分布函数ppt课件

1、 第三节 随机变量的分布函数 对于离散型随机变量，假设知道了它的对于离散型随机变量，假设知道了它的概率分布概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率也就知道了该随机变量取值的概率规律规律. 在这个意义上，我们说在这个意义上，我们说 前一讲，我们引见了离散型随机变量及前一讲，我们引见了离散型随机变量及其概率分布其概率分布.离散型随机变量由它的概率分布独一确定离散型随机变量由它的概率分布独一确定. 一、分布函数的概念一、分布函数的概念 为了对随机变量为了对随机变量r.vrandom variable给出一种一致的描画方法，下面引进分给出一种一致的描画方法，下面引进分布函数的概念布函数的概念.1.分布

2、函数的定义分布函数的定义设设 X 是一个是一个 r.v，称，称)()(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 假设将假设将X看作数轴上随机点的坐标看作数轴上随机点的坐标,那么分那么分布函数布函数F(x)的值就表示的值就表示X落在区间落在区间(-, x的概的概率率. |xxX 对恣意实数对恣意实数 x1x2，随机点，随机点X落在区间落在区间 x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只需知道了随机变量因此，只需知道了随机变量X的分布函的分布函数，数， 它的统计特

3、性就可以得到全面的描画它的统计特性就可以得到全面的描画.由定义，由定义， F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 证明证明,bXaaXbX 因为因为, bXaaX,bXaPaXPbXP 所所以以).()(aFbFbXaP 故故随机变量的概率问题可经过分布函数来表示随机变量的概率问题可经过分布函数来表示)()(aFbFaXPbXPbXaP )(11cFcXPcXP )0(lim0 aFaXPaXP)0()( aFaFaXPaXPaXP,bXaP ,bXaP bXaP 类似地，类似地， ( )

4、iixxF xP Xxp x 分布函数分布函数分布律分布律 iip xP Xx2.2.离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系 ( )().iiiixxxxF xP Xxp xP Xx 例例1 1 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, , 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x0)(0)( PxXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121

5、. 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得例：知 X 的分布律如下：X 1 2 3 4P 1/2 1/4 1/8 a答案：答案：433)2(81)1( XPa求求1 1a; a; 2 2PX3.PX3.注注 意意 点点 对离散随机变量的分布函数应留意：对离散随机变量的分布函数应留意： (1) F(x)是递增的阶梯函数是递增的阶梯函数; (2) 其延续点均为右延续的其延续点均为右延续的; (3) 其延续点即为其延续点即为X的能够取值点的能够取值点; (4) 其延续点的腾跃高度是对应的概率值其延续点的腾跃高度是对应的概率值.xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1);,(,

6、1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 3.分布函数的性质分布函数的性质(单调不减性单调不减性), 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo证明证明,越越来来越越小小时时当当 x,的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x.),(,(,内必然落在时当而的值也会增大增大时当同样XxxXxXPx. 1lim)(lim xXPxFxx所

7、以所以).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处右延续即任一分布函数处处右延续. 反过来反过来,假设一个函数具有上述性质，那假设一个函数具有上述性质，那么一定是某个么一定是某个r.v X 的分布函数的分布函数. 也就是说，也就是说，性质性质(1)-(4)是鉴别一个函数能否是某是鉴别一个函数能否是某r.v的分的分布函数的充分必要条件布函数的充分必要条件.,00, 00,)(,3的值求常数为常数其中函数为其分布在整个实轴上取值已知随机变量例BAxxBeAxFXx.,)(.)(11001 BABAFAF于于是是有有由由分分布布函函数数的的右右连连续续性性由由分分布布函函数数

8、的的性性质质知知解解例例4 4 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2 2米的圆盘米的圆盘, ,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, ,并设射击都能中靶并设射击都能中靶, ,以以X X表示弹着点与圆心的间隔表示弹着点与圆心的间隔. .试求随机变量试求随机变量 X X 的分布函数的分布函数. .解解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因因而而; 0)( xXPxF于于是是于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4