弯曲变形刘鸿文

1、1工工程程实实例例6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题第六章第六章 弯曲变形弯曲变形23工程实例工程实例4工程实例工程实例51.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程BAB1Fxq qq qvyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移w，向下的挠度为正，向下的挠度为正转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度q q，顺时针转动为正，顺时针转动为正挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 w

2、=f(x)转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系)( tanxfdxdwqq3.计算位移的目的：计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施刚度校核、解超静定梁、适当施工措施第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6挠度、转角的定义挠度、转角的定义7一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程EIxMx)()(11.静力学关系静力学关系：2.几何关系几何关系：wwwx 2321)(1)(xMwEI 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形3.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程：yxMM00 wM，00 wM，yxMM8二、积分法求梁的挠曲线二、积分法求梁的挠

3、曲线 挠曲线方程。转角方程；再积分一次积分一次 211)()(CxCdxdxxMEIwEICdxxMEIwq2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件: )(xMwEI 1.式中式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。为积分常数，由梁边界、连续条件确定。 1) 支承条件：支承条件： 2) 连续条件：连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的挠曲线是光滑连续唯一的CxCxCxCxww|qq，y0wy0wy0; 0wwl lylwFABC9q qmaxwmaxDCxFxFLxEIwCFxFlxEIwxlFxMEIw622)()(322次：列挠曲线方程并积分两00|00| 00DwCwxx，得：；，得

4、：数：由边界条件决定积分常)3(6)2(22xlEIFxwxlEIFxwq为：转角和挠曲线方程分别EIFLwwEIFLBB323max2maxqq解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：处弯矩方程为： 例例6.1 图示为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度，图示为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力F200N，镗刀杆直，镗刀杆直径径d10mm，外伸长度，外伸长度l50mm。材料的弹性模量。材料的弹性模量E210GPa。试求镗刀杆上安装镗刀头的截面试求镗刀杆上安装镗刀头的截面B的转角和挠度。的转角和

5、挠度。 yxFBAlx)()(xlFxM代入数据得代入数据得mm0805. 0rad00242. 0BBwq10例例6.3 求图示梁受集中力求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。作用时的挠曲线方程。 FabClABxFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；xlFbEIw122ClFbxEIw)0(axAC段)(lxaCB段xlFbaxFEIw)(2222)(2ClFbxaxFEIw1136DxClFbxEIw22336)(6DxClFbxaxFEIw)(60; 000;2221212121bllFbCCwlxDDwxDDwwCCwwax，得处，得处，则，则时，)3(622

6、2xblEIlFbw)(31)(22222blxaxblEIlFw)(6222xblEIlFbxw)()(62233xblxaxblEIlFw)0(axAC段)(lxaCB段116-4 按叠加原理计算弯曲变形按叠加原理计算弯曲变形：梁的变形微小，：梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时，且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载梁在几项荷载（可以是集中力（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角， 就分别等就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起当每一项荷载

7、所引起的挠度为同一方向（如均沿的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向轴方向 ), 其转角是在同一平面内其转角是在同一平面内 ( 如均在如均在 xy 平面内平面内 ) 时时, 则叠加就是代数和。则叠加就是代数和。 这就是这就是叠加原理叠加原理。 例例6.4 桥式起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为桥式起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为q。作用于跨度中点的。作用于跨度中点的吊重为集中力吊重为集中力F。试求大梁跨度中点的挠度。试求大梁跨度中点的挠度。 P PA Aq qC CB B2l2l解：查表得：EIFlwEIqlwCFCq48384534EIFlEIqlwC48384534 例例6.5 车床主

8、轴的计算简图可简化成外伸梁，如图所示。车床主轴的计算简图可简化成外伸梁，如图所示。F1为切削力，为切削力，F2为为齿轮传动力。若近似地把齿轮传动力。若近似地把。外伸梁作为等截面梁，试求截面外伸梁作为等截面梁，试求截面B的转角和端点的转角和端点C的挠度。的挠度。ABDCa2l2lF2F112ABDCa2l2lF2ABDCa2l2lF2F1ABDCa2l2lF1ABDCa2l2lF1ABDCa2l2lF1MB=F1a解：将两个载荷分别作用在原结构上，F2作用查表。EIlFBF16222q0 MwEIEIalFawBFC162212q由于BC段没有载荷，故BC段弯矩为零。代人挠曲线微分方程并积分两次

