初三+圆难题压轴题答案解析+

1、WORD格式.圆难题压轴题答案解析1. 解：（ 1）如图 1，设 O的半径为 r ，当点 A 在 C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AH BC于 H， BH=AB?cosB=4， AH=3， CH=4， AC=5，此时 CP=r=5；（ 2）如图 2，若 AP CE， APCE为平行四边形， CE=CP，四边形APCE是菱形，连接 AC、 EP，则 AC EP， AM=CM=，由（ 1）知， AB=AC，则 ACB= B， CP=CE=， EF=2=；（ 3）如图 3：过点 C 作 CNAD于点 N， cosB= 4 ，5 B 45°， BCG 90°， BG

2、C 45°， AEG=BCGACB= B，当 AEG= B 时， A、 E、 G重合，只能 AGE= AEG， AD BC， GAE GBC，=，即=，解得： AE=3， EN=AN AE=1，CE=专业资料整理.2. 解：（ 1）若圆 P 与直线 l 和 l 2 都相切，当点 P 在第四象限时，过点 P 作 PH x 轴，垂足为 H，连接 OP，如图 1 所示设 y=x 的图象与 x 轴的夹角为当 x=1 时， y=tan =60°由切线长定理得：POH= （ 180°60°）=60° PH=1，tan POH=OH=点 P 的坐标为（， 1

3、）同理可得：当点 P 在第二象限时，点P 的坐标为（， 1）；当点 P 在第三象限时，点P 的坐标为（， 1）；若圆 P 与直线 l 和 l 1 都相切，如图2 所示同理可得：当点 P 在第一象限时，点P 的坐标为（， 1）；当点 P 在第二象限时，点P 的坐标为（， 1）；当点 P 在第三象限时，点P 的坐标为（， 1）；当点 P 在第四象限时，点P 的坐标为（， 1）若圆 P 与直线 l 1 和 l 2 都相切，如图3 所示同理可得：当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点P 的坐标为（， 0）；当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点P 的坐标为（， 0）；当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点

4、P 的坐标为（ 0， 2）；当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（ 0， 2）综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有：.（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 0）、（， 0）、（0， 2）、（ 0， 2）（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4 所示由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等该图形的周长=12×（） =8.3. （1）解：连接 OB， OD， DAB=120°，所对圆心角的度数为240°， BOD=120°，

5、O的半径为3，劣弧的长为：××3=2；（2）证明：连接AC， AB=BE，点 B 为 AE的中点， F 是 EC的中点， BF 为 EAC的中位线， BF= AC， = ，+=+，=，BD=AC，. BF= BD；（ 3）解：过点 B 作 AE的垂线，与 O的交点即为所求的点 P， BF 为 EAC的中位线，BF AC， FBE=CAE， = ， CAB=DBA，由作法可知BP AE， GBP=FBP，G为 BD的中点，BG= BD， BG=BF，在 PBG和 PBF中， PBG PBF（ SAS）， PG=PF4. 解：（ 1） l 1 l 2， O与 l 1， l 2

6、都相切， OAD=45°，AB=4 cm， AD=4cm， CD=4 cm， AD=4cm，tan DAC=， DAC=60°， OAC的度数为： OAD+ DAC=105°，故答案为： 105；.（2）如图位置二，当O1 ，A1 ， C1 恰好在同一直线上时，设O1 与 l 1 的切点为E，连接 O1E，可得 O1E=2，O1El 1 ，在 Rt A1D1C1 中， A1D1=4， C1D1=4， tan C1A1D1= ， C1A1D1 =60°，在 Rt A1O1E 中， O1A1E= C1A1D1=60°，A1E=，A1 E=AA1 O

