分块矩阵的初等变换及应用

1、分块矩阵的初等变换及应用钱拓宽（绍兴文理学院数学系，浙江绍兴 312000）摘要：矩阵的初等变换与初等矩阵是矩阵理论的重要方法.在处理一些矩阵问题有着重要的作用，将分块矩阵的初等变换到分块矩阵上， 使分块矩阵也有类似的初等变换和初等矩阵， 从而在处理分块矩阵时起到事半功倍的效果.关于分块矩阵和初等矩阵有不少文章有所涉及，但是他们都不够全面本文做了一些总结性的工作.关键词：分块矩阵；初等变换；应用1、分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在 1997 年 8 月的工科数学上的分块矩阵的初等变换一文中提到定义 1 分块矩阵的行（歹 U）初等变换是指：（1）交换两行（歹 U）的位置；（2）第 1 行（歹

2、U）的各个元素分别左乘（右乘）该行（列）的一个h阶（1阶）左（右）保秩因子 H;（3）第 1 行（歹 U）的各个元素分别左乘（右乘）一个h（i）阶（1（i）阶）矩阵 K 后加到第 J 行定义 2 对应于分块矩阵（A）网的初等分块矩阵是指：E11EH(1)Pi(i+j(k)=,ZEjjEnEiiE11EssJE11E|E11Ri(H)=或Pk(H)=EssJEiiJ其中 H 为第 1 行（歹 U）的一个左（右）保秩因子;1Ei十.EHK(2)或Pk(i+j(k)=：初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似，但由于矩阵乘法不满足交换律，故需要分为左、右两种.直接验算可得：定理 1(1)交换(A)s乂的第

3、i 行与第 j 行，相当于左乘一个 m 阶初等分块矩阵PijL,其中PjL 中的元素Eii 为 h(i)阶单位矩阵，Ejj 为 h(j)阶单位矩阵，当 rwi 且 rwj 时,Err为 h(r)阶单位矩阵；交换(Aj)s筑的第 i 列与第 j 列相当于右乘一个 n 阶初等分块矩阵Pjk,其中EH为 1(i)阶单位矩阵，Ejj 为 1(j)阶单位矩阵当 rwi 且 rwj 时,Err为 1(r)阶单位矩阵；(2)(Aj)s(的第 1 行的每一个元素左乘一个矩阵 H 相当于(Aj)s左乘一个 m 阶分块矩阵PL(H)中 H 为 h(1)阶方阵；(入)虫的第 1 列的每一个元素右乘一个矩阵 H，相当

4、于(Aj)s：4 右乘一个 n 阶初等到变换矩阵 Pik(H),其中 H 为 1(1)阶方阵；(3)(为 h*的第 J 行的每个元素分别左乘一个 h(i)Xh(J)矩阵 K 后加到第 1 行相当于(Aj)sx：左乘一个初等分块矩阵P.(i+j(k)；第 J 列的每一个元素分别右乘1(j)x1(1)矩阵K后加到第 1 列，相当于(Aj)sx 右乘Pk(i+j(k).定理 2 设A为方阵，则分块矩阵(Aj)犷施行第一种行初等变换后，对应的行列式为(-1hdA，其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)+,+h(j)h(i)+h(i+j)+,+h(j-l),l(i,j)=l(i)h(j)-

5、l+l(i+l)+,+l(j)l(i)+l(i+j)+,+l(j-l),施行第二种初等变换后，对应的行列式为|H|A|;施行第三种初等变换后，对应的行列式的值不变.证明：IP(H)|=|H|,|P(i+j(心)|=IA显然成立.下证PrL=(-th(i，j),Eii 所在的第 1 行逐次与它相邻的行交换，移至Ejj 前，共进行 h(i)-1+h(i+1)+,+h(j-1)次交换两行，第 2 行逐次与它相邻的行交换，移至Ejj 前,同样进行相同次交换两行，依此类推，把所在的行移至Ej所在的行前，共进行rEiiP(ij(k)=EHK*aEIIEssA11-PQA21A10=P1Q，I旧20A12A