9、得：由上式看出BC段挠曲线是直线，所以：DCxEIwCwEIEIaFwC3212EIalFEIMlBM331qF1作用时由于没有现成的表格，所以将其分解：1、将B点看成固定端对BC段的变形没有影响。直接查表，但B端转角为零，与原结构不同，原因是AB段的弯矩与原结构不同；2、将F1移到B点并附加力偶MB，查表EIlaFawBMC3213qEIlFEIalFB163221qEIalFlaEIaFwwwwCCCC163222132113习题习题 一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI 的的 简支梁受荷载如图所示。简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的试按叠加原理求梁跨中点的挠度挠度 wC和支座处横截

10、面的和支座处横截面的转角转角q qA , q qB 。解：将梁上荷载分为两项简解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图所示。单的荷载，如图所示。m mA AB BC CA Aq qC CB Bm mA Aq qC CB B 例例6.6 在简支梁的一部分上作用均布载在简支梁的一部分上作用均布载荷。试求跨度中点的挠度，设荷。试求跨度中点的挠度，设bl/2。ABblqxdxqdx解：解：dxdx段力段力dFdFqdxqdx引起的挠度查表得：引起的挠度查表得：2222223484348blEIqbxlEIxdFdwC22202223484348blEIqbdxxlxEIqwbC按叠加法，积分得：按叠加法

11、，积分得：14EImlEIqlEImlEIqlEImlEIqlwwwBmBqBAmAqACmCqC6243241638453324qqqqqq先从表中查出两者分别作用先从表中查出两者分别作用时梁的相应位移，然后按叠时梁的相应位移，然后按叠加原理求出其代数和，即得加原理求出其代数和，即得所求的位移所求的位移A Aq qC CB Bm mA AB BC CA Aq qC CB Bm m15习题习题 试试利用叠加法，利用叠加法， 求图求图a 所示抗所示抗弯刚度为弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角q qA, q qB 。解：解： 如图所示梁可视

12、为正对称荷载如图所示梁可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。与反对称荷载两种情况的叠加。l2lA AB BC Cq qA AB B2qC CA AB B2q2q反对称荷载作用下，反对称荷载作用下， 可将可将AC段和段和BC段视为受均布线荷载作用且长段视为受均布线荷载作用且长度为度为 l /2 的简支梁的简支梁, 因此因此正对称荷载作用下，有正对称荷载作用下，有EIqlEIlqEIqlEIlqwBAC4824)2(7685384)2(53311441qqEIqlEIlqBA38424)2)(2(3322qq 将相应的位移进将相应的位移进行叠加行叠加, 即得即得EIqlEIqlEIqlEIq

13、lEIqlEIqlEIqlwwwBBBAAACCC384738448128338448)(76853332133321421qqqqqq16习题习题 一抗弯刚度为一抗弯刚度为EI 的外伸梁受荷载如图的外伸梁受荷载如图a所示所示, 试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表, 求截面求截面B的转角的转角q qB以及以及A端端和和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B截面截成两截面截成两段，将段，将AB AB 段看成段看成B B断固定的悬断固定的悬臂梁，臂梁，BC BC 段看成简支梁。段看成简支梁。A AB BC CD Da2 2q qq qa2a2 2q

14、 qA AB BqaMB2 2 2qaqaw2B B截面两侧的相互作用截面两侧的相互作用力为：力为：2qa,2qa,qaMB2 就是就是B B截面的剪力和截面的剪力和弯矩。弯矩。2 2qaqaMBq qB BC CD DA Aw1B简支梁简支梁BC的受力情况与外伸的受力情况与外伸梁梁AC的的BC段的受力情况相同。段的受力情况相同。因此，由简支梁因此，由简支梁BC 求得的求得的q q B 及及 wD 就是外伸梁就是外伸梁AC的的q qB及及 wD 。17B BC CD DqaMB2 求求BfD和和q qB BC CD D2q2qaMBq qB BC CD D2q2qafDqBqfMBDMBB查附