7、O1 2=t 2，t 2=，t=+2，OO1=3t=2+6；（3）当直线 AC与 O第一次相切时，设移动时间为t 1，如图，此时 O移动到 O2 的位置，矩形 ABCD移动到 A2B2C2D2 的位置，设 O2 与直线 l 1， A2 C2 分别相切于点F，G，连接 O2F，O2G，O2A2，O2 Fl 1， O2G A2G2，由（ 2）得， C2A2 D2=60°， GA2 F=120°， O2 A2F=60°，在 Rt A2O2F 中， O2F=2， A2F=，OO2=3t ， AF=AA2+A2F=4t 1+，4t 1+ 3t 1 =2，t 1 =2，当直线

8、 AC与 O第二次相切时，设移动时间为t 2，记第一次相切时为位置一，点O1， A1， C1 共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，+2（ 2） =t 2（+2），解得： t 2=2+2，.综上所述，当d 2 时， t 的取值范围是：2t 2+25. 解：（ 1）证明：如图 1，CE为 O的直径， CFE=CGE=90EG EF， FEG=90° CFE=CGE= FEG=90°四边形EFCG是矩形（2） 存在连接 OD，如图 2 ，四边形ABCD是矩形， A= ADC=90°点 O是 CE的中点，OD

9、=OC点 D 在 O上 FCE=FDE， A= CFE=90°， CFE DAB =（ ）2 AD=4， AB=3，BD=5，=（） ?SDABSCFE2= × ×3×4= S 矩形 ABCD=2SCFE= 四边形EFCG是矩形， FC EG FCE=CEG GDC=CEG， FCE= FDE， GDC=FDE FDE+CDB=90°， GDC+CDB=90° GDB=90°当点E 在点 A（E）处时，点F 在点 B（ F）处，点G在点 D（ G处，如图2 所示此时， CF=CB=4当点F 在点 D（F）处时，直径FG BD

10、，如图 2 所示，.此时 O与射线 BD相切， CF=CD=3当 CF BD时， CF最小，此时点F 到达 F，如图 2 所示S BCD=BC?CD= BD?CF4×3=5×CFCF= CF4S 矩形 ABCD=，2S2×（）×4矩形 ABCDS矩形 ABCD12矩形 EFCG的面积最大值为12，最小值为 GDC= FDE=定值，点G的起点为 D，终点为G，点 G的移动路线是线段DG GDC=FDE， DCG= A=90°， DCG DAB=DG=点 G移动路线的长为来.6. 解：（ 1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点 C

11、 为圆心， AC为半径作 C，交 y 轴于点 P1、 P2在优弧 AP1B 上任取一点P，如图 1，则 APB= ACB= ×60°=30°使 APB=30°的点 P 有无数个故答案为：无数（ 2） 当点 P 在 y 轴的正半轴上时，过点 C 作 CG AB，垂足为 G，如图 1点 A（ 1， 0），点 B（ 5， 0），OA=1， OB=5AB=4点 C 为圆心， CGAB，AG=BG= AB=2OG=OA+AG=3 ABC是等边三角形，AC=BC=AB=4CG=2 点 C 的坐标为（3， 2）过点 C 作 CD y 轴，垂足为D，连接 CP2，如图

12、1，点 C 的坐标为（3， 2），. CD=3， OD=2 P1、 P2 是 C与 y 轴的交点， AP1B= AP2B=30°CP2=CA=4， CD=3，DP2=点 C 为圆心， CDP1 P2，P1D=P2D=P2（ 0， 2）P1（ 0， 2+） 当点 P 在 y 轴的负半轴上时，同理可得： P3（ 0， 2） P4 （ 0， 2+）综上所述：满足条件的点P 的坐标有：（0，2）、（0，2+）、（0， 2）、（0， 2+）（3）当过点A、 B 的 E 与 y 轴相切于点P 时， APB最大 当点 P 在 y 轴的正半轴上时，连接 EA，作 EH x 轴，垂足为H，如图 2 E