6、1=P9A02Q,h(i)h(i)-1+h(i+1)+,+h(j-1)次交换两行,然后把Ejj移至适当的位置,同理共进行 h(j)h(i)+h(i+1)+,+h(j-1)次交换两行，所以交换两行的总次数为h(1,J),故|P,J=(_1)j)；同理事.所以有同牛同|牛(-1)帅1)卜或伊味|=4味|=(-1)1(14(H)A=|R(H)|A=|H|A或|A|(k(H)|=|H|*|APi(ij(k)A|=|P(ij(k),|A=|A|APK(ij(k)|=|4|Pk(ij(k)|=|A则称Aj为极大元.定理 5 分块矩阵(Aj)2X2可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是：它有一个极大元.

7、证明：充分性.不妨设AI为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行，第一列交叉位置).由定理 4,存在可逆矩阵P,Q，使Pil定理 3 分块矩阵进行初等变换后，秩不变.证明：对于(1)，相当于对 A=(aij)mM进行若干次行定义 1,显然成立；对于(3),相当于进行若干次把到另一行(列，故命题成立.定理 4(1)设 A,B 的行数均为 m,则矩阵方程 AX(列)的交换，故命题成立；对于(2)，根据A=(aij)mXn行(列)乘以一个倍数后加=B，当rank(A)=rank(A,B)=m时有唯一解，当rank(A)=rank(A,B)m 时有无穷多解，当rank(A)ra

8、nk(A,B)时无解；(2)设 A,B的列数均为 n，则矩阵方程 xA=B,Hrank(A)=rank(AT,BT)=n 时有唯一解，当rank(A)=rank(AT,BT)当rank(A)rank(AT,BT)时无解.证明：(1)设rank(A)=rank(A,B)m,n 有无穷多解，则存在可逆矩阵P其中Ir 为 r 阶单位矩阵，BI为r阶方阵，设Xo则有：AXo=P-0Q%B2【B41B二Q尼rIrQ=PlQB2B4Q,O_BBIB2P00Q=B所以Xo为AX=B的解，其中B3,巳是任意的当rank(A)=rank(A,B)=m 时，A=P(1mO)Q,B=(BB2),显然，AX=B有唯一

9、解：Xo=Q(BBJQ;当rank(A)rank(A,B)时，AX=B无解.同理可证(2)成立(当rank(A)=rank(At,定义 3 对于任意的 u,v,如果rank(A)=rank_TjIrB)n 时,X=PQ(Aj,Av)=rank(O1OAijTP)AA.则AMK，+A2=0,所以 I12的第一列右乘 K后加到第二列gKA12+A22一/曰OI得OKA12+A22（如先进行列变换，再进行行变换，得 I101OA21K+A22.，A1A1A1A21因为KA12+A22=I1,1,+A22=KA21+42，故两种运算顺序结果相同）A2A1A2A2必要性.反证法，不妨设rank(Al1)

10、rank(A：,A)或rank(AT,AT21)rank(A21),则由定理 4,XA1=-A2XA1=-A1 无解，从而不存在 K,使（Aj）2M2对角化.同理,当rank（Al1）rank（AI1,A2）或rank（A11,A2）wrank（A2）时，不存在K使加二或-A2K,=A1成立.定理 5 表明：并不是所有的 2X2 分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化，如果分块矩阵没有极大元，则需分得更细，才能对角化.定理 6 矩阵Am洵的一种分块方法（Aj）s”可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是存在 s-1 行且存在 t-1 列有极大元.证明：用数学归纳法.当 s=t=1 时，只有一

11、块，命题成立；设 se,tf 时命题成立.当 s=c+1,t=f 时，存在 e 行且存在 f-1 列有极大元显然可以用第一种分块矩阵的初等变换，通过交换两行或两列的位置，使（A）山的前 e行与前 f-1列都有极大元， 再把前 e行， 前 f-1列看成一块， 得到一个新的 2X2分块矩阵， 记为（Bj”X2.显然 Bn 为极大元，根据定理 4,（By他可以化成对角形：BO.L“”，又 Bn=（）e（f4）,它的每行、列都有极大，故由假设 B1 可以对OKB21B22角化，从而（Aj）（一加可以对角化.同理可证当 s=e,t=f+1 时，（Aj）e：f4t）可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化

