信号与系统微分方程式的经典解法

1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统n n阶常系数微分方程的求解法阶常系数微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order全响应全响应= =齐次方程通解齐次方程通解 + + 非齐次方程特解非齐次方程特解（自由响应） （受迫响应）全响应全响应= =零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应（解齐次方程） （卷积法） 时域分析法时域分析法（经典法）变换域法变换域法（第四章拉普拉斯变换法）微分方程求解微分方程求解信号与系统信号与系统n 阶线性时不变系统的描述阶线性时

2、不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间的关系，之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述可以用下列形式的微分方程式来描述( )x t( )r t阶次：阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。-1101-1101dd( )( )( )dddd( )( )( )ddnnnnnnmmmmmmay tay ta y tttbx tbx tb x ttt若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则 ， 均为常数，此方程为常系均为常数，此方程为常系数的数的n 阶线性常微分方程阶线性常微分方程。kakb信号与系统信

3、号与系统 一般将激励信号加入的时刻定义为一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为，响应为 时的方程的解，时的方程的解， 初始条件初始条件:0t齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式1ekntkkC注意：注意：重根情况处理方法（修改齐次解的形式）重根情况处理方法（修改齐次解的形式）特特 解：解：根据微分方程右端函数式（自由项）形式，设含待定系根据微分方程右端函数式（自由项）形式，设含待定系 数的数的特解函数式，特解函数式，代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。+2+n-1+2n-1dy(0 )d y(0 )dy(0 )y

4、(0 )dtdtdt, , , , ,经典法经典法kC完全完全 解：解：齐次解齐次解+特解，由初始条件定出特解，由初始条件定出齐次解系数齐次解系数线性时不变系统经典求解线性时不变系统经典求解信号与系统信号与系统齐次微分方程齐次微分方程1ekntkkC特征方程特征方程特征根特征根0)()()(011 -n1ntyatydtdatydtdannnnaaaannnn11100齐次解形式：（和特征根有关）齐次解形式：（和特征根有关）12,n齐次解齐次解线性时不变系统经典求解线性时不变系统经典求解信号与系统信号与系统特征根特征根齐次解的形式齐次解的形式rrtkkrtrtetCteCeC1211 2 ,a

5、b jbteCbteCatatsincos21btetDbtteDbteDbtetCbtteCbteCatkkatatatkkatatsinsinsincoscoscos121121kr对于每一个单根对于每一个单根k重实根重实根ajb1,21,2k重复根重复根线性时不变系统经典求解线性时不变系统经典求解rtCe给出一项给出一项信号与系统信号与系统3232ddd( )7( ) 16( ) 12 ( )( )dddr tr tr tr te tttt解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为 32716120 2230122 , 3 重根tthAAtAtr33221ee)(特征根特征根因而对应的齐次

6、解为因而对应的齐次解为求微分方程求微分方程齐次解齐次解解：解：系统的齐次方程为系统的齐次方程为3232ddd( )7( ) 16( ) 12 ( )0dddr tr tr tr tttt例例信号与系统信号与系统esin()a ttecos()a tt12cos()B sin()ateBtt自由项自由项响应函数响应函数 r(t) 的的特解特解EBpt1121ppppBtB tB tBea teka tBtcos() tsin() t12cos()sin()BtBtesin()pa tttecos()pa ttt11211121()ecos()()esin()pptpppptppBtB tB tB

7、tDtD tD tDt或或12cos()sin()atteBtBt当当 a 是是 k 重特征根时重特征根时当当ajb不是特征根不是特征根当当ajb是特征根是特征根线性时不变系统经典求解线性时不变系统经典求解信号与系统信号与系统如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。分别求两种情况下此方程的特解。 )(d)(d3d)(d2d)(d22tettetrttrttr,e)( )2( ;)( ) 1 (2ttette 给定微分方程式给定微分方程式3221p)(BtBtBtr这里这里 为待定系数，将此式代入方程得到为待定系数，将此式代入方程得到 321,BBBttBBBtBBtB2322 34

8、323212121例：例：（1 1） ，自由项为，自由项为 ， 选特解函数式为选特解函数式为2( )e tt22tt信号与系统信号与系统等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321BBB所以，特解为所以，特解为27109231)(2ptttr信号与系统信号与系统te31 于是，特解为于是，特解为tttttBBBeee3e2e31Bp( )( )( )hr tr tr t(2)(2)()(phtrtr 求出的齐次解求出的齐次解 和特解和特解 相加即得方程得完全解相加即得方程得完

9、全解当当 将其代入方程的右端，可求得自由项为将其代入方程的右端，可求得自由项为 很明显，很明显，可选可选 这里，这里，B 是待定系数。是待定系数。代入方程后有：代入方程后有：( )ete t ( )etpr tB。2et信号与系统信号与系统22dd( )6( )5 ( )ddty ty ty tett(0)(0)0yy例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解2650512( )tthytC eC e解解: : 齐次方程为齐次方程为 特征方程：特征方程： 特征根：特征根： 该方程的齐次解为：该方程的齐次解为：1251 ，22dd( )6( )5 ( )0ddy ty ty ttt ( )tp

10、ytCte此处，自由项即为激励函数。其中中此处，自由项即为激励函数。其中中a = -1= -1，与微分方程的一个特，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：征根相同，因此特解为： 线性时不变系统经典求解线性时不变系统经典求解信号与系统信号与系统t -t -t -t -22)(5)(dd6)(ddeCteCtetCtet代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 41C所以特解为所以特解为 tptety41)(完全解为完全解为tttphteeCeCtytyty41)()()(251代入初始条件代入初始条件求得求得161,16121CC所以有所以有041161161)(5tteeetyttt0)0()0( yy线性时不变系统经典求解线性时不变系统经典求解或写为或写为5111( )( )16164ttty teeteu t信号与系统信号与系统 完全解中的齐次解称为完全解中的齐次解称为系统的系统的自由响应自由响应,特解称为特解称为系统的系统的强迫响应强迫响应.特特征方程根征方程根 i(i=1,2,n)称为系统的称为系统的“固有频率固有频率”(或或“自由频率自由频率”)完全响应完全响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应上例中完全