13、 与 y 轴相切于点P，PE OPEH AB，OP OH， EPO=POH= EHO=90°四边形OPEH是矩形OP=EH， PE=OH=3 EA=3 EHA=90°， AH=2， EA=3， EH=OP=P（ 0，） 当点 P 在 y 轴的负半轴上时，同理可得： P（ 0，）理由： 若点 P 在 y 轴的正半轴上，在 y 轴的正半轴上任取一点 M（不与点 P 重合），连接 MA， MB，交 E 于点 N，连接 NA，如图 2 所示 ANB是 AMN的外角， ANB AMB APB=ANB， APB AMB 若点 P 在 y 轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB.综上所

14、述：当点P 在 y 轴上移动时，APB有最大值，此时点 P 的坐标为（ 0，）和（ 0，）7解答：证明：（ 1）如图，连接PM， PN， P与 x 轴， y 轴分别相切于点M和点 N，PM MF，PN ON且 PM=PN， PMF=PNE=90°且 NPM=90°， PE PF，NPE= MPF=90° MPE，在 PMF和 PNE中， PMF PNE（ ASA），PE=PF，（ 2）解：当 t 1 时，点 E在 y 轴的负半轴上，如图，由（ 1）得 PMF PNE， NE=MF=t ，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t ，a=NE ON=t 1，b a

15、=1+t （ t 1） =2， b=2+a，0 t 1 时，如图 2，点 E在 y 轴的正半轴或原点上，.同理可证 PMF PNE， b=OF=OM+MF=1+t ，a=ON NE=1 t ， b+a=1+t +1 t =2， b=2 a，（3）如图 3，（）当1 t 2 时， F（ 1+t ，0）， F 和 F关于点 M对称，F（1 t ， 0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q， （1t， 0） =1t，QOQ由（ 1）得 PMF PNENE=MF=t ， OE=t 1当 OEQ MPF=，解得， t =，当 OEQ MFP时，=，=，解得， t =，（）如图4，当

16、t 2 时， F（ 1+t ，0）， F 和 F关于点 M对称，F（1 t ， 0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，Q（ 1t ， 0） OQ=t 1，由（ 1）得 PMF PNE NE=MF=t ， OE=t 1当 OEQ MPF=，无解，.当 OEQ MFP时，=，=，解得， t =2±，所以当 t =， t =， t =2±时，使得以点Q、 O、 E 为顶点的三角形与以点P、 M、F为顶点的三角形相似8. 答：（ 1） DF AB，EF AC， BDF= CEF=90° ABC为等边三角形， B=C=60° BDF= CE

17、F， B= C， BDF CEF（ 2） BDF=90°， B=60°， sin 60°=， cos60°= BF=m， DF= m， BD= AB=4， AD=4 S ADF=AD?DF=×（ 4） ×m2=m+m同理： SAEF=AE?EF=×（ 4） ×（ 4 m）2=m+2 S=S ADF+S AEF2=m+m+22=（ m 4m8）=（ m 2）2 +3其中 0m 4. 0，024，当 m=2 时， S 取最大值，最大值为3 S与 m之间的函数关系为：S（ m 2） 2+3（其中 0 m 4）当 m=2

18、时， S 取到最大值，最大值为3（ 3）如图 2， A、 D、F、 E 四点共圆， EDF= EAF ADF= AEF=90°， AF是此圆的直径tan=，EDF tan EAF= =60°，C=tan 60°=设 EC=x，则 EF= x， EA=2x AC=a， 2x+x=A x= EF=， AE= AEF=90°，AF=此圆直径长为.9.解答：解：（ 1）连接 OA，过点 B作 BH AC，垂足为H，如图 1 所示 AB与 O相切于点 A， OAAB OAB=90° OQ=QB=1， OA=1 AB= ABC是等边三角形， AC=AB=

