第2章 稳定电场

1、第二章 稳定电场 1 电荷守恒定律 宏观实验表明：一个孤立系统的电荷总量是保持不变的，即在任何时刻，系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变。称之为电荷守恒定律。电荷守恒定律表明，如果孤立系统中某处在一个物理过程中产生（或消失）了某种符号的电荷，那么必有相等量的异号电荷伴随产生（或消失）；如果孤立系统中总的电荷量增加（或减小），必有等量的电荷进入（或离开）该孤立系统。2 .1 电荷与电流电荷与电流2 .1 电荷与电流电荷与电流 单位时间内，通过界面进入V内部的电荷量为： 该电荷量等于V内单位时间内的电荷增加量，即： sdqsJdVdtddqVssJVsnJ0tJ孤立系统孤立系统2 .2 Coul

2、omb定律与静电场定律与静电场 1 Coulomb定律 真 空 中 任 意 两 个 静 止 点电荷q1 和q2之间作用力的大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；方向沿q1 和q2连线方向，同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引。31201221124RqqRF2 .2 Coulomb定律与静电场定律与静电场 实验还证明，真空中多个点电荷构成的电荷体 系，两两间的作用力， 不受其它电荷存在与否的影响。多个电荷体系中某个电荷受到的作用力是其余电荷与该电荷单独存在时作用力之矢量代数和，满足线性叠加原理。ijijijjiiRqq304RFqi2 .2 Coulomb定律与静电场定律与静电场

3、2 电场强度 实验证明，任何电荷在其所在空间激发出对置于其中的电荷有力的作用的物理量，称为电场。由静止电荷激发的电场称为静电场。人们正是通过对电磁中电荷受力的特性认识来研究电场的。电荷之间的作用力是通过电场来传递的。因此电场对电荷的作用力可以用于定义电场。2 .2 Coulomb定律与静电场定律与静电场 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力： 根据上述定义很容易得到真空中静止点电荷q激发的电场为： 000limqqrFrE 304RqRrE2 .2 Coulomb定律与静电场定律与静电场 如果电荷是连续分布，密度为 。它在空间任意一点产生的电场为： )(rd

4、VRRVViiiii301304)(4)()(RrRrrEiiV)(r小体积元中的电荷产生的电场)/()()(lim)(30mCdVdqVqVr rr rr r )/()()(lim)(20mCdSdqSqSr rr rr r)/()()(lim)(0mCdldqlqlr rr rr r体电荷密度面电荷密度线电荷密度2 .2 Coulomb定律与静电场定律与静电场3 电荷密度QPPQPQdqAUlE0QPrrrdrq204)11(40QPrrqP、Q两点间的电位差，与P点和Q点的位置有关，与所取路径无关。QPPQdqAlE02 .3 电位电位将q0从P点移到Q点，电场力所做的总功为APQ与q0

5、的比值为沿某一路径由P点到Q点的电位差1 电位差如果取Q点为电位参考点，则P点的电位定义为QPPdUlE参考点Q点的电位为00QQQdUlE选取无限远处作为参考点，任意点P的电位为PPdUlE 2 .3 电位电位2 电位静电场中电位差与电位212121PQQPPPPPdddUlElElE2121PPQPQPUUddlElE电位是点函数，“对一点谈电位，对两点谈电压”。静电场力所做的功与路径无关，但每点的电位则还与参考点的位置有关。2 .3 电位电位2 .4 静电场的性质静电场的性质3 静电场的性质 性质1 静电场是有源场， 。 电荷是静电场的通量源。利用Gauss定理得到 称为静电场的Gaus

6、s定律。静电场的Gauss定律表明静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷。在没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。 0rrE dVddVVVsrsrEE012 .4 静电场的性质静电场的性质2 .4 静电场的性质静电场的性质性质2 静电场是无旋场 014141030dVRdVRVVrrRrE由于标量场的梯度是无旋场，所以静电场又可以表示为某个标量场的梯度。 rrE真空中xy平面上一半径为a的圆形线电荷（线密度为 ），轴线上离圆心z处的P点的电位及电场强度。zxyaPodqzR1 1/ /2 2 22zaRaddq2/1220)(2zaa2/12200)(4ad4dUzaRdq202/1220

7、)(4UUzaaddkkeeE3/2220)z(a2azzU- -电荷面密度为 ，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。在圆盘上取一半径为r宽为dr的圆环，则dq为.2rdrdsdq 1/22201/2220)z(r2rdr)z(r4dqdUa01/2220a01/2220)z(r2)z(r2rdrdUU z 1/2220)z(a2P圆电荷在轴线上P点产生的电位整个圆盘上的电荷在场点P引起的电位为由于电场强度只有沿Z轴方向有分量，可得电场强度为kkeeE1/2220)z(az12zU如果圆盘的半径趋向无限大（ ），即成一无限大带电平面，则它所引起的电场强度为 akeE02P电荷面密度为 ，半

