偏导数的定义及其计算法

1、一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、小结三、小结定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有 定定义义，当当y固固定定在在0y而而x在在0 x处处有有增增量量x 时时， 相相应应地地函函数数有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，则则称称 此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对x的的 偏偏导导数数，记记为为 一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ，00yyxxx

2、f ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. . 函数对函数对 x 的偏增量的偏增量同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导的偏导数为数为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为 00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. . .),(),(lim0000000 xyxfyxxfxfxyyxx 如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的 偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数， 它它就就称称为为函函数数)

3、,(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数，记记作作 xz ，xf ，xz 或或 ),(yxfx. . 同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作 yz ，yf ，yz 或或 ),(yxfy. . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfu 例如，例如，处，处，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一

4、元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。微分法问题。时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。例例 1 1 求求223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 例例

5、2 2 求求yxz2sin2 的的偏偏导导数数 解解 xz;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 例例 3 3 设设yxz )1, 0( xx，求求证证 zyzxxzyx2ln1 . . 证证 xz,1 yyx yz,lnxxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 4 4 设设22arcsinyxxz ，求求xz ，yz . . 解解 xz322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy xyxxyxx 2222211 yz32222)()(|yxxyyyx yyx

6、x1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在yyxxyxx 2222211 例例 5 5 已已知知理理想想气气体体的的状状态态方方程程RTpV （R为为常常 数数） ，求求证证：1 pTTVVp. . 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分; ; 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；例例 6 6（P17） 0 , 0 , 0 ,),(222222y

7、xyxyxxyyxf。 求求 ).,( ),(yxfyxfyx 解解时时，当当 0 22 yx时时，且且即即 0 0 yxxxyxxyyxf 22),( 22222)(2)(yxxyxyxy ,)()(22222yxxyy ).,( )1(yxfx先先求求xfxfx )0 , 0()0 ,0(lim0. 000lim0 xx于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxxyyyxfx考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，时时，当当 0 22 yx时时，且且即即 0 0 yxyyyxxyyxf 22),( 22222)(2)(yxxyyy

8、xx ).,( )2(yxfy求求,)()(22222yxyxx yfyfy )0 , 0()0 , 0(lim0. 000lim0 yy于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxyxxyxfy考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，例例 7 7 设设 222),(zyxzyxr 。求。求 ,xr .zr 解解 xry、z 看成常量看成常量 22222zyxx 222zyxx .rx zr22222zyxz 222zyxz .rz x、y 看成常量看成常量 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如，函数例如，函数 . 0

9、, 0 , 0,),(222222yxyxyxxyyxf, , 依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff. . 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。4 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 偏偏导导数数),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所

10、所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对x轴轴的的斜斜率率. . 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率. . 几何意义几何意义: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函数函数),(yxfz 的二阶偏导数为的二阶偏导数为 混合偏导混合偏导二、高阶偏导数二、高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .),(3322yxfx

11、zxzxxxx ),(2322yxfxyzyzxyyx ),(32yxfyyxzyxzyxyy .111xyzyzxnnnn 同同样样可可以以定定义义三三阶阶、四四阶阶以以及及 n 阶阶偏偏导导数数： 例例 8 8 设设 13323 xyxyyxz， 求求 22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及及33xz . . 解解,33322yyyx ;9223xxyyx 22xz,62xy xxyxyyxxz13323 yxyxyyxyz13323 xyyyx 32233 yxz2, 19622 yyx yyyyx 32233 22yz;1823xyx 33xz,62y xyz2. 19622

12、 yyx 22xz,62xy xyyyx 32233 yxz2, 19622 yyx yyyyx 32233 xxxyyx 2392 yxxyyx 2392 xxy26例例 9 9 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数. . 解解;sinbybeax 22xu 22yu yxu2 xyu2,cosbyaeax xaxbyexucos yaxbyeyucos ,cos2byeaax xaxbyaecos ,cos2byebax yaxbybesin ,sinbyabeax yaxbyaecos .sinbyabeax xaxbybesin 定定理理 如如果果函函数数),(yxfz

13、的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数 xyz 2 及及 yxz 2 在在区区域域 D 内内连连续续，那那末末在在该该 区区域域内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？例例 1010 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉斯满足拉普拉斯 . 0 2222 yuxu方方程程解解),ln(21ln2222yxyxu 22221yxy ,22yxx ,22yxy ,)(22222yxxy 22221yxx xyxxu )ln(2122 yyxyu )ln(2122 22222)(2)(yxxxyx 22xuxyxx 22 22222)(2)(yxyyyx 22222222222222)()( yxyxyxxyyuxu 于于是是，. 0 .)(22222yxyx ,)(22222yxxy 22222)(2)(yxxxyx 22xuxyxx 22 22yuyyxy 22 偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）( 注意：混合偏导数相等的条