随机变量的联合概率分布ppt课件

1、第三章 多元随机变量的分布 本章主要学习内容一、随机变量的结合概率分布 二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性 三、常见随机变量的结合分布 四、随机向量的函数的分布 第一节、随机变量的结合概率分布一、离散型随机变量的结合分布 1、结合分布 设随机变量X和Y是离散型随机变量，其一切能够值相应为 xi 和 yi随机变量X和Y的结合概率分布，亦称做随机向量(X, Y)的概率分布，表示为：jijipyYxX,P其中 ijijijp,p1 0离散型随机变量X和Y的结合概率分布常用列联表表示表3.1 表3.1 离散型随机变量X和Y的结合概率分布 2、边缘概率分布、边缘概率分布 凡是可以由结合分布得到或决

2、议的概率凡是可以由结合分布得到或决议的概率分布，统称为结合分布的边缘概率分布随机变量分布，统称为结合分布的边缘概率分布随机变量X的概的概率分布和率分布和Y的概率分布，完全决议于的概率分布，完全决议于X和和Y的结合分布：的结合分布： , iiji jijjXxXx YyppPP，, jiji jjiiYyXx YyppPP3、条件概率分布由变量、条件概率分布由变量X和和Y的结合分布可见，对于给的结合分布可见，对于给定的定的xk ，假设，假设PX= xk0，那么，那么 ， )1,2,( ,jppxXyYxXxXyYkjkkjkkjPPP称做Y在X= xk条件下的条件分布，或Y关于X= xk的条件分

3、布条件分布具有无条件概率分布的一切性质 4、多元离散型结合分布、多元离散型结合分布 读者本人容易把二元情形推行到读者本人容易把二元情形推行到多个离散型随机变量的结合概率分布、边缘分布和条件分多个离散型随机变量的结合概率分布、边缘分布和条件分布布n个随机变量的结合分布的边缘分布，包括恣意个随机变量的结合分布的边缘分布，包括恣意m(1mn)个变量的概率分布和结合概率分布个变量的概率分布和结合概率分布 例例 3.3 假设随机变量假设随机变量X和和Y的结合概率分布为的结合概率分布为 30. 020. 010. 025. 015. 0) 1 , 2()2 , 1 () 1 , 1 ()2 , 0() 1

4、 , 0(,YX分别求X和Y的概率分布求Y关于X的条件概率分布 解解 易见易见X有有0,1,2等等3个能够值，而个能够值，而Y有有1,2等两个能够值等两个能够值 00,10,20.4 XXXYXy1PPP（）、 的概率分布 ，11 ,11 ,20.301222,1 0.3 0.4 0.3 0.3XXYXyXXYX PPPPP，；10,112,10.55YXYXYXYPPPPY的概率分布，1221110.550.45 0.550.45YYY PP；，02| 213 . 03 . 021, 22| 1XYXYXXYPPPP1 ,11 ,20.10 10.20 21|12|110.3310.30 3

5、XYXYYXYXXX PPPPPP，0,10,20.15 30.25 51|02|000.40 800.40 8XYXYYXYXXX PPPPPP，(2) 求Y关于X的条件概率分布Y关于X=0的条件概率分布： Y关于X=1的条件概率分布： Y关于X=2的条件概率分布： 二、延续型随机变量的结合密度 1、结合密度 对于二延续型变量X和Y，(X,Y)可视为平面上的点对于平面上的恣意区域G，点(X,Y)属于G的概率经过一非负二元函数f(x,y)的积分表示： .dd ),(),(yxyxfGYXGP特别，假设G=(x,y):axb,cy0，称 )( )( ),( )|(11 | 2yxfyxfxyf为

6、Y关于X=x的条件密度同样定义X关于Y=y的条件密度f1|2 (x|y) 显然 )|()( )|()(),(2 | 121 | 21yxfyfxyfxfyxf称做密度乘法公式 例例3.4 假设假设 是原点为圆心、半是原点为圆心、半径径 222 : )(ryxx,yG为r的圆图3.1；知X和Y的结合密度为f(x,y)，在圆G上为常数，在圆G外f(x,y)=0试求， (1) 结合密度f(x,y)，(2) f(x,y)的边缘密度，即X和Y的密度f1 (x)和 f2(y)；(3) Y关于X=x的条件密度f2|1 (y|x) 221 ( )1 , ( , )( , ) 0 , ( , )crx yGXY