19、， CAB=60° sin HAB= ， HB=AB?sin HAB= ×= S ABC=AC?BH =× ×= ABC的面积为（ 2）当点A 与点 Q重合时，线段 AB与圆 O只有一个公共点，此时=0°；当线段A1B 所在的直线与圆O相切时，如图2 所示，线段 A1B与圆 O只有一个公共点，此时 OA1 BA1，OA1=1， OB=2，. cos A1OB= A1OB=60°当线段AB 与圆 O只有一个公共点（即A 点）时，的范围为： 0°60（ 3）连接 MQ，如图 3 所示 PQ是 O的直径， PMQ=90°

20、 OAPM， PDO=90° PDO= PMQ PDO PMQ = = PO=OQ=PQ PD=PM， OD=MQ同理： MQ=AO， BM=AB AO=1， MQ= OD= PDO=90°， PO=1，OD=，PD=PM=DM= ADM=90°， AD=A0 OD=， AM= ABC是等边三角形， AC=AB=BC， CAB=60° BM=AB， AM=BM CMAB AM= ， BM=，AB=. AC= CM= CM的长度为10.解答：（ 1）证明： CD是 O的直径， DFC=90°，四边形ABCD是平行四边形， A= C， ADBC，

21、ADF= DFC=90°， DE为 O的切线， DEDC， EDC=90°， ADF= EDC=90°， ADE= CDF， A= C， ADE CDE；（ 2）解： CF：FB=1： 2，设 CF=x， FB=2x，则 BC=3x， AE=3EB，设 EB=y，则 AE=3y， AB=4y，四边形 ABCD是平行四边形， AD=BC=3x， AB=DC=4y， ADE CDF， = ， = ， x、 y 均为正数， x=2y，. BC=6y， CF=2y，在 Rt DFC中， DFC=90°，由勾股定理得： DF=2 y， O的面积为 ?（ DC）2=

22、?DC2=（ 4y） 2=4y2，四边形 ABCD的面积为 BC?DF=6y?2y=12y2， O与四边形 ABCD的面积之比为4y2 ：12y2=： 3 11.（ 1）证明：， DPF=180° APD=180°所对的圆周角=180°所对的圆周角 =所对的圆周角 = APC在 PAC和 PDF中， PAC PDF（ 2）解：如图1，连接 PO，则由，有 POAB，且 PAB=45°， APO、 AEF都为等腰直角三角形在 Rt ABC中， AC=2BC，2222 AB=BC+AC=5BC， AB=5， BC= ， AC=2 ， CE=AC?sin BA

23、C=AC?=2?=2，AE=AC?cos BAC=AC?=2?=4， AEF为等腰直角三角形， EF=AE=4，. FD=FC+CD=（ EF CE） +2CE=EF+CE=4+2=6 APO为等腰直角三角形， AO=?AB=， AP= PDF PAC，PD=（ 3）解：如图 2，过点 G作 GH AB，交 AC于 H，连接 HB，以 HB为直径作圆，连接CG并延长交 O于 Q， HCCB， GHGB， C、 G都在以 HB为直径的圆上， HBG= ACQ， C、 D关于 AB对称， G在 AB上， Q、 P 关于 AB对称， PCA= ACQ， HBG= PCA PAC PDF， PCA=

24、PFD= AFD， y=tan AFD=tan PCA=tan HBG= HG=tan HAG?AG=tanBAC?AG=， y=x.12. 解答： 解：（ 1）证明：连接 OH，如图 所示四边形ABCD是矩形， ADC=BAD=90°， BC=AD， AB=CDHP AB， ANH+BAD=180° ANH=90° HN=PN=HP= OH=OA= ， sin HON= = HON=60°BD与 O相切于点H，OH BD HDO=30° OD=2 AD=3 BC=3 BAD=90°， BDA=30°tan BDA= AB=

25、3HP=3， AB=HP AB HP，四边形 ABHP是平行四边形 BAD=90°， AM是 O的直径， BA 与 O相切于点 ABD与 O相切于点 H， BA=BH平行四边形ABHP是菱形（ 2） EFG的直角顶点 G能落在 O上如图 所示，点 G落到 AD上. EF BD， FEC=CDB CDB=90° 30°=60°， CEF=60°由折叠可得：GEF= CEF=60° GED=60° CE=x， GE=CE=x ED=DCCE=3 xcos GED= x=2 GE=2， ED=1 GD= OG=AD AO GD=3

