第八章多元函数积分学-4

1、8.4 三重积分三重积分先把物体任意分成先把物体任意分成n个小块，个小块，Vi(i=1,2, ,n),在在每小块每小块Vi(体积也记为体积也记为Vi)上任取一点上任取一点.),(lim. 410iiiniiVVM iiiiiVM ),(. 2 niiiiiniiVMM11),(. 3 一、三重积分的概念一、三重积分的概念。连连续续，求求该该物物体体的的质质量量且且处处的的密密度度为为上上的的点点，它它在在域域设设有有一一物物体体占占据据空空间间区区),(),(),(zyxzyxzyx 引例引例1),(iii 1、三重积分的定义三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim

2、10 .,)1( 的的平平面面来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则.积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydz积分区域积分区域被积函数被积函数积分变量积分变量体积元素体积元素说明：说明：的体积；域表示空间有界闭区时，当 dVzyxf1),()2(（3）三重积分与二重积分有类似的性质）三重积分与二重积分有类似的性质1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分、直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算法xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy

3、),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyx

4、zdzzyxfdydx注意：注意：(1) 上述三重积分化为先对上述三重积分化为先对z ,再对再对y, 最后对最后对x的三次积分的三次积分若投影区域若投影区域Dxy是是 y 型区域型区域，则积分顺序为，则积分顺序为 z x y)()()()2(xzyzDDxozyozSyx或或，得得面面或或面面投投影影到到将将相相交交不不多多于于两两点点，则则可可的的曲曲面面直直线线与与的的且且穿穿过过闭闭区区域域轴轴或或轴轴若若平平行行于于 )( xzyzxyyzxzyx或或积积分分顺顺序序为为解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx.),(11221122222 xyx

5、xxdzzyxfdydxI1xy0122 yx: 例例2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所围所围成的空间闭区域成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xozy111 zdxdydz zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .解解,面面投投影影到到将将yoz , 1,0,0: zyzyDyz下的二重积分下的二重积分积分，再求积

6、分，再求先对先对yzDx解解如图如图,面面投投影影到到将将xoz , 1:22 zxDxz下的二重积分下的二重积分再求再求积分，积分，先对先对xzDydzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 11222211zxDydydxdzxdxdydzxyxz 上述计算三重积分时，都是先计算一个定积分，上述计算三重积分时，都是先计算一个定积分，再计算一个二重积分（即三次积分）。再计算一个二重积分（即三次积分）。有些情况下，也可先计算一个二重积分，有些情况下，也可先计算一个二重积分，再计算一个定积分再计算一个定积分截面

7、法截面法z例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式,0 r,20 . z2、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的

8、投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr1)柱面坐标与直角坐标的关系柱面坐标与直角坐标的关系 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzr

9、drddv 2) 柱面坐标系下的三重积分形式柱面坐标系下的三重积分形式例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例计计算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中 是是曲曲线线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面与与两两平平面面, 2 z8 z所所围围的的立立体体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区