7、f x yrx yG从而若，于是得到 和 的联合密度为若221 1( , )d d d dGrf x yx yc x yc r 解：（）、由于 G的面 等于可圆 积 见( , ) f x yXYG（ ， ）在 上这时，称 为二元均匀密度，称服从二元均匀分布 (2) X和Y的密度f1 (x)和 f2(y),当|x|r时，显然f1 (x) =0设|x|r，那么X的密度 222212d 1d),()(2222xrryryyxfxfxrxr于是，得X的概率密度 若，若rxrxxrrxf| 0| ,2)(2221同理可得Y的结合概率密度 若，若ryryyrryf| 0| ,2)(2222(3) 对恣意x

8、, 只需f1 (x) 0，那么Y关于X=x的条件密度为 | , 0 | 21)(),()|(22222211 | 2若，若，xryxryxrxfyxfxyf留意，X和Y的分布不是均匀分布，它们之中一个关于另一个的条件分布都是均匀分布4、多元结合密度 类似地可以引进多个延续型随机变量的结合密度、边缘密度和条件密度由于很容易由二元密度f(x1,x2) 推行到多元密度f(x1,x2 ,xn ) 故留给读者本人完成留意，n(n2)个随机变量的结合密度的边缘密度，包括恣意m(1m)个变量的概率密度或结合密度 三、随机变量的结合分布函数 1、结合分布函数和边缘分布函数 (1) 称r元函数 ),(,),(2

9、1221121rrrrxxxxXxXxXxxxFP为随机向量X=( X1 ,X2 ,Xr )的分布函数,或随机变量X1 ,X2 ,Xr的结合分布函数 (2) 随机变量X1 ,X2 ,Xr中，各变量的分布函数，以及其中恣意m个变量的结合分布函数F(X1 ,X2 ,Xr)，统称为结合分布函数的边缘分布函数. 2、结合分布函数的性质 以随机变量X和Y的结合分布函数F(x,y)为例基于一元分布函数的性质和二元分布函数的定义，不难了解F(x,y)的如下性质(1) 0F(x,y)1，且对于每一自变量单调不减(2) 对于每一自变量，F(x,y)右延续 (3)(, )( ,)0,(,)1.FyF xF 、(4

10、) 对于恣意实数ab,cd,，有图3.2 ),(baFxxbybayaOdcO图3.2二元分布函数表示图b(a)(b),(),(),(),( , caFcbFdaFdbFdYcbXaP(5) F(x,y)完全决议X和Y的分布函数F1(x)和F2(y) 反之未必： 1( ),( ,)F xXxXx YF x PP，2( ),(, )F yYyXYyFy PP(6) 延续型随机变量X和Y的结合分布函数F(x,y)，可以表示为： )( dd),(),(- xuufyxFxyvv其中f(x,y)是X和Y的结合密度；对于几乎一切(x,y)，有 ),(),(2yxfyxyxF例例3.7 假设随机变量假设随

11、机变量X和和Y的结合概率密度为的结合概率密度为 ，若不然。，若 0 10 , 104),(yxxyyxf(1) 求X和Y的结合分布函数F(x,y)；(2) 求X和Y的分布函数F1(x)和F2(y) 解解 (1)当当x0 或或y0时显然时显然F(x,y)=0；当；当x1或或y1时显然时显然F(x,y)=1；对于；对于0 x1, 0y1，220 0( , )4d d (01,01) yxF x yst s tx yxy；120 0( , )4d d (01,1) xF x yst s txxy；120 0( , )4d d (1,01) yF x yst s tyxy于是2222 1 1101,01( , ) 01,1 01,1 0 xyx yxyF x yxxyyyx，若或，若，若，若，其他(2)当x1时， F1(x) =1；如今设0 x1，有 21( )( ,),1( ,1).F xF xXx YXx YF xx PP于是，X的分布函数 210 ,0,( ) 01,1 , 1xF xxxx若， 若 若类似可得F2(y) 因此，有 220 ,0,( ) 01,1 , 1yF yyyy若， 若 若例例3.8 设随机变量设随机变量X和和Y的结合分布函数为的结合分布函数为 0 min , 0 , ( , )min , 0min