行进中的数学(第九课时)

1、第三章：数学三大危机第三章：数学三大危机行进中的数学行进中的数学*行进中的数学：张真义、毛燕林2 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的为明晰，等等。人们水到渠成地

2、思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。3 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是象可说成是“以整数、分数等组成的以整数、分数等组成的集合集合”；微积；微积分的对象可说成是分的对象可说成是“以函数等组成的以函数等

3、组成的集合集合”；几何；几何的对象可说成是的对象可说成是“以点、线、面等组成的以点、线、面等组成的集合集合”。这样一来，这样一来，都是以集合为对象都是以集合为对象了。了。集合成了更基本集合成了更基本的概念。的概念。4 于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱可能会一劳永逸地摆脱“数学基础数学基础”的危机。的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在现在 我们可以说，完

4、全的严格性已经达到了！我们可以说，完全的严格性已经达到了！”5 2算术的集合论基础算术的集合论基础 1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上集合加上0现在我国中小学就把这一集合现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理数 实数实数 复数复数 图形图形()nm 取极限11 ba 解析几何6 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，或者说，全部数学都可以归结为算术了。全部数学

5、都可以归结为算术了。 这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个就相当于解决了整个“数学基础数学基础”的问题。的问题。 法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。他写）就做了这样的工作。他写了一本名叫了一本名叫算术基础算术基础的书。的书。7弗雷格算术基础8 2) 弗雷格的弗雷格的算术基础算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，所为了使算术建立在集合论的基础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。言重新定义。 首先

6、从首先从0说起。说起。0是什么？是什么？ 应当先回答应当先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符号。的符号。9 为此，先定义为此，先定义“空集空集”。空集是。空集是“不含元不含元素的集合素的集合”。例如，。例如，“ 方程方程 在实在实数集中的根的集合数集中的根的集合 ”就是一个空集，再例就是一个空集，再例如如“由最大的正整数组成的集合由最大的正整数组成的集合”也是一个也是一个空集。空集。210 x 10 所有的空集放在一起，作成一个集合的所有的空集放在一起，作成一个集合的集合集合，（为说话简单我们把，（为说话简单我们把“集合的集合集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符

7、号：称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念中国人念“ling”，英国人念，英国人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集组成的类，空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。是一个元素了。由它再作成一个集合由它再作成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。11 弗雷格再定义两个集合间的弗雷格再定义两个集合间的双射双射：既是满射又是：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称单射的映射叫作双射，也称可逆映射可逆映射；通俗地说，；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映

8、射，所以一般称为地映射，所以一般称为“双射双射”。 弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合的两个集合的“等价等价”： ， 能够在其间建立双射的两个集合能够在其间建立双射的两个集合A、B称为称为“等等价价”。AB可逆映射12 下边可以定义下边可以定义“1”了。把了。把与集合与集合0等价等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：这个类，就可以给它一个符号：1。 再定义再定义“2”。把。把与集合与集合0，1等价的所有等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：类，就叫：2。 然后，把然

9、后，把与与0，1，2等价的集合作成的等价的集合作成的类，叫：类，叫：3。13 一般地，在有了一般地，在有了0，1，2，n的的定义后，就把所有定义后，就把所有与集合与集合0，1，2，n 等 价 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集等 价 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集合，这样的类，定义为：合，这样的类，定义为：n+1。 这种定义概念的方法，叫作这种定义概念的方法，叫作“归纳定归纳定义义”的方法。的方法。14 这样，弗雷格就这样，弗雷格就从空集出发，而仅仅从空集出发，而仅仅用到用到集合集合及及集合等价集合等价的概念的概念，把全部非负，把全部非负整数定义出来

10、了。于是根据上边说的整数定义出来了。于是根据上边说的“可可以把全部数学归结为非负整数以把全部数学归结为非负整数”，就可以，就可以说，说，全部数学可以建立在集合论的基础上全部数学可以建立在集合论的基础上了。了。15 3 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1） 悖论引起震憾和危机悖论引起震憾和危机 正 当 弗 雷 格 即 将 出 版 他 的正 当 弗 雷 格 即 将 出 版 他 的 算 术 基算 术 基础础一书的时候，罗素的集合论悖论出来一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。这也是庞加莱宣布了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学完全严格的数学已经建立起来！已经建立起来！”之后刚刚两

11、年，即之后刚刚两年，即1902年。年。16 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素17 集合论中居然有逻辑上的矛盾！集合论中居然有逻辑上的矛盾！ 倾 刻 之 间 ， 算 术 的 基 础 动 摇 了 ， 整 个倾 刻 之 间 ， 算 术 的 基 础 动 摇 了 ， 整 个数 学 的 基 础 似 乎 也 动 摇

