仙游一中高二下数学第一次阶段考（答案）(1)

1、仙游一中 20212022 学年第二学期高二第一次阶段考数学试卷参考答案一单选题（每小题 5 分，共 40 分）1已知函数 f (x) = x +sin x ，则 f ¢(0) =（ ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】对 f (x) 求导得 f ¢(x) =1+ cos x，即可求 f ¢(0) .【详解】由题设， f ¢(x) =1+ cos x， f ¢(0) =1+cos 0 = 2 .故选：D.2在等差数列a 中，na + a + a = ，1 2 3 9a = ，则其公差 d = （ ）4 7A. -

2、4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】应用等差中项的性质可得a = ，再根据等差数列通项公式求公差.2 3【详解】由题设， a1 + a2 + a3 = 3a2 = 9 ，则 a2 = 3，a4 = a2 + 2d = 7 ，可得 d = 2. 又故选：C.3( )x2 + 2x + 3 (2x +1)6 的展开式中，x2 的系数是（ ）A250 B520 C502 D205【分析】利用 (2x +1)6 的展开式的通项公式可求出结果.【详解】因为( )x2 + 2x +3 (2x +1)6 = x2 (2x +1)6 + 2x(2x +1)6 +3(2x +1)6 ，(

3、2x +1) 的展开式的通项公式为 1 6 (2 ) 2 66 k k k k kT + = C x = C x ， k = 0,1, 2,3, 4,5, 6 ,k10 0 1 1 2 2所以 x2 的系数为C6 ×2 + 2×C6 ×2 + 3×C6 ×2 = 205 .故选：D4已知函数 f (x) 的导函数 y = f ¢ (x) 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. f (x )是极小值 B. f (x )是极小值 C. f (x )是极大值 D. ( )f x 是极大值 2 3 4 5【答案】B【详解】由图知： f

4、(x) 在 (a, x ) 上递增， (x , x ) 上递减， (x ,b)递增，1 1 3 3 f (x )是极小值， f (x )、 f (x )不是极值， f (x )为拐点.3 2 4 5故选：B.1 1 15已知 P(A)= P (BA)= P (BA )= 则 P(B)= （ ） , , .3 2 47A12B7245C12D524【详解】2 P BA( )1 1 1由题知， P A = - P(A)= ， ( ) ( )( ) 1 P B A = = Þ P BA = P(A)´ = ，3 P(A) 2 2 32 1 1P(BA = P(A) - P BA

5、= - = ，) ( )3 3 3P BA( )1 1 1又 P(BA) P BA P A ，= = Þ = ´ =( ) ( )P(A) 4 4 121 1 5则 P(B) = P(BA) + P(BA)= + = .3 12 12故选：C6已知数列a 的前 n 项和 2n 1 = ÎN ，则数列 S = - ，若 ( * )b log a n b 的前 n 项和是（ ） n n n 2 n+1 nA.n(n +1)2B. 2n -1 C. 2n+1 -1 D. n(n +1)【答案】A2【解析】a【分析】先利用nìS ,n =11= íS

6、- S ,n ³ 2în n-1，求出a ，从而可求出 ( )b log a n b= ÎN* ，进而可求出数列 n n 2 n+1 n的前 n 项和【详解】当 n = 1时，a = S = - = ，1 1 2 1 11当 n ³ 2时，a S S n n-1 n-1= - 1 = 2 -1-(2 -1) = 2 ， 1 1a = 满足上式，n n n-所以an= ，2n 1-所以b = log a = log 2n = n ，n 2 n+1 2所以数列b 的前 n 项和是1+ 2 + 3 + ××× + n =nn(n

7、+1)2故选：A7来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有( )A48 种 B64 种 C72 种 D96 种答案：A解析：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排列，不同的安排方案总数有A2A2A2A32×2×2×648 种故选 A. x2 + y2 = 2 x + 4 y 围成的图形的面积为（ ）8曲线A 8+10p B16+10p C5p D5【答案