15、录查附录 1V 1V 得：得：EIqaEIaqEIqlBq324224333 )(EIqaEIaqaEIlMBBMB3232332 )(EIqaEIqlfDq245384544 EIqaEIlMfBDMB41642 EIqaMBBBqB33 EIqafffMBDDqD244 由叠加原理得由叠加原理得18求求wA由于简支梁上由于简支梁上B截面的转动，代动截面的转动，代动AB段一起作刚体段一起作刚体运动，使运动，使 A 端产生挠度端产生挠度w1悬臂梁悬臂梁AB本身的弯曲变形，使本身的弯曲变形，使A端产生挠度端产生挠度w22q2qA AB Bf22qa2qaMBq qB BC CD DA Af1B求

16、总的求总的wA因此，因此，A A端的总挠度应为端的总挠度应为wwwwaBA221q由附录由附录 1V 1V 查得查得EIqaw8)2(22代入上式得代入上式得EIEIEIqaqaqawA1243744419习题习题 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角和挠度。点转角和挠度。FBA2/ l2/ lqCvBqvCqq qBFvBPFBABAqC1.在在F作用下：作用下：EIFlfEIFlBFBF3,232q查表：2.在在q作用下：作用下：EIqlEIlqfEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433q查表：EIqllvvEIql

17、CqCqBqCqBq384724843qqqBqBFBBqBFBvvvqqq3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下：20习题习题 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C截面的挠度截面的挠度wC和转角和转角q qC1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，不改变原来载荷作用的效果，在在AB 段还需再加上集度相同、段还需再加上集度相同、方向相反

18、的均布载荷。方向相反的均布载荷。 Cy21Cy2Cy1Cy2By,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCqEIqlC631qEIqlC4832 q qEIqlwwiCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC487321qq2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 22ABalFCFABalCFaFaBC+1）考虑）考虑AB段段(BC段看作刚体段看作刚体)F作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。BqFa使使AB梁

19、产生向上凸的变形。梁产生向上凸的变形。查表得：查表得：EIlFaB3)(q则则1CwawBCq1aEIlFa3)()(32EIlFa232）考虑）考虑BC段段(AB段看作刚体段看作刚体)AFaBC2Cw)(332EIFawC所以所以21CCCwww)(3332EIFaEIlFaABalCFaBq1Cw)(321EIlFawc24习题习题 图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角解：BAqCqcyAyCBACaL在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：两段来考虑：由附录中，我们可查得：由附录中，我们可查得： ZCEIqay84ZCEIqa63q由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所

20、以CA段梁变形后仍保持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件变形连续条件可知： ACqqCCAaLyyqZZAEIqaaLEIqay6834ZACEIqa63qq25习题习题 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。叠加EIbLbPwdPC48)43()d(32bLbqxxqPd2d)(d0bEIbLqbd24)43(322dPCqCwwEIqLbEILbLqbL240d24)43(45.00322q00.5L0.5LxdxbxwC26ABql I、超静定梁的解法、超静定梁的解法RB（1）将可动将可动铰铰链支座作看链支座作看多余约束解多余约束解除

21、多余约束，代之以约束反力除多余约束，代之以约束反力RB 。得。得到原超静定梁的到原超静定梁的 基本静定系基本静定系。qAB图示为抗弯刚度为图示为抗弯刚度为 EI 的一次的一次超静定梁说明超静定梁的解法。超静定梁说明超静定梁的解法。 6-5 简单超静定梁简单超静定梁0wB（2） 超静定梁在多余约束处的超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的约束条件，梁的 。 （3）根据变形相容条件得）根据变形相容条件得变形几何方程变形几何方程wwwRBBBqB变形几何方程为变形几何方程为0wwRBBBq27fBqfBRB（4）将力与变形的关系代入）将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程EI

22、qlwBq84EIRlRwBBB33查表得查表得RBqABqABBARB补充方程补充方程 为为03834EIlREIqlB由该式解得由该式解得qlRB83 qlRA85 qlmA281 求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力RAmA28ABql代以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶 mA 得基本静定系。得基本静定系。mA变形相容条件为变形相容条件为0 A方法二方法二取支座取支座 A 处阻止梁转动的约束处阻止梁转动的约束为多余约束。为多余约束。ABql29例题例题6 67 7 ：梁梁 A C 如图所示如图所示, 梁的梁的 A 端用一钢杆端用一钢杆 AD 与梁与梁 AC 铰

