解析几何专题之轨迹方程问题上

1、 解析几何概述：解析几何是高中数学的重要内容之一，全国在这一部分的出题情况较为相似，分值约占20%，即30分左右，具体分配为：直线和圆约占6%，一般为两道小题，属容易或中档题，考试的主要内容有：倾斜角和斜率、两直线交角、对称点、点到直线距离、两条直线平行与垂直关系的判定、用二元一次不等式表示平面区域、直线和圆的方程等；圆锥曲线约占13%，题型一般为二小一大，小题基础灵活，解答难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，考试的主要内容有：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等内容。 求轨迹方程的问题是解析几何的常考题型，难度往往较大，经常出现在高考的压轴题中。 此类问题涉及内容多，范围

2、广，综合程度高，往往涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等多方面的内容，也常常涉及数型结合、分类讨论、等价转化等数学方法。 具有一定特点：数型结合，运算量大，综合性强。 主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析和解决问题的综合能力。 在这部分的学习中尤其要要克服畏难心理。 虽然题型灵活多变，但有一些常用方法可以总结。 直接法：当动点直线与已知条件联系时 定义法：利用圆锥曲线定义直接求解，如题设有动电到两点距离之和或差为定值等条件时 变量代换法：如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q（u,v）而运动，而Q点的坐标u、v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程，间接地求得P点的轨

3、迹方程 运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何知识，分析轨迹形成的条件，秋初轨迹方程 交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交线的方程，即所求动点的轨迹方程 动点直接与已知条件联系，直接列动点的关系式，即可求得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间步骤。 以下举一个例子说明： ( , ) | | .aP x yxyaxya 【例1】一个动点到两坐标轴的距离之积为一正的常数 ，求这个动点的轨迹方程.解：设动点为，依题意有：，即，这就是所求的轨迹方程，表示两条双曲线 若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件时，可以

4、利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。 以下举一个例子说明：1sinsinsin2 .11 sinsinsin2222 21 .2 ABCBCaACBAABCxBCyABACBCCBARRRABACaA【例2】在中，已知，当动点 满足条件时，求动点 的轨迹方程解：以边所在直线为 轴，以线段的垂直平分线为 轴建立直角坐标系.因为，由正弦定理得：，所以（定值）根据双曲线定义， 点的轨迹方22222222222222222. 1224163 ( )1(0)32161616162 caxyaaamABACmmmnaa

5、axyncmAxaaRR程是双曲线的右支（除顶点），它的焦距是设双曲线方程为：，则，所以，又，故动点 的轨迹方成为：正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等且等于（ 是三角形外接圆半径） 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q（u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程，间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做变量代换法或转移法.此类问题的难度属中档水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较易的题目。 以下举一个例子说明：22111122221111224(4,

6、0) .4( ,)( , ).22 24244 (24)(2 )4(2)QxyRQRxyQx yQRPx yxyxxyyQxyxyxyx【例3】已知点 为圆上的一个动点， 点的坐标为，试求线段中点的轨迹方程解：设 点的坐标为，中点 的坐标为，则，所以，因为 点是圆上点，故，即，故所求的轨迹方程为：221.y 运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的知识，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用此种方法，可能非常简便。 以下举一个例子说明：2222266140( 3, 5) (3)(3)4(3,3). ( , )35 11(33

7、CMPQxyxyAxyCAPQM x yPQCMCMPQyykkxyxx 【例4】已知圆的方程为，求过点的直线交圆的弦的中点的轨迹.解：圆的方程为，则圆心 的坐标为设过点 的直线交圆于 、 两点，是的中点，连，则，故有：，则，整理得：2221)25 (1)25xy，所以所求轨迹方程是圆在已知圆内的一段弧.C3-3-5.CPQMXY 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交线的方程，即为所求动点的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。此类问题难度较大，曾经在高考压轴题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把握曲线相交的性质就把握了解题的关键。 以下举两个例子说明：1212121 1

8、221211 1221221122 . ( , )( , )(,)( ,)( ,). AAPPA AAPA PA AxOORP m nAPA PP x yAR OA R OP mnAPPAP【例5】设 、是一个圆的一条直径的两个端点，是垂直的弦，求直线与交点的轨迹方程解：以直线位 轴，圆心 为原点，建立平面直角坐标系，如图.设 的半径为 ，与交点，则，因为 、 、 三点共线， 、222222 PynxRmRmnRynxRRmxyR 、 三点共线，所以，且所以即为所求的轨迹方程.A1A2PP2P1OxyABCDEFGPOxy04 4 . aABCDABBCaOABEFGBCCDDABECFDCP

9、GEOFBCCDDAP【例6】（2003年高考数学全国卷第22题）已知常数，在矩形中， 为的中点.点 、 、 分别在、上移动，且为与的交点（如图）.问：是否存在两个定点，使 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐.标及此定值；若不存在，请说明理由 ( 2,0)(2,0)(2,4 )(, 2,4 ). (01).(2,4)(24 ,4 )( 2,44). 2(21)0PPABCaDaBECFDCkkEakFkaGaakBCCDDAOFaxkyGE解：根据题设条件，首先求出点 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，使得 到两定点距离的和为定值.按题意有，设，由此有，直线的方程为：，直线

10、222222222(21)20. ( , )220() 1.121 21 21 2akxyakP x ya xyayxyaaaPaPPaP的方程为：从两直线方程中消去参数 ，得点坐标满足方程，整理得当时，点 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点当时，点 的轨迹为椭圆的一部分，点 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当时，点2222211(, )(, )2.22111 (0,)(0,)2 .222aaaaaPaaaaa到椭圆两个焦点和的距离之和为定值当时，点 到椭圆两个焦点和的距离之和为定值 求轨迹问题归根到底是要得出x和y关系式。那么抽象来看只可能存在两种情况： 1.x和y的关系可以直接得到，如第一、二种类型的情况； 2.需要中间量联系，绝大多数题目属于这种情况，只要有x=f(u,v