8、】16+10p #10 +16【解析】【分析】曲线x2 + y2 = 2 x + 4 y 围成的图形关于 x轴， y 轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将 -x 或 -y 代入方程，方程不发生改变，故曲线 x2 + y2 = 2 x + 4 y 关于 x 轴， y 轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.3当 x ³ 0 ， y 0时，曲线x2 + y2 = 2 x + 4 y 可化为：(x -1)2 + (y - 2)2 = 5 ，表示的图形为一个半圆，1 1 52围成的面积为 ( )S = 5 + ´ 2´ 4 = + 4 ，12 2 2故曲线x

9、2 + y2 = 2 x + 4 y 围成的图形的面积为Sæ 5 ö= 4ç + 4÷ =10+16è ø2.故答案为 ：16+10p .二多选题（每小题 5 分，共 20 分，漏选得 2 分）æ p p ö9若 Îç- , ÷aè ø2 2，则方程 x2 +sina y2 =1可能表示下列哪些曲线（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 两条直线【答案】ABD【解析】æ ö【分析】分a = 0 、 0, Îç 

10、7;è ø2æ p ö、a ,0Îç- ÷è ø2得到sina 的取值范围，再根据方程特征可得答案.【详解】当a = 0 时， x2 =1，即 x = ±1表示两条直线；æ ö当 Îç0, ÷è ø2时， 0 < sina <1，y2x2 + =1表示焦点在 y 轴上的椭圆；1sinaæ p ö当a Îç- ,0÷è ø2时， -1< si

11、na < 0 ，y2x2 + =1表示焦点在 x轴上的双曲线，1sina故选：ABD.410现安排高二年级 A，B，C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）A所有可能的方法有34 种B若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有 37 种C若同学 A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有 16 种D若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有 24 种【分析】利用分步乘法计数原理判断 AC 选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断 B 选项的正确性，利用排列数计算判断 D 选项的正确性.【详解】所

12、有可能的方法有 43 种，A 错误.对于 B，分三种情况：第一种：若有 1 名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为C ，另外两名同学的1 3安排方法有3´3 = 9种，此种情况共有C ´ = 种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情3 9 271况有 C ´ = 种，第三种情况，若三名同学都去工甲，C ，另外一名同学的排法有 3 种，此种情况共有 32 3 92 3此种情况唯一，则共有 27+9+1= 37种安排方法，B 正确.对于 C，若 A 必去甲工厂，则 B，C 两名同学各有 4 种安排，共有 4´4 =16种安排，C 正确.对于 D，若三名

13、同学所选工厂各不同，则共有A = 种安排，D 正确.4 243故答案为：BCD11在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 M，N 分别是棱 BC 和CC 中点，下列结论正确的是1（ ）A. MN B1DB. 直线 MN 与平面AC D平行1 15C. 点 N 到面 AB1M 的距离为62D. 平面 AMN 截正方体所得截面的面积为3 2【答案】AC【解析】【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算进行判断；A,计算MN ×B D 即可；B，1求出平面AC D的法向量为 n = (x, y,z) ，计算 n×MN 即可；C，求平面 AB1

14、M 的的法向量为 n¢ = (a,b,c) ，1 1计算点 N 到面 A B1M 的距离即可；D，作出面 AMN 截正方体所得截面，求其面积即可.【详解】如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标，则D(0, 0, 0),M (1, 2, 0), N(0, 2,1), A(2, 0, 0), A (2,0, 2),B (2, 2, 2),C (0, 2, 2) ，1 1 1对于 A, MN = (-1, 0,1),B D = (-2,-2,-2) ,1则MN ×B1D = (-1, 0,1)g(-2,-2,-2) = 0，故MN B D ，即 MN B1D ，故 A 正确；