26、=OG=OM点 G与点 M重合此时 EFG的直角顶点G落在 O上，对应的x 的值为 2当 EFG的直角顶点G落在 O上时，对应的x 的值为 2（ 3） 如图 ，在 Rt EGF中，tan FEG= FG= x S=GE?FG=x? x= x2如图，.ED=3 x， RE=2ED=6 2x，GR=GE ER=x（ 62x） =3x 6tan SRG=，SG=（ x 2）SSGR=SG?RG=?（ x 2）?（ 3x 6）= （ x 2）2SGEF=x2，S=S GEFSGR S= x2（ x2） 2=x2+6 x 6 综上所述：当0x2 时， S=x2；当 2 x3 时， S=x2+6 x 6

27、当 FG与 O相切于点 T 时，延长 FG交 AD于点 Q，过点 F 作 FK AD，垂足为 K，如图 所示四边形ABCD是矩形，BC AD， ABC=BAD=90° AQF=CFG=60°OT=，OQ=2AQ=+2 FKA=ABC= BAD=90°，四边形ABFK是矩形FK=AB=3， AK=BF=3xKQ=AQ AK=（+2）（ 3x） =2 2+x在 Rt FKQ中， tan FQK= FK= QK 3= （2 2 + x）解得： x=3.032，S=x2=×（ 3） 2= 6FG与 O相切时， S 的值为 613解答：（ 1）证明：连结OC、 O

28、E， OE交 AB于 H，如图 1， E 是弧 AB的中点， OEAB， EHF=90°， HEF+ HFE=90°，而 HFE= CFD， HEF+ CFD=90°， DC=DF， CFD= DCF，而 OC=OE， OCE= OEC， OCE+ DCE= HEF+CFD=90°， OCCD，直线 DC与 O相切；（ 2）解：连结 BC， E 是弧 AB的中点，弧 AE=弧 BE， ABE= BCE，而 FEB= BEC， EBF ECB， EF：BE=BE： EC， EF?EC=BE2=（r ） 2=r2 ；（ 3）解：如图 2，连结 OA，弧 AE

29、=弧 BE， AE=BE=r，设 OH=x，则 HE=r x，在 Rt OAH中， AH2+OH2=OA2，即 AH2+x2=r2，在 Rt EAH中， AH2+EH2=EA2，即 AH2+（ r x） 2=（r ） 2， x2 （ r x）2=r2 （ r ） 2，即得 x=r ， HE=r r=r ，在 Rt OAH中， AH=， OEAB，. AH=BH，而 F 是 AB的四等分点， HF=AH=，在 Rt EFH中， EF=r ， EF?EC=r2，r ?EC=r2， EC=r 14. 解：（ 1）连结 O1A、 O2B，如图，设 O1的半径为 r ， O2 的半径为 R， O1与 O

30、2外切与点 D，直线 O1O2过点 D， MO2=MD+O2D=4 +R，直线 l 与两圆分别相切于点A、 B， O1A AB， O2B AB， tan AM01= ， AM01=30°，在 Rt MBO2中， MO2=O2B=2R， 4 +R=2R，解得 R=4 ，即 O2的半径为4；（ 2） AM02=30°， MO2B=60°，而 O2B=O2D，. O2BD为等边三角形， BD=O2B=4 ， DBO2=60°， ABD=30°， AM01=30°， MO1A=60°，而 O1A=O1D， O1AD= O1DA， O

