2019年高考数学一轮总复习冲刺专题1.1集合的概念及其基本运算讲文

1、第01节集合的概念及其基本运算【考纲解读】命题角度考纲内容5年统计命题分析预测1.了解集合的含义、兀素与集合的属于2018课标II,21.分析预测从近五年关系.2017课标III,1的全国卷的考查情况来2.能用自然语言、图形语言、集合语言看，本讲是全国卷的必考1.集合的