15、1对于 B, MN = (-1, 0,1),设平面 A1C1D的法向量为 n = (x, y,z) ，DA = DC = ,1 (2, 0, 2), 1 (0, 2, 2)则vìn ×DA = 2x + 2z = 0ïuuuu1vív ，则可取 n = (1,1,-1) ，ïîn ×DC = 2y + 2z = 01而 n×MN = (1,1,-1)×(-1, 0,1) = -2 ¹ 0 ，故直线 MN 与平面 A1C1D不平行，故 B 错误；对于 C，设平面AB M 的的法向量为 n¢

16、; = (a,b,c) ，1AB1 = (0, 2, 2),MB1 = (1,0, 2),6则ìn¢× AB = 2b + 2c = 0ïuv uuuuv ，可取 n¢ = (-2,-1,1)，1íî ¢n ×MB = a + 2c = 01ï而 MN = (-1, 0,1)，故点 N 到面 A B1M 的距离为d| n¢×MN | 3 6= ur = = ，故 C 正确；| n¢| 6 2对于 D，平面 AMN 截正方体所得截面为 如图等腰梯形 MND1A ,则M

17、N = AD = AM = ,高为 5 ( 2 )2 3 22. 2 2, 5 - = ，12 2故其面积为 1 ( 2 3 2) 3 2 9S = ´ + ´ = ，故 D 错误,故选:AC.2 2 212为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程则（ ）A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B. 恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为59C. 已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为2536D. 设三名同学选择课程“礼”的人数为x ，则Ex =12

18、【答案】BCD【解析】【分析】A 选项考查了排列组合的内容；B 选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；C 选项利用条件概率的公式代入求解；D 选项利用二项分布的公式求解.【详解】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有 63 = 216 种，故 A 错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为A 120 536= = ，故6 216 93B 正确；已知甲不选择课程“御”的概率为56，甲乙丙都不选择“御”的概率为5 1253= ，所以条件概6 2163率为12525 1216= ，故 C 正确；

19、三名同学选择课程“礼”的人数为x ，则x 服从二项分布x : B(3, ) ，则5 36661 1Ex = 3´ = ，故 D 正确.6 2故选：BCD.7二填空题（每小题 5 分，共 20 分）kæ 1 ö13设随机变量 X 的分布列 ( ) ，则 a 的值为_.P X k a k= = ×ç ÷ , =1, 2,3è ø3【答案】2713kæ 1 ö【详解】因为随机变量 X 的分布列为 ( ) , 1, 2,3,P X = k = a×ç ÷ k =è

20、 ø3所以根据分布列的性质有2 31 æ 1 ö æ 1 öa a a 1,× + ×ç ÷ + ×ç ÷ =3 3 3è ø è ø所以æ 1 1 1 ö 13a×ç + + ÷ = a´ =1,è ø3 9 27 27所以a = 2713.x y2 214已知椭圆方程为 + = ( > > )，左、右焦点分别为 F1 、F2 ，P 为椭圆上的

21、动点，若ÐF1PF22 2 1 a b 0a b的最大值为2p3，则椭圆的离心率为_.【答案】 32【解析】【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得b2a2，再利用公式eb2= 1- 可求得该椭圆的离心率的值.a2【详解】由椭圆的定义可得PF + PF = a，1 2 2由余弦定理可得2 22 2 2+ - ( + ) - - 2 ×PF PF F F PF PF F F PF PF1 2 1 2 1 2cosÐF PF = =1 2 1 21 22 PF × PF 2 PF × PF1 2 1 24a - 4c 4b 4b 2b2 2 2 2

22、 2= -1³ -1= -1= -12 PF × PF æ PF + PF ö 2a a2 2 21 2 1 22´ç ÷2è ø，因为ÐF PF 的最大值为1 22p3，则2b 2p 12-1= cos = - ，可得a 3 22b2a21= ，4因此，该椭圆的离心率为ec c a -b b 32 2 2 2= = = = 1- = .a a a a 22 2 2故答案为： 32.2020 2 202015若(3x + 2) = a + a x + a x +L+ a x ，则0 1 2 20