31、1AD= MO1A=30°， DAB=60°， ADB=180° 30° 60°=90°，在 Rt ABD中， AD=BD=4， AB=2AD=8， ADB内切圆的半径 =2 2， ADB内切圆的面积 =?（ 2 2） 2=（ 16 8） ；（ 3）存在在 Rt MBO2中， MB= O2B=×4=12，当 MO2P MDB时，=，即=，解得 O2P=8；当 MO2P MBD时，=，即=，解得 O2P=8，综上所述，满足条件的O2P的长为 8 或 815. 解：（ 1）连接 PA，如图 1 所示 POAD， AO=DO AD

32、=2 ， OA= .点 P 坐标为（ 1， 0）， OP=1 PA=2 BP=CP=2 B（ 3， 0），C（ 1， 0）（ 2）连接 AP，延长 AP交 P 于点 M，连接 MB、 MC如图 2 所示，线段 MB、 MC即为所求作四边形 ACMB是矩形理由如下： MCB由 ABC绕点 P 旋转 180°所得，四边形 ACMB是平行四边形 BC是 P 的直径， CAB=90°平行四边形 ACMB是矩形过点 M作 MH BC，垂足为 H，如图 2 所示在 MHP和 AOP中， MHP= AOP， HPM= OPA， MP=AP， MHP AOP MH=OA= ，PH=PO=1

33、 OH=2点 M的坐标为（2，）（ 3）在旋转过程中 MQG的大小不变四边形 ACMB是矩形， BMC=90° EGBO， BGE=90° BMC= BGE=90°点 Q是 BE 的中点， QM=QE=QB=QG点 E、 M、 B、G在以点 Q为圆心， QB为半径的圆上，如图3 所示 MQG=2 MBG COA=90°， OC=1， OA=， tan OCA= OCA=60° MBC= BCA=60° MQG=120°在旋转过程中MQG的大小不变，始终等于120°.16解：（ 1）如图 1， AB是 O的直径， A

34、EB=90° AEBC（ 2）如图 1， BF与 O相切， ABF=90° CBF=90° ABE= BAE BAF=2 CBF BAF=2 BAE BAE= CAE CBF= CAE CGBF， AEBC，. CGB= AEC=90° CBF= CAE， CGB= AEC， BCG ACE（ 3）连接 BD，如图 2 所示 DAE= DBE， DAE= CBF， DBE= CBF AB是 O的直径， ADB=90° BDAF DBC= CBF， BD AF， CG BF， CD=CG F=60°， GF=1， CGF=90°

35、;， tan F=CG=tan60°= CG= ， CD= AFB=60°， ABF=90°， BAF=30° ADB=90°， BAF=30°， AB=2BD BAE= CAE， AEB= AEC， ABE= ACE AB=AC设 O的半径为r ，则 AC=AB=2r，BD=r ADB=90°， AD=r DC=AC AD=2rr= （ 2） r= r=2+3 O的半径长为2+3.17解答：解：（ 1）当 k=1 时，抛物线解析式为y=x2 1，直线解析式为y=x+1联立两个解析式，得：x2 1=x+1，解得： x=1 或

36、 x=2，当 x= 1 时， y=x+1=0；当 x=2 时， y=x+1=3，A（ 1，0）， B（ 2， 3）（2）设 P（ x， x2 1）如答图 2 所示，过点P 作 PFy 轴，交直线AB于点 F，则 F（ x， x+1）22PF=yF yP=（ x+1）（ x 1） = x +x+2S=S+S=PF（ xFxA） +PF（ xB xF） =PF（ xBxA） =PF ABPPFA PFB22S ABP=（ x +x+2） =（ x） +当 x=时， yP=x2 1= ABP面积最大值为，此时点P 坐标为（，） （3）设直线AB： y=kx+1 与 x 轴、 y 轴分别交于点E、 F，则 E（， 0）， F（ 0， 1）， OE=， OF=1在 Rt EOF中，由勾股定理得：EF=令 y=x2+（ k 1） x k=0，即（ x+k）（ x 1）=0，解得： x= k 或 x=1C（ k，0