2019届高考理科数学一轮复习学案：第13讲变化率与导数、导数的运算(含解析)

1、第 13 讲变化率与导数、导数的运算考试说明 1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图像直观理解导数的几何意义13.能根据导数定义求函数y=C(C为常数)，y=x,y=,y=x2,y=x3,y=.的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.考情分析考点考查方向考例考查热度导数的定义利用定义求导数导数的运算计算导数、求某点导数 值等所有导数试题导数的几何意义求切线斜率、方程、根 据切线求参数值、导数 几何意义的应用等几乎所有导数试题(见 下面例子)真题再现 2017-2013

2、课标全国真题再现1. 2014 全国卷n设曲线y=ax-l n(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A0 B.1C 2 D.31解析Dy=a-冷1,根据已知得，当x=0 时,y=2，代入解得a=3.12. 2017 全国卷I曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 _答案y=x+l1 1 1。2解析对y=x+求导得y=2x-,当x=1 时,y=2X1-1=1,所以曲线y=x +在点(1,2)处的切 线方程为y-2=x-1,即y=x+1.3. 2016 全国卷II若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2 的切线，也是曲线y=ln (x+1)的切线, 则b=.答案1-ln 2解

3、析曲线y=lnx+2 的切线为y= . x+lnX1+1(其中X1为切点横坐标),曲线y=ln (x+1)Jz的切线为 y= L- x+ln (X2+1)-一 (其中X2为切点横坐标).1 _ 1JTt险十1In +1 = In(闿+1)-4. 2016 全国卷川已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0.vx0 时,f(x)=lnx-3x,f(x)= -3,即f(1)=-2,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),整理得y=-2x-1.15. 2015 全国卷I改编已知函数f(x)=x3+ax+,当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线.由题可知X1+1=1-l

4、n 2耳+ % +扌二 0,解：设曲线y=f(x)与x轴相切于点(Xo,O),则f(Xo)=0,f(Xo)=O,即卩玮+解得Xo=,a=亠.因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.*r6.2015 全国卷I改编在直角坐标系xOy中，曲线Cy=-与直线l:y=kx+a(a0)交于MN两点当k=0 时，分别求C在点M和N处的切线方程.FI I解：由题设可得M2，a),N(-,a)或M-2，a),N(2，a).又y=-,故y=在x=2 处的盘r导数值为J；,所以曲线C在点(2、J；,a)处的切线方程为y-a=、J；(x-2、；)，即；x-y-a= 0.y=-在x=-2处的导数值为-，所以曲线

5、C在点(-2，a)处的切线方程为y-a=-(x+2)，即，说x+y+a=0.故所求切线方程为 疋x-y-a=0 和x+y+a=0.7. 2014 全国卷I改编设函数f(x)=aexlnx+ .,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b.解：函数f(x)的定义域为(0,+8),3&tf(x)=aexlnx+ex-ex-1+.ex-1.由题意可得f(1)=2,f(1)=e,故a=1,b=2.8. 2013 全国卷I改编设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切

6、线y=4x+2,求a,b,c,d的值.所以&PAE=.|AB|-|xP|=- W 1,当且仅当X1=,即X1=1 时，等号成立.解：由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而f(x)=2x+a,g(x) =(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2. 2017-2016其他省份类似高考真题1. 2016 山东卷若函数y=f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互 相垂直，则称y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()Ay=sinxB.y=Inxx3Cy=eDy=x解析A 由函数图像

7、上两点处的切线互相垂直，可知函数在这两点处的导数之积为-1,经检验,选项 A 符合题意.f-lnx,0 x l图像上点P1,F2处的切线，丨1与12垂直相交于点P,且I1,I2分别与y轴相交于点A B则PAB的面积的取值范围是( )A (0,1) B.(0,2)C (0,+8)D. (1,+8)解析A 不妨设P(X1,y1),F2(X2,y2),其中 0刘1炬由11,I2分别是点P1,F2处的切线,且(-.0 x 1,_f(x)=得I1的斜率k1=- .,12的斜率k2=一.又11与12垂直，且 0X1 .,求f(x)的导函数.解：因为(x- .-)=1- -,(e-x)=-e-x,4.201

8、7 北京卷改编已知函数f(x)=excosx-x,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方 程.解：因为f(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.1 15. 2017 山东卷改编已知函数f(x)=3x3-2ax2,a R 当a=2 时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程.解：由题意f(x)=x2-ax,所以当a=2 时,f(3)=0,f(x)=x-2x,所以f(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即 3x-

9、y-9=0.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)平均斜率平均(2)x=xo -斜率y-f(Xo)=f(Xo)(x-xo)瞬时速度12.nxn-1cosx-sinxaxlnaf(x) g(x)f(x)g(x)+f(x) g(x)Is所以f(x)=厂：；：iJe-x-(x- -)-e-xyuux对点演练1.0.16 dm/L 解析易知r(V)=,故气球中空气的体积从1 L 增加到 2 L 时,气球半径r的平均变化率为.0.16(dm/L).52342.1321 元/吨 解析c(x)=-,代入x=98 计算可得.3. n cos( nX+$ )解析y=n cos( nx+$ ).4.2 解析y=xex

