计算方法第六章

1、1近似计算近似计算 badxxfI)(1 Newton-Cotes 公式公式思思路路利用利用插值多项式插值多项式 则积分易算。则积分易算。( )( )nL xf x 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f (x)插值型积分公式插值型积分公式/*interpolatory quadrature*/ bankkxnbanbanbankkkdxxx

2、nfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()( 误差误差第六章第六章 数值积分数值积分利用数值方法计算积分的近利用数值方法计算积分的近似值似值2若某个求积公式所对应的误差若某个求积公式所对应的误差R f 满足：满足：R Pk =0 对对任任意意 k n 阶阶的多项式成立，且的多项式成立，且 R Pn+1 0 对对某个某个 n+1 阶多项式阶多项式成立，则称此求积公式的成立，则称此求积公式的代数精度代数精度为为 n 。定义定义例：例：对于对于a, b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfabaxafbabxxL)()(2)(221bfafabdxx

3、fabAAbaf(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/* trapezoidal rule*/解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1：baabdx1 11 2ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abdxxba2baab3332abdxxba222baab代数精度代数精度 = 1考察其代数精度。考察其代数精度。( )bkkaAlx dx3例如，有积分公式例如，有积分公式: :求该积分公式的代数精确度。求该积分公式的代数精确度。 ( )()( )( )111f x dxf12f 0f 12 对于任意一个一次多项式，求积

4、公式都是精确成立的；对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的故该求积公式的代数精确度为代数精确度为1 1。 2 121 21)1 () 0(2) 1(21 21)(11 -11 -fffdxdxxf解：取解：取f(x)=1，取取f(x)=x ，0 10121)1 () 0(2) 1(21 0)(11 -11 -fffxdxdxxf取取f(x)=x2 ，1 101 21)1 () 0(2) 1(21 32)(11 -211 -fffdxxdxxf =4用直线代替用直线代替y=f(x)精度

5、不高，若用抛物线代替，即采用精度不高，若用抛物线代替，即采用二次插值多项式来代替被积函数，并等分二次插值多项式来代替被积函数，并等分a,b区间，使区间，使h=x2-x1=x1-x0=(b-a)/2，其中，其中，a=x0,b=x2，得到：，得到：0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL xf xf xf xxxxxxxxxxxxx012121(),(),()636AbaAbaAba( )bkkaAlx dx( ) ( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b考察其精度。考察其精度。解

6、：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1：baabdx1代入代入 P1 = x ：代入代入 P2 = x2 ：222abdxxba3332abdxxba=66ba3()6baab=22(222)6baaabb5 形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度 该该公式为公式为插值型插值型（即：（即： ）代入代入 P3 = x3：=32233()62baaa babb4434babax dx代入代入 P4 = x4：5545babax dx433224(54465)24baaa baba bb 代数精度代数精度 = 3 nkkkxfA0)

7、( bakkdxxlA)(从某种意义上说，代数精度越高，求积分公式就越精从某种意义上说，代数精度越高，求积分公式就越精确。为了提高代数精度，可以提高插值多项式的次数。确。为了提高代数精度，可以提高插值多项式的次数。小结：小结：1、2、6 当节点当节点等距分布等距分布时：时：ninabhhiaxi,., 1, 0, dxxxxxAnxxijjiji 0)()(00()()( 1)()()!()!n innj ij itj hbah dttj dtij hn i ni令令htax Cotes系数系数)(niC注：注：Cotes 系数仅取决于系数仅取决于 n 和和 i，与，与 f (x) 及区间及区

8、间a, b均无关。均无关。( )()niiAba C7n = 1:)()(2)(bfafabdxxfba 梯形公式梯形公式dxbxaxffRbax)(!2)( 1, , )(1213abhbafh 代数精度代数精度 = 1( )0( 1)()!()!n innij iCtj dtni ni11(1)21000( 1)11(1)()|1 1 122Ctdttt 01(1)21100( 1)11(0)()|1 1 122Ctdtt 11(1)0100( )()()()()()22bkkkkakkbabaf x dxf xAf xba Cf xf x( )()niiAba C注：注：梯形公式是用直线

9、代替梯形公式是用直线代替y=f(x)，然后再求积分而得，然后再求积分而得，并且梯形公式只对线性函数积分精确。并且梯形公式只对线性函数积分精确。8n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC辛普森公式辛普森公式代数精度代数精度 = 32,),(,)(901)4(5abhbafhfR 22(2)01200( )()()() ()4 ()()6bkkkiakkbaf x dxf xAf xba Cf xf xf x)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba 注：注：辛普森公式使用抛物线代替辛普森公式使用抛物线代替y=f(x)，即采用二次插，即采用二次插值多项式来代替被积函数