12、后的非零块Ai进一步化简的方法.设Ai=PF0b,Li=YiB1P与R=Q.IR0I.根据定理 1,：OO,i&B2R匕C2.Li,R为Ai的左（右）保秩因子，显然也是Ai所在行（列）的左（右）保秩因子，故对角化后的令 K=-PAlA2A3A4P 二,其中 4,A4为适当阶数的任意矩阵.则AA2JKA11+A21=-PIP,PJAA4一第一行左乘 K 加到第二行，得A11gO、八Q，所以（Aj）2M2A21IA1C2,同理，令 K/=-QIKA12+A221AA3Q,A40分块矩阵第1行、第1列分别左乘Li,右乘R后，Ai可以化成讨论分块方阵行列式的计算，先讨论分块初等阵的行列式设 I

13、 为 SxS 分块单位阵：(ri、1r21r3Irs其中 Iri为 ri阶单位阵(1iS),对 I 施行一次初等变换可得定义 2 所述的三种分块初等阵，它们的行列式有下列计算公式.引理分块初等阵的行列式有以下性质：(一1产,其中。=5(ri+1+,+rj)+rj(ri+1+,+rj-1)(ij).特别地，若 j=i+1,贝U|I(i,j)|=(-1)rirj；(2)|I(i(K)|=|k|,其中 K 是 rj阶可逆阵；(3)|I(j(K),i)|=1,其中 K 是 rjxrj矩阵.证(1)不难 3证，将 I(i,j)的元素行进行。次相邻的对调可将 I(i,j)变成 I,由行列式的性质，|I(i

14、，j)尸(-1)|I|=(-1).(2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知由于对分块方阵 A 施行一次初等行变换，相当于用相应的分块初等阵左乘 A,由上述引理，我们有下列分块方阵的行列式计算性质.定理 7 设 A 是一个分块方阵.(1)交换|A|的 i,j 两行(列)，行列式变为(-1)T|A|,其中T=ri(ri+1+,+rj)+rj(ri+1+,+rj-1);特别地，交换|A|的相邻两行(列)(i 行和 i+1 行)，行列式变为(-1)riri+1|A|;(2)用一个 ri阶可逆阵 K 左(右)乘|A|的第 i 行(列)的所有矩阵，等于用|K|乘以|A|;(3)用一

15、个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(歹U)的对应元素上行列式不变.由定理 7 的(2)可得推论分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子 K,可以行列式|K|的形式提到行列式符号外.2、分块矩阵初等变换的应用一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.廖中彳 T 在 2002 年 05 期四川教育学院学报上的初等变换在分块矩阵乘法的一文中提到D其中B 是 rxr 可逆阵，(sXs 可逆阵，求证：P 可逆，并C求 P分析：本题是一个分块阵的求逆问题，一般可用待定子块法，也可利用广义初等变换，还可用左乘分块初等阵的方法.解：因 B、C 可逆，故|B|w0,|C|w

16、0.根据拉普一BDr八拉斯展开，有 P=BC金 0,故 P 可逆.求 C 有二种办法：OC解法一：利用广义初等行变换法例 1:阵相同.作初等行（歹U）变换时，对矩阵p应左（右）乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的0-100BDE-BM1，C父2EBDB-0C(B,D)b+r一 J1-B故 P,=0E_1-BDCC本题对分块矩阵进行广义初等变换是般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵解法可用左乘分块初等阵的方法求PB，,可表不如下：J即:故有0E010例 2:已知 A=-BD-BD1001CJJ10BDI。15-1E0、0、/BDWE-BD/10B0C=