8、径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。2 .5 电力线的性质电力线的性质PS性质2：电力线不构成闭合曲线。ldlE00E性质1：电力线发自正电荷，终于负电荷。任意两条电力线不会相交。电场是无旋场。等位线等位线（等位面和纸平面相交而得）常量 ),(zyx由电位相等的点形成的曲面，称为等位面，等位面的方程为：等位线的疏密反映场强的大小。等位线的性质：等位线处处与电力线垂直。等位线的切线等位线PEPdl2 .5 电力线的性质电力线的性质正点电荷正点电荷两个等量正点电荷两个等量正点电荷有限长线电荷有限长线电荷无限长线电荷无限长线电荷带电金属球和一个不带电金属球带电金属球和一个不带电金属球导电体（即导体

9、）导电体（即导体）绝缘体（电介质）绝缘体（电介质）静电场中导体性质静电场中导体性质导体内的电场强度应为零。导体是一个等位体。在导体表面上任何一点的电场强度方向一定要与导体表面垂直。导体如果带电，电荷只能分布于表面。2 .6 导体和电介质导体和电介质电偶极子电偶极子电偶极子：指相距很近的两个符号相反而量值相等的电荷。l远小于观测距离r。+-qqlr1r2rP常用电偶极矩p来表征其特性：l lp pq其中l的方向是由负电荷指向正电荷2 .6 导体和电介质导体和电介质真空中置于真空中置于z轴上两个点电荷形成的电偶极子产生的电场。轴上两个点电荷形成的电偶极子产生的电场。10r4qq)(20r4qq)(

10、 )rrrr(4qq)(q)(21120+q和-q分别在场点P引起的电位为根据迭加原理，由电偶极子在P点引起的总电位为当r很大时(即rd)，r1、r2和r三者近乎平行，有dcosrr12 221rrr 20r41U0rpqdcosq00rdrp20rcos41Up真空中置于真空中置于z轴上两个点电荷形成的电偶极子产生的电场。轴上两个点电荷形成的电偶极子产生的电场。电偶极子的场图电偶极子的场图均匀媒质均匀媒质 媒质的特性不因空间坐标（x,y,z）而变。各向同性媒质各向同性媒质 媒质的特性不因场量的方向而变。线性媒质线性媒质 媒质的参数不随场量的量值而变。2 .7 均匀各向同性线性煤质均匀各向同性

11、线性煤质极性分子极性分子：取向极化极化结果：束缚电荷的分布发生变化，在电介质内部 或表面形成极化电荷。非极性分子非极性分子：位移极化2 .8 电介质的极化电介质的极化极化强度极化强度P P：单位体积内的等效偶极矩（该体积内各电偶极子偶极矩的矢量和）。Vlim0VpP在各向同性的线性介质中有EP0为介质的极化率。2 .8 电介质的极化电介质的极化极化电荷的体密度PP极化电荷的面密度0nPPVSPPdSdV41)(rrrrr0VS3P3P)dS()dV(41)(rrrrrrrrrE0极化电荷引极化电荷引起的电位和起的电位和电场强度电场强度介质内部同时介质内部同时有自由电荷和有自由电荷和电介质存在电

12、介质存在1 1）真空中）真空中无限大真空中的点电荷q，作一任意半径r的球面包围该点电荷，则由该球面穿出的E通量应为：0S20SqdSr4qd SE如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合面，则由该闭合面穿出的E通量仍然等于0q闭合面内包围了n个点电荷，则n1k0kSn1kSkn1kkSqdd)dSESESE（2 .9 高斯通量定理高斯通量定理2 .9 高斯通量定理高斯通量定理闭合面内是连续分布电荷的情况，则0SqdSEe结论：在真空电场中，由任意闭合面穿出的E通量 等于该闭合面内所有电荷的代数和除以真空的介电常数 。0e2 2）电介质中）电介质中)(1d0SPqqSE自由电荷为321qqqq极化电

13、荷量为SSSSSPVVVVPPdSdVqSP- d3213212 .9 高斯通量定理高斯通量定理0SdSdSqPSEqS0dSP)E(SqdSD电位移电位移则PED02 .9 高斯通量定理高斯通量定理令高斯通量定理：在静电场（无论是在真空还是介质高斯通量定理：在静电场（无论是在真空还是介质中，也无论介质均匀与否）中，由任意闭合面穿出中，也无论介质均匀与否）中，由任意闭合面穿出的的D D通量等于该面内自由电荷的代数和。通量等于该面内自由电荷的代数和。一般情况一般情况PED0EP0各向同性的线性电介质各向同性的线性电介质ED0 )1 ( ED )1 (0r0 ：介电常数 ：相对介电常数0r/ 2