10、-1+xex-1 (x-1)=(x+1)ex-1,所以y|x=1=2,即曲线在点(1,1)处的切线的 斜率为2.5.3 4 解析函数f(x)=x2在区间1,2上的平均变化率为=i.=3.因为f(x)=2x,所以f(x)在x=2 处的导数为 2X2=4.6.2cos 2x解析方法一：y=(2sinxcosx)=2(sinx)cosx+2sinx(cos22x)=2cosx-2sinx=2cos 2x.方法二:y=cos 2x (2x)=2cos 2x.7.-8解析因为f(x)=2x+3f(2),令x=2,得f(2)=-2,所以f(x)=x-6x,所以f(2)=-8.8. 3(2x+3)6(2x+

11、3)解析f(x)=3x,所以2322f(2x+3)=3(2x+3) ,f(2x+3)=(2x+3) =3(2x+3) (2x+3)=6(2x+3).【课堂考点探究】例 1思路点拨(1)先求导，在导函数中令x=2 得f的值;(2)先将函数化简，再求导.1 1(1)B(2)-解析(1)vf(x)=x2+3xf(2)-Inx,Af(x)=2x+3f(2)-,令x=2,得17f=4+3f(2)-,解得f=-.故选 B.suu Kshujdsini啊血. y= , . y=232(2)f(x)=(x+1)(x+2)(x+a)=(x +3x+2)(x+a)=x +(a+3)x +(3a+2)x+2a,2所

12、以f(x)=3x+2(a+3)x+3a+2,22所以f(-1)=3X(-1)+2(a+3)X(-i)+3a+2=2,解得a=3,所以f(x)=3x+12X+11,2所以f(1)=3X1+12X1+11=26.例 2 思路点拨先利用导数求出在x=0 处的导数值，再结合导数的几何意义即可求出切线 的斜率，从而问题解决y=x解析/f (x)=ex sinx,.f(x)=ex(sinx+cosx),f(0)=1,f(0)=0,.函数f(x)的图像在点(0,f(0)处的切线方程为y-0=1X(x-0),即y=x.3例 3思路点拨对函数f(x)求导，由f(x)是奇函数得a的值，令f(xo)=_得切点横坐标

13、A 解析对f(x)=ex+a e-x求导得f(x)=ex-ae-x,又 f (x)是奇函数，故f(0)=仁a=0,解得31a=1,故f(x)=ex-e-x.设切点坐标为(xo,yo),则f(xo)=-1=,得】=2 或=-一(舍去)，得Xo=l n 2.例 4 思路点拨求出函数的导数，结合两直线垂直的条件，即斜率之积为-1,可得1b-a= +(-a-1)(a+10),运用基本不等式即可得到所求最小值.A 解析由题意可得曲线y=x2+2x上存在两点处的切线互相垂直，由y=x2+2x的导数为1 1y=2x+2,可得(2a+2)(2b+2)=-1,由a+1b+1,可得a+12=2X.=1,当且仅当-

14、;=(-a-1),即a=- -, b=-时等号成立，所以b-a的最(2)f(x)=-sin 2 I 2cos24-1=sin 2 cos 2=sinx,所以X,f(x)W=_cosX,于是f=_cosn 1打.变式题(2)26解析小值为 1.强化演练1.B 解析因为点(0,-1)不在曲线y=f(x)上,所以设切点坐标为(xo,yo).又因为y(j 二 和I Xg=f (x)=1+ In x,所以I)。+1 = (1 + 1 口珀5解得 山二所以切点坐标为(1,0),所以f(1)=1+ln 1=1,所以直线I的方程为y=x-1,即x-y-1=0.3. B解析Tf(x)=aInx+x,Af(x)=

15、+1,.f(a)= +仁 2.Tf(a)=alna+a,二曲线y=f(x)在x=a处的切线方程为y-aIna-a=2(x-a),vf(x)=alnx+x的图像在x=a处的切线过原 点，二-alna-a=-2a,解得a=e.14.(e,e)解析由题意得y=Inx+x=1+Inx,直线 2x-y+1=0 的斜率为 2.设 Rrpn),则 1+ln m=2,解得 m=e,所以n =eln e=e,即点P的坐标为(e,e).E5.解析f(x)=ex+xex=ex(x+1),A切线斜率k=f(1)=2e,A曲线y=f(x)在(1,e)处的切1线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.vy=2ex

16、-e 与坐标轴交于点(0,-e),_,0 ,Ay=2ex-e11 e=与坐标轴围成的三角形面积S=xex.=.岔栏目为教弭专用【备选理由】例 1 考查的是曲线过某点的切线方程问题，此点可能是切点也可能不是切点 ： 注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别；例 2 考查两个曲线的切线问题，具有综合 性.17釦，1配合例 2 使用曲线y=x2过点4,的切线方程为 _答案14x-4y-49=0 或 2x-4y-1=02.C解析(1/ + a + b = 3,13 x l2+ a = k依题意知，y=3x2+a则-厂-二a =- ljb = 3f解得k2,所以 2a+b=1,选C.71I ?解析易知点 4, 一不在曲线y= x2上，所以设所求切线与曲线相切于点P X。, -.易知y= _x,则y Lu*=_xo.故 J.=_xo,整理得一-8xo+7=O,解得xo=7 或xo=1, 点P7,或1P 1,-,由两点式得切线方程为14x-4y-49=0 或 2x-4y-1=0.例 2 配合例 4 使用设函数y=x2x+2 的图像为G,函数y=-x2+a