10、，并且辛普森公式对不高值多项式来代替被积函数，并且辛普森公式对不高于三次的多项式积分是精确的。于三次的多项式积分是精确的。9n = 3:01233( ) ()3 ()3 ()()8bahf x dxf xf xf xf x5(4)3( )( ),( , ),803baR fh fa b h n = 4:012344( )7 ()32 () 12 ()32 ()7 ()90bahf x dxf xf xf xf xf x7(6)8( )( ),( , ),9454baR fh fa b h 第二辛普森公式第二辛普森公式代数精度代数精度 = 3科茨公式科茨公式代数精度代数精度 = 5注：注：第二辛

11、普森公式虽然比辛普森公式的计算量大，但第二辛普森公式虽然比辛普森公式的计算量大，但是代数精度并没有提高。当是代数精度并没有提高。当n为偶数的时候，相对为偶数的时候，相对来说代数精度还是比较高的。来说代数精度还是比较高的。10( )nkC( )nkC科茨系数表科茨系数表11误差公式误差公式n n为偶数为偶数（奇数个节点）（奇数个节点）n n为奇数为奇数（偶数个节点）（偶数个节点）(2)0( )( )()(2)!nnbniaifRfxxx dxn(1)0( )( )()(1)!nnbniaifRfxx dxn注：注：从误差公式可知，当从误差公式可知，当n为偶数时，求积公式有为偶数时，求积公式有n+

12、1次代次代数精度，而数精度，而n为奇数时，求积公式只有为奇数时，求积公式只有n次代数精度。次代数精度。12例：例：用辛普森公式求积分用辛普森公式求积分 ，并估计误差。，并估计误差。10 xe dx解：解：01e 120.606530659e10.367879441e10 ( )4 ()( )62xbaabe dxf aff b1(14*0.6065306590.367879441)60.6323336795(4)2|( )| |( )| 0.00034722290hRff 13例：例：已知函数表，试用牛顿已知函数表，试用牛顿- -科茨公式计算积分科茨公式计算积分 。2.61.8( )f x d

13、xx1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675解：根据已知条件可得：解：根据已知条件可得：2.6 1.84,0.244banh2.6012341.84( )7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )90hf x dxf xf xf xf xf x代入函数表中的数据可得：代入函数表中的数据可得：2.61.8( )0.00888*566.203715.0329f x dx 14牛顿牛顿- -科茨公式的讨论：科茨公式的讨论：0( )()nbkkakf x dxf xA( )0()()nnkkkbaf x C科茨

14、系数科茨系数 仅与插值次数仅与插值次数n及及k有关，与有关，与f(x)无关。令无关。令f(x)=1，由于积分公式至少有，由于积分公式至少有n次代数精度，对次代数精度，对1 1积分积分总是精确的，即总是精确的，即( )nkC( )01()1nbnkakdxbaCba因此，因此，( )01nnkkC如果如果f(xk)的近似值为的近似值为fk，舍入误差不超过，舍入误差不超过，有，有|()|kkf xf*( )0()()nnkkkIbaf x C( )0()nnkkkIbaf C15*( )0| |() ()|nnkkkkIIbaf xf C( )0()|nnkkbaC当当 均为正数时，均为正数时，

15、即即( )nkC( )( )00|1nnnnkkkkCC*| ()IIba 可见，积分公式是稳定的。但当可见，积分公式是稳定的。但当n88时，时， 中出现中出现负数，使负数，使 无法控制在较小的范围内，积分公式不稳无法控制在较小的范围内，积分公式不稳定，因此，高次积分至多用到定，因此，高次积分至多用到7 7次。次。( )nkC( )0|nnkkC()nkC16高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成分段低次合成Newton-Cotes 复合复合求积公式。求积公式。 复合梯形公式：复合梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk 在每个在

16、每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk 2 2 复合求积复合求积中值定理中值定理17 复化复化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：为方便编程，

17、可采用另一记法：令为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数，为偶数， 这时这时 ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS111012( ) ( )4()2()( )6nnbkakkkhf x dxf af xf xf bxi f (xi)01 1/80.997397867 1/40.9896158373/80.976726744 1/20.9588510775/80.936155637 3/40.908851687/80.877192574 10.841470985. dsin 10的值积公式求根据数据表利用复合求：x

18、xxI例例81131537( )( )( )( )( )( )( )848281 (0)2+ (1)248 0.94598690 .fffffTffff （）411357 (0)4 ( )( )( )( )648888113 2 ( )( )( )(1)0.9460832424Sfffffffff精确解精确解 ： 0.946083119若一个积分公式的误差满足若一个积分公式的误差满足 且且C 0，则则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。 ChfRphlim0定义定义 收敛速度与误差估计：收敛速度与误差估计：例：例：计算计算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同24(),()nnTO hSO h可见，当可见，当h h趋近于趋近于0 0的时候，的时候，S Sn n比比T Tn n的收敛速度要快！的收敛速度要快！20Q: 给定精度给定精度 ，如何取，如何取 n ?例如：要求例如：要求 ，如何判断，如何判断 n = ？ |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12