材料力学(刘鸿文)第06章、弯曲变形)

1、1第第 六六 章章弯弯 曲曲 变变 形形26-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。31.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： w =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：小变形小变形PxwC C1y )

2、(xf=ddtgxw= 6-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程4zzEIxM)(1=zzEIxMxf)()(= 即挠曲线近似微分方程。即挠曲线近似微分方程。yxM00)( xfyxM00)( xf挠曲线曲率挠曲线曲率: :EIxMxf)()(= = 3221( ) (1( ) )fxfx= 小变形小变形( )fx5)()(xMxfEI= 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形)()(xMxfEI= 1d)()(CxxMxfEIEI=21dd)()(CxCxxxMxEIfEIw= 1.微分方程的积分C1、C2为积分常数，据边界条件确定6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形挠曲线近似

3、微分方程：挠曲线近似微分方程：62.位移边界条件PABCPD支点位移条件：连续光滑条件：PABC右左CCww=右左CC=00=BAww00=DDw（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）7讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。件）确定。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精

4、确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。8例例1 1 求下列等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM=写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMEIw=12)(21CxLPEIw=213)(61CxCxLPEIw=061)0(23=CPLEIf021)0()0(12=CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC=解：PLxy9写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxf=EIPLLff3)(3max=EIPLL2)(2max=最大挠度及最大转角xyPL10解：建立坐标系并写出弯矩方程=)( 0)0(

5、)()(LxaaxaxPxM写出微分方程的积分并积分=112)(21DCaxPEIw=21213)(61DxDCxCaxPEIw=)( 0)0( )(LxaaxaxPEIwxyPLa例例2 2 求下列等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。11应用位移边界条件求积分常数061)0(23=CPaEIf021)0(12=CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC=)()()(afafaf=)()(=aa11DC =2121DaDCaC=PLa322161 ; 21PaCPaC=xy12写出弹性曲线方程并画出曲线=)(a 36)0( 3)(6)(23323Lx xaaEIPax axaa

6、xEIPxfaLEIPaLff=36)(2maxEIPaa2)(2max=最大挠度及最大转角PLaxy13例3：简支梁AB，弯曲刚度 EI为常数，受力F和力偶M=FL作用，求w(x)，(x)；并计算B截面的转角值。解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分梁的弯矩方程：LBM MAF FF FAyAyxFxxM=)(挠曲轴近似微分方程： 2( )2FxwxCEI=36FxwCxDEI=F xwE I=142、确定积分常数A端为固定端约束，X X=0, w=0X X=0,=0=0C C=0 , D , D=03、挠度方程、转角方程及B截面的转角2( )2FxwxEI=36FxwEI=EIFLB22=将

7、x=L 代入转角方程：LBM MAF FF FAyAyx15例例4 4： 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁, 在全梁上受集度为在全梁上受集度为q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程.lABq解解: (1)梁的两个支反为力梁的两个支反为力2qlRRBA=(2)梁的梁的 弯矩方程弯矩方程 及及 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 分别为分别为 )(2212)(22xlxqqxxqlxM=2()() 2qE IwMxlxx=16 (c)231()223qEIw lxxC=(d)3412()2612qEIwxlxxCC=边界条

8、件为边界条件为 :0,x=0w =, lx = =0w =（3）积分将边界条件代入将边界条件代入 (c) , (d) 两式得两式得02= =C2431qlC= 梁的转角方程和挠梁的转角方程和挠度度方程分别为方程分别为323323(64)24(2)24qwllxxEIqxwllxxEI=17例5：求图示梁的挠曲轴微分方程。 ABCMOL/2L/2MO/LMO/L解：1建立挠曲轴微分方程：AC段：lxMXM0)(= 01MxwE Il =20112MxwCEIl=301116M xwCx DEI l= BC段：) 1()(0=lxMXM 021MxwE Il =20222MxwxCEIl=3202

9、2262MxxwCx DEIl=183 边界和连续条件： 100w= 20wl = 1222llww=(连续条件) 1222llww= (光滑条件) 2201424M xwxxllEI= 0224MxlwxEIl=写出梁的弯矩方程，求挠曲轴近似微分方程积分法求位移步骤如下：积分求挠度方程、转角方程利用边界条件和连续条件，确定出积分常数相关练习：P197：6.1、6.5；196-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()(),(221121nnnPPPPPP = )()()

10、(),(221121nnnPfPfPfPPPf = 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）： 前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角均与载荷成线形关系。20例例1 1 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表6.1，简单载荷引起的变形。EIPafPC63=EIPaPA42=EIqafqC2454=EIqaqA33=qqPP=+AAABBB Caa21EIPafPC63=EIPaPA42=EIqafqC2454=EIqaqA33=qqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA=)43(122qaPEIa=EIPaEIqafC624534=22例例

11、2 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xx21fff=fPL1L2ABC 刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMx23例例3 3 已知已知简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C 截面截面的挠度的挠度w wC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCwwww=321BBBB=wC1wC2wC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。EIqlB2431=EI

12、qlB1631=EIqlB333=EIqlwC384541=EIqlwC4842=EIqlwC1643=解解24wC1wC2wC33 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC=)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB=25例例4 4 已知：已知：悬臂梁受力如图示，悬臂梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面截面的挠度的挠度w wC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 Cw26Cw2Cw1Cw2Bw,841EIqlwC=,248128234222lEIqlEIqllwwBBC=EIqlC631=EIqlC4832= = EIql