12、 了 。 这 一 动 摇 所 带数 学 的 基 础 似 乎 也 动 摇 了 。 这 一 动 摇 所 带来 的 震 憾 是 空 前 的 。 许 多 原 先 为 集 合 论 兴来 的 震 憾 是 空 前 的 。 许 多 原 先 为 集 合 论 兴高 采 烈 的 数 学 家 发 出 哀 叹 ： 我 们 的 数 学 就高 采 烈 的 数 学 家 发 出 哀 叹 ： 我 们 的 数 学 就是建立在这样的基础上的吗？是建立在这样的基础上的吗？ 罗 素 悖 论 引 发 的 危 机 ， 就 称 为 第 三 次罗 素 悖 论 引 发 的 危 机 ， 就 称 为 第 三 次数学危机。数学危机。18 罗 素 把 他

13、 发 现 的 悖 论 写 信 告 诉 弗 雷罗 素 把 他 发 现 的 悖 论 写 信 告 诉 弗 雷格。弗雷格在他的格。弗雷格在他的算术基础算术基础一书的末一书的末尾无可奈何地写道：尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的一个科学家遇到的最 不 愉 快 的 事 莫 过 于 ， 当 他 的 工 作 完 成最 不 愉 快 的 事 莫 过 于 ， 当 他 的 工 作 完 成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。地。”19 2） 罗素悖论罗素悖论 在 叙 述 罗 素 悖 论 之 前在 叙 述 罗

14、 素 悖 论 之 前 , 我 们 先 注 意 到我 们 先 注 意 到下边的事实：一个集合或者是它本身的成下边的事实：一个集合或者是它本身的成员员(元素元素),或者不是它本身的成员或者不是它本身的成员(元素元素)，两者必居其一。罗素把前者称为两者必居其一。罗素把前者称为“异常集异常集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。20 例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。

15、但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。21罗素当年的例子罗素当年的例子 “异常集合异常集合” 1： 不多于不多于29个字母表达的句子所构成的集合个字母表达的句子所构成的集合 “异常集合异常集合” 2： 不是麻雀的东西所构成的集合不是麻雀的东西所构成的集合22 罗素悖论是：罗素悖论是：以以 表示表示“是其本身成员的是其本身成员的所有集合的集合所有集合的集合”（所有异常集合的集合），（所有异常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成员的所有集合的集不是它本身成员的所有集合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集

16、合或者属于或者属于 ，或者属于，或者属于 ，两者必居其一，且，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合只居其一。然后问：集合 是否是它本身的是否是它本身的成员？（集合成员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）MMNNNN23 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及 的的定定义，义， 是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 不不是它本身的成员，这与假设矛盾。即是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果如果 不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按 及及 的定义，的定义， 是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 是它本身的成员，这又与假设

17、矛盾。即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。无论哪一种情况，都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMNNNMN()NNNNNM24 罗素悖论的通俗化“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。25 4 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时

18、消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。26 这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。留下了解决问题的余地。 罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是（悖论的实质）是“自我指谓自我指谓”。即，。即，一个待定义一个待定义的概念，用了包含该

19、概念在内的一些概念来定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。造成恶性循环。 例如，悖论中定义例如，悖论中定义“不属于自身的集合不属于自身的集合”时，时，涉及到涉及到“自身自身”这个待定义的对象。这个待定义的对象。27 为了消除悖论，数学家们要将康托为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论朴素的集合论”加以公理化；并且规定构加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现造集合的原则，例如，不允许出现“所有所有集合的集合集合的集合”、“一切属于自身的集合一切属于自身的集合”这这样的集合。样的集合。28 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18

20、711953）提出了由提出了由7条公理组成的集合论体系，称为条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。系统。 1922年，弗兰克（年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的论的ZF-系统。再后来，还有改进的系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。系统。 这样，大体完成了这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。的发展过程，悖论消除了。29 但是，新的系统的相容性尚未证明。因但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来此，

21、庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。不是完全令人满意的。30 四、四、 三次数学危机与三次数学危机与“无穷无穷”的联系的联系 我们过去就说过，无穷与有穷有本质我们过去就说过，无穷与有穷有本质的区别。的区别。 现在我们可以总结说，三次数学危机现在我们可以总结说，三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。关。31 第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。组成的数列的极限。 由于当时尚未真正认识无穷，所以那时对第一次由于当时尚未真正认识无穷，所以那时对第一次数学危机的解决并不彻底；第一次数学危机的彻底数学危机的解决并不彻底；第一次数学危机的彻