14、.10 电位移电位移无限大均匀介质中无限大均匀介质中ED 则SqdSESqd/SE结论结论：当场源的自由电荷分布相同时，无限大均匀介质中的电场较无限大真空中相应的电场要小 倍。r无限大均匀介质中点电荷引起的电场强度和电位0rE2r4qr4qU2 .10 电位移电位移D D线和线和P P线线D线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷。SqdSDSPqdSPP线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。2 .10 电位移电位移介质中的D与空气中的相同介质中的E小于空气中的电场强度极化电荷在介质中所引起的P线埋在介电常数为埋在介电常数为的均匀无限电介质中的的均匀无限电介质中的金属球的金属球的场强场强E

15、。r以半径r作球面S（高斯面），S上各点的D大小相等。0SDqddSS SD02qDr4204rqD 0rE204rq真空中两个同心带电金属球壳产生的电场强度及电位。真空中两个同心带电金属球壳产生的电场强度及电位。q1-q1q1+q2电场强度电场强度1Rr 0qd0S1SE0E1 故21RrR 02rE201r4q0122qEdSEd24rSS2SE故222RRrR 0qqd011S3SE0E3 故q1-q1q1+q222RRr 04rE2021r4qq02144qqEdSEd24rSS4SE真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。q1-

16、q1q1+q2真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。电位电位选取无穷远处为参考点22RRr rqqdrrqqdrP021202144UlE404rE2021r4qq)(4U22021(2RRqq外）外球壳外表面的电位为：真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。q1-q1q1+q2222RRrR 2222rEEU43RRRRrPddrdlE)(4U220212RRqq（内）外球壳内表面的电位为：)(4U0220212RRqq（外）真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。真空中

17、两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。)211(4U2221011RRRRq（内）22EU2RrPdrdlE12RrR )(4)11(422021201RRqqRrq内球壳的电位为：q1-q1q1+q2真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。真空中两个同心带点金属球壳产生的电场强度及电位。q1-q1q1+q21Rr 111UUEU1RrPdrdlE)211(4222101RRRRq电位电位电场强度电场强度真空中体密度为真空中体密度为、半径为、半径为R的均匀带电球体，球内、外的的均匀带电球体，球内、外的电场强度及电位。电场强度及电位。 R带电球电场强度和电位电场强度和电位 Rr 0r

18、E013r高斯通量定理0dVS1SE0321344ErrRr 0321344ERr0rE20323rRrRdrEr03223URrdrE211UU)25 . 1 (32202RrR电场强度电场强度电位电位 电位函数及其满足的方程电位函数及其满足的方程 静电场满足方程为 引入电位函数 ，满足的方程 如果 Poisson方程变为 Laplace方程 0rE rrD r rr2V r 0rS2 .11 静电场方程静电场方程（PoissonPoisson方程）方程） Poisson方程或Laplace方程的求解，必需知道位函数所在区域边界上的状态，即边界条件。 所谓边界条件即电场在介质交界面两侧所满足

19、的方程。 可直接从静电场满足的方程（积分）导出。sn12DDssnnn11222122012EEn 012srr2 .11 静电场边界条件静电场边界条件2 .12 导体的边界条件导体的边界条件导体内存在大量可自导体内存在大量可自由移动的电子；宏观由移动的电子；宏观上呈现电中性上呈现电中性E+达到静电平衡状态达到静电平衡状态导体内部电场为零导体内部电场为零附加场没有外加电场没有外加电场2 .12 导体的边界条件导体的边界条件电场中的导体电场中的导体： 导体内部电场为零； 导体边界面上电场的切向分量为零； 导体为等势体； 电荷只分布在导体的表面sn（常数）0SsQs导体不带电，导体所带电荷量，0d

20、 均匀介质空间中的静电场为确定边界条件下Poisson方程的解，即 |SSsSS|nnrrrr2222或2 .13 静电场的定解问题静电场的定解问题 根据能量守恒原理，静电场的能量等于产生电荷静电场体在建立过程中，外力克服静电力做功的总和。 第一个小电荷元第一个小电荷元自从无穷远处移自从无穷远处移到点，外界克服到点，外界克服电场力做功为零电场力做功为零 第二个小电荷元自从无穷远处移第二个小电荷元自从无穷远处移到到r r2 2点时，外力克服电场力所作点时，外力克服电场力所作的功是的功是 1222122dddd2VVwrrLEr2 .14 静电场的能量和能量密度静电场的能量和能量密度 VVVVVW