17、EB，求 A.-V分析：本题是一个矩阵的求逆问题块矩阵初等变换法求A.利用分块矩阵初等变换法般可用公式法,矩阵的初等变换法求；可先 A 化分成分块矩阵,A=其中 B=从而求得 B1C=1J0-1，C，D=-1025-146；然后对 A 进行广义初等变换，即:例 3 设 P=解:C由推论及定理ABBi 是一个分块方阵，其中D7 的(3):A 是 r 阶可逆阵，求|P|.解:IrC1_AB=AIr0A,BD-CAB=ADCAB若 A 与 D 可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若 A 与 C 可交换(即 AC=CA),则|P|=|AD-CB|.例设D2n其中 20,求冏2n由于 A,C 可交换，

18、所以adD2n=AD-CB=|(ad-bc)I|=(ad-bc)ad设 A,B,C 和 D 是 n 阶方阵，试证明两次利用定理 4 的(1)，得bcjC-1；如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值宋玉英在 2002 年 04 期的 兰州教育学院学报 上的 “用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵一文中提到BDB-xr1，C-xr2B,DB-A100C(BD)r2+r1.0B-BDCrir(A)+r(B)0B并且当 A(或 B)是方阵且非异时，或者 C=0 时上式的等号成立.n2CDAB例 6.设 A 是 mXn 阵的

19、非异顺序主子阵，=r(A)+n=1,2 是命题显然成立设阶数小于 n 时命题为真则对 n 阶及对称矩阵 AAC0ai2、.A=，其中 A1=不妨 Ta12W0.BDa12010AC1II-BA1I.|BD0ACA1r(A)=rI=r：BD_10=r(A1)+r(D-BAC)=2+r(D-BAJC)但 D-BAjc 为阶数比 A 低的反对称矩阵，由归纳假设 r(D-BA/C)为偶数,故 r(A)为偶数.四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用例 8.设 A=(aj)是 n 阶方阵，它的顺序主子式全不为零，证明：存在非异下三角形矩阵 B 与非异上三角形矩阵 C，使 A=BC证：对 n 用归纳法n=

20、1 时显然成立An”设当 n-1 时，结论成立，则对 n,将 A 分块成 A=；一IPann一Ir证：j|-CA1m_rHABNAB一二一D-CAB而 A 是非异阵A,由以上性质知 rC例 7.设 n 阶方阵 A=(Qij)为反对称矩阵证： 对 n用归纳法DHA,证明：rB【一一1_D-CAB(A)必为偶数,、，1r(A)+r(D-CAB)-A/CLKI，001D-BACD：Ca1,1由归纳假设对An=并,1非异下三角形与上三角形矩阵上式两端取行列式有：|A=|AnJb,b:0人OIJBICI01,CIBa【I0b/0I|ob_中曰/日AAn;_In0BI0CI于:AIR_IRj_*IPamP

21、An1_|o10苴中B=JnO.；BI0LJn,I-BA；111oIMnIOGBI%1c-I。b一PB=B1=0,C=bC1=0J。B与C分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.类似的例子还可以举出很多，由于篇幅有限，不再赘述.总之，在矩阵乘法中，只要对矩阵进行恰当的分块，结合矩阵初等变换的方法，就能大大的简化其运算参考文献：1 北大数学系，高等代数M(第二版),1987,3.2 区诗德加边矩阵的求逆J玉林师专学报，1998(3),29313 陈祖明.矩阵论引论M北京：北京航空航天大学出版社，1998,6164 陈景良，陈向辉特殊矩阵M北京：清华大学出版社，2000,4624695 刘桂香，分块矩阵1AB的奇异性J宝鸡文理学院学报(自然科学版),1999,611(CD；6 史永铃，分块矩阵初等变换及其应用J淮南师范学院学报，2002(2)7 吴云，分块矩阵的初等变换J,工科数学，1997(8)8 吴云，分块矩阵的初等变换及其在求逆和行列式中的应用J,自贡师范专科学校学报，1996(3)9 廖中行，初等变换在分块矩阵乘法J,四川教育学院学报，2002(5)10 宋玉英，