23、20a + a + a +L+ a 被 12 整除的余数为_1 3 5 20198【答案】0【解析】【分析】根据题意，给自变量 x 赋值，取 x =1和 x = -1，两个式子相减，得到a + a + a +La 的值，用二1 3 5 2019项展开式可以看出被 12 整除的结果，得到余数【详解】在已知等式中，取 x =1得a0 + a1 + a2 +L+ a2020 = 52020 ，取 x = -1得 a0 - a1 + a2 -L+ a2020 =1，两式相减得2(a + a + a +La ) = 52020 -1，1 3 5 20191即 ( )a + a + a +La =

24、80; 5 -1 ，2020 1 3 5 201921 1 1 11010因为 ( ) ( ) ( )´ 5 -1 = ´ 25 -1 = ´ 24 +1 -2020 10102 2 2 2 1 1= ´( 24 + 24 +L+ 24 + )-C C C C 0 1010 1 1009 1 01010 1010 1010 1010 2 21= ´( 24 + 24 +L+ 24)C C C0 1010 1 1009 1 1010 1010 10102能被 12 整除，所以则 a1 + a3 + a5 +L+ a2019 被 12 整除，余数是

25、 0.16已知数列 a 满足 ，若nan+1 £ 对任意 nÎ N* 恒成立，则实数l 的取值范lan围为_【详解】在数列 a 中， 1 2 3 n 1 Î ，n ³ 2 时， a1a2a3 Lan-1 =n ，a a a La =n + ，当 n N* n则有an=n+1，而a1 = 2满足上式，因此，nan=n+1，na + n(n + 2) 1n 1 1= = -a (n+1) (n+1)2 2na 1 +1 是递增数列，且 n N n * 1- <1，显然数列 " Î ， 2a (n +1)n又an l1+ £

26、 对任意 nÎ N* 恒成立，则l ³1，an所以实数l 的取值范围为l ³1.故答案为：l ³1四解答题（共 6 大题，10 分+12 分+12 分+12 分+12 分+12 分，共 70 分）917求函数f (x) = x - 3x 在区间3 2é 1 ù - ,4ê úë û2上的最大值和最小值【答案】最大值为 16，最小值为 -4.【解析】【分析】求出 f ¢(x)，求出 f (x)在闭区间é 1 ù - ,4ê úë 

27、1;2æ 1 ö上的极值，与 f - , f (4)比较大小，即得最值.ç ÷è ø2【详解】 ¢( ) = -f x 3x 6x ，2令 f ¢(x)= 0，得 x = 0 或 x = 2 ，1由 f ¢(x)> 0，得 2 < x < 4 或 0- < x < ；由 f ¢(x)< 0，得 0 < x < 2，2æ 1 ö 在区间(2, 4)，f (x)- ,0ç ÷è ø2上单调递增

28、，在区间(0,2)上单调递减， 在 x = 0 时有极大值 f (0)= 0，在 x = 2时有极小值 f (2) = 8-12 = -4 ，f (x)又 f (4) = 64 - 48 =16 ，fæ 1 ö 1 3 7- = - - = -ç ÷è ø2 8 4 8 f (x)在é 1 ù - ,4ê úë û2上的最大值为 16，最小值为 -4.18如图所示在多面体 ABC - DEF 中，AD 平面 ABC ，四边形 ACFD是正方形，EF/BC ，BC = 2EF

29、，AB AC ， AB = AC = 2 .（1）求证：直线 AF / 平面 BDE ；（2）求平面 BDE 与平面CDE 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】10【分析】（1）以点 A 为坐标原点，分别以 AB 、 AC 、 AD 为 x、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出直线 AF / 平面 BDE ；（2）利用空间向量法可求得平面 BDE 与平面CDE 夹角的余弦值.【小问 1 详解】证明：因为 AD 平面 ABC ， AB AC ，以点 A 为坐标原点，分别以 AB 、 AC 、 AD 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则 A