21、Vnjjiijiined21dlimddd0111233313331222rrrrrr 利用关系式 D和 rrE VVVVWVSVVVed21dd21d21d21rErDSrDrrErDrrDrr静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过电场计静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。能量密度函数两者都可作为静电场能量计算公式 将静电场能量公式应用到导体系，由于导体的电位为常数，从而得到导体系的能量为 导体系相对于同一参考点的电位 导体系的电荷量 iissiVeqsVWi21d21d21rr2 .14

22、 静电场的能量和能量密度静电场的能量和能量密度定义：空间分布的电荷在电场作用下做定向运 动形成电流，随时间恒定的电流称为恒定电流，该空间中存在的电场就是恒定电场。内容： 基本矢量 场方程 场的性质3.1 稳定电场稳定电场3.2 电流与电流密度电流与电流密度 1 1）电流）电流电荷的定向运动形成电流。习惯把正电荷运动的方向规定为电流的方向。电流方向电流方向2 2）电流强度）电流强度)(AdtdqI 单位时间内通过某一横截面的电量，叫做该截面的电流强度。简称为电流。（3 3）恒定电场的基本物理量恒定电场的基本物理量电流密度电流密度定义：定义：设通过设通过S S的电流为的电流为I I，则该点处的电流

23、密度为，则该点处的电流密度为 ：20/limmAdSdISIS 方向：方向：正正电荷运动的方向电荷运动的方向电流密度电流密度 （4 4）欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式在各向同性的导电媒质中，电流密度与电场强度间的关系为：在各向同性的导电媒质中，电流密度与电场强度间的关系为： EjCCjEr或或 )/(2mAC(S/m).( mr传导电流密度传导电流密度 电导率电导率 电阻率电阻率 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 几种材料在常温下的电阻率和电导率几种材料在常温下的电阻率和电导率 2-2 导电媒质中恒定电场的基本方程导电媒质中恒定电场的基本方程 电荷守恒定律电荷守恒定律（1 1）导电媒

24、质中恒定电场基本方程的积分形式导电媒质中恒定电场基本方程的积分形式tqSjdSC0 tq0SjdSC恒定电场中的传导电流连续性方程恒定电场中的传导电流连续性方程 电场强度向量的环路线积分电场强度向量的环路线积分如果所取积分路线经过电源：如果所取积分路线经过电源： 0)(lElElEEdddlelle如果所取积分路线不经过电源：如果所取积分路线不经过电源：0 lE dl 导电媒质中恒定电场（电源外）积分形式的基本方程导电媒质中恒定电场（电源外）积分形式的基本方程0 SdSC0 lE dl E E与与C C的关系的关系在各向同性媒质中，对于电源以外的区域有：在各向同性媒质中，对于电源以外的区域有：

25、E C在各向同性媒质中，对于电源以内的区域有：在各向同性媒质中，对于电源以内的区域有：)eEE (C（2 2）导电媒质中恒定电场基本方程的微分形式导电媒质中恒定电场基本方程的微分形式 由散度定理得由散度定理得00 dVdVCSCS散度定理散度定理0 C结论：结论：恒定电场是无散（源）场，因此电流线是连续的，既无始端也无终端。恒定电场是无散（源）场，因此电流线是连续的，既无始端也无终端。 由斯托克斯定理得由斯托克斯定理得0)(0SElEddsl斯托克斯定理斯托克斯定理0 E结论：结论：恒定电场是无旋场。恒定电场是无旋场。导电媒质中恒定电场（电源外）微分形式的基本方程导电媒质中恒定电场（电源外）微

26、分形式的基本方程0 C0 E 恒定电场是无源无旋场。恒定电场是无源无旋场。（3 3）恒定电场中的拉普拉斯方程恒定电场中的拉普拉斯方程在恒定电场中有在恒定电场中有 E 有有 和和 E C0 C 0 EEE)(C0 均匀媒质：均匀媒质： E0-E )2(C即：即： 恒定电场的拉普拉斯方程恒定电场的拉普拉斯方程0 2 2-3 分界面上的边界条件分界面上的边界条件（1 1）讨论两种导电媒质分界面上必须满足的边界条件讨论两种导电媒质分界面上必须满足的边界条件 恒定电场中恒定电场中E E必须满足的边界条件必须满足的边界条件0 lE dl021 lElEttttEE21 结论：结论：恒定电场中，两种导电媒质分界面上的电场强度的切线分恒定电场中，两种导电媒质分界面上的电场强度的切线分 量是连续的。量是连续的。12 恒定电场中恒定电场中C C必须满足的边界条件必须满足的边界条件0 SdSC021 SSnCnCnCnC21 结论：结论：恒定电场中，两种导电媒质分界面上的传导电流密度的法恒定电场中，两种导电媒质分界面上的传导电流密度的法 线分量是连续的。线分量是连续的。12 恒定电场中的折射定律恒定电场中的折射定律ttEE21 nCnC21 E C2211