23、铰接接, 在梁受荷载作用前在梁受荷载作用前, 杆杆 AD 内没有内力内没有内力, 已知梁和杆用同样的已知梁和杆用同样的钢材制成钢材制成, 材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横拉杆横截面的面积为截面的面积为 A, 其余尺寸见图其余尺寸见图 , 试求钢杆试求钢杆 AD 内的拉力内的拉力 N。a2alABCq2qD解：这是一次超静定解：这是一次超静定问题。将问题。将 AD 杆与梁杆与梁 AC 之间的连结绞看之间的连结绞看作多于约束。拉力作多于约束。拉力 N 为多余反力。基本静为多余反力。基本静定系如图定系如图BCq2qANADN30ADBCq

24、2qlwAwAA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即点。即NNlA1wwwANAqA变形几何方程为变形几何方程为lwwANAq根据叠加法根据叠加法A端的挠度为端的挠度为EIqawAq1274EINawAN3可算出可算出31拉杆拉杆 AD 的伸长为的伸长为EANll 补充方程为补充方程为EANlEINaEIqa34127由此解得由此解得)(AaIlAqaN34127 32例题例题68 ：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。 已知已知 EI = 5 103 KN.m3 。4m3m2mABDC3

25、0KNmKN20解：这是一解：这是一次超静定问题次超静定问题取支座取支座 B 截面上的相对截面上的相对转动约束为多余约束。转动约束为多余约束。基本静定系为在基本静定系为在 B 支座支座截面上安置铰的静定梁，截面上安置铰的静定梁，如图如图 所示。所示。DCmKN20AB30KNMBq qBBB多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于简支梁简支梁AB 和和 BC 的的 B端端处的一对弯矩处的一对弯矩 MB变形相容条件为，简支梁变形相容条件为，简支梁 AB的的 B 截面转角和截面转角和 BC 梁梁 B 截面的转角相等截面的转角相等。qB33EIMEIBB34244203q)34241280(EIME

26、IBEIMEIBB3556) 25 ( 2330qEIMEIB3542由表中查得由表中查得补充方程为补充方程为EIMEIB34241280EIMEIB3542解得解得mKNMB.8031 负号表示负号表示 B 截面弯矩截面弯矩与假设相反。与假设相反。34KNRA0532. KNRB3566. KNRC611. +-32.0547.9518.4011.64+-25.6831.8023.281.603m由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程可求得其余反力可求得其余反力在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图和弯矩图。CADmKN20B30KNMB35习题习题 两根钢制悬臂梁A

27、B和CD与长为4m的一绷紧的钢丝BC，在无初载荷的情况下相连接，如图所示。连接后钢丝温度下降500C，试求钢丝内产生的应力。已知梁AB，CD和钢丝BC的弹性模量E200GPa，梁的惯性矩I10106mm4，钢丝横截面面积A60mm2；钢丝线膨胀系数a12106/0C。4m1.5m1.5mBACDMPaANkNNlwltllEANllEINlwwwNtBCtBCNCB4 .27,646. 1,2,33a36习题习题 图示为水平放置的两个悬臂梁，两梁在自由端处叠加在一起，梁的长度及梁上荷载如图所示，已知两梁的弯曲刚度相同。试分别画出两梁的弯矩图。 2aaCBAEIEIFFFEIaFEIaFFwwB

28、BBB91,3)2(3)(,3321习题习题 如图所示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为EI=24106Nm2，由钢杆CD相连接。CD杆的l=5m,A=3104m2，E200GPa。若P=50kN，试求悬臂AD在D点的挠度。 2m2mPECDABmmwkNNmlmlmlEANllEINlwEINwEIPwlwwDCDDCNCPCDDC06. 5,6 .455,2,4,338,320,32133237 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施maxlwlwI、 梁的刚度校核（书中无这部分内容）梁的刚度校核（书中无这部分内容） 对于梁的挠度对于梁的挠度, 其许可值通常用许可的挠度与梁跨长的比值其许可值通