30、(0, 0, 0)、 B(2, 0, 0)、C (0, 2,0)、 E(1,1, 2)、 F (0, 2, 2)、 D(0,0, 2)，所以， BD = (-2,0, 2)， BE = (-1,1, 2)，设平面 BDE 的法向量为 n = (x, y, z)，依题意有vìBD×n = 0uuuv v ，即íBE ×n = 0îì-2x + 2z = 0í-x + y + 2z = 0î，令 x =1，可得 n = (1,-1, 1)，QAF ×n = 0-2+ 2 = 0，则 AF n ，Q AF &#

31、203;平面 BDE ，因此， AF / 平面 BDE .【小问 2 详解】解：由题 DE = (1,1, 0)， DC = (0, 2,-2)，设平面CDE 的法向量为 ( 1, 1, 1 )m = x y z ，依题意有vìDE ×m = 0uuuv v ，即íDC ×m = 0îìx + y = 01 1í2y - 2z = 0î1 1，取x1 =1，可得 m = (1,-1,-1)，ur rm×n 1 1cos < m,n >= ur r = = ， m × n 3´

32、; 33因此，平面 BDE 与平面CDE 的夹角余弦值为13.11mæ 2 ö19已知 x2 +ç ÷è x ø的展开式中，第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为12.（1）求 m 的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.r ræ 1 ö 5m-r - 2m-（1）展开式的通项为 ( )T 1 = C × x ×ç2x ÷ = C × 2 × xr 2 r r 2 2r+ m m

33、32; ø， C3 × 23 ，倒数第 4 项的系数为Cm-3 × 2m-3 ，展开式中第 4 项的系数为m mC ×2 13 3 =mC - ×2 - 2m 3 m 3m，即1 1- = , m = 7 .2m 26（2）令 x =1可得展开式中所有项的系数和为37 = 2187 ，展开式中所有项的二项式系数和为 27 =128.5r（3）展开式共有 8 项，由（1）可得当 2m - 为整数，即 r = 0, 2, 4,6 时为有理项，共 4 项，2A A5 14 4由插空法可得有理项不相邻的概率为 4 = .A 148 820（12 分 ）

34、第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月在中国北京市和张家口市联合举行某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选拔大赛选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为 200 分经统计，有 40 名选手在线答题总分都在150，200内将得分区间平均分成 5 组，得到了如图所示的频率分布折线图（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这 40 名选手的平均分；（2）根据大赛要求，在线答题总分不低于 190 分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有 A，B，C，D 四个等级两科均不低于 C，且至少

35、有一科为 A，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格已知总分高于 195 分的选手在每科笔试中取得 A，B，C，D 的概率分别为23，161，12，12112；总分不超过 195 分的选手在每科笔试中取得 A，B，C，D 的概率分别为13，14，16，14；若两科笔试成绩均为 A，则无需参加面试，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个 A，则2要参加面试，总分高于 195 分的选手面试“通过”的概率为 ，总分不超过 195 分的选手面试“通过”3 2的概率为 若参加线下集训的选手中有 2 人总分高于 195 分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解

36、员”5资格的概率21（12 分）已知椭圆 C：x y2 22 2 1+ = （ a > 0 ，b > 0）的焦距为 2 3b ，经过点 P（ -2，1）a b（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足OM = NO ，直 线 PM，PN 分别交椭圆于 A，BPQAB，Q 为垂足是否存在定点 R，使得 QR 为定值，说明理由13a22已知函数 f (x) = ax - - 2 ln x(a ÎR) .x（1）若 f (x) 是定义域上的增函数，求 a 的取值范围；（2）设3a > ，5x ，1x 分别为 f (x) 的极大值点和极小值点，若 S = f (x - ，求 S 的取值范围.1) f (x )2 2a 2 ax -2x +a2【解析】（1） f (x)的定义域为(0,+¥ )， ( ) f