm 12(,.)nzfxxx22 v中误差公式：中误差公式： v计

16、算步骤：计算步骤： l写出函数式；写出函数式； l写出全微分式写出全微分式 ；l计算中误差计算中误差 。2222222121.nnymfmfmfm23 三、误差传播定律应用举例三、误差传播定律应用举例 1、观测值：斜距、观测值：斜距S和竖直角和竖直角a 待定值：水平距离待定值：水平距离D 22222221cos2cos3cossinsin(206265)DSaDSadDa dsmmSa daSa ma（）（ ）（ ）24 2、用三角形闭合差求测角中误差、用三角形闭合差求测角中误差(菲列罗公式菲列罗公式) 244.37.05m 秒ABC223mm3mm34.0/mm秒5.4 算术平均值及观测值的

17、中误差算术平均值及观测值的中误差 1niiLLxn一、算术平均值一、算术平均值v在相同的观测条件下，对某未知量进行了在相同的观测条件下，对某未知量进行了n n次观次观测，将各观测值取测，将各观测值取算术平均值算术平均值，作为该量的最，作为该量的最可靠的数值。可靠的数值。证明（证明（x x是最或然值）是最或然值） 0limLXnnnn跟据偶然误差的特性4LxXnv 1=L1-Xv 2=L2-X v i=Li-Xv 1 +2 +i = (L1+L2+Li)-nXv =L-nX27 二、由改正数计算中误差二、由改正数计算中误差v若被观测对象的真值不知，则取平均数为最若被观测对象的真值不知，则取平均数

18、为最优解优解X X。 v改正数改正数: : v中误差可按下式计算中误差可按下式计算( (白塞尔公式白塞尔公式) ) iivxL112nvmnii28 三、算术平均值的中误差三、算术平均值的中误差 已已 知知 ：m m1 1=m=m2 2=m mn n=m =m 求：求：m mx x 。12nLLLxn22222212111()()()1xnmmmmnnnmn 5.5 广义算术平均值及权广义算术平均值及权一.广义算术平均值 对于不等精度观测值，常用对于不等精度观测值，常用带权平均值带权平均值（广义算术平均值广义算术平均值）, ,表示最或然值。表示最或然值。112212nnnp Lp Lp Lxppp二.权的计算方法22iipm1.距离测量时，权的确定方法 同精度丈量时，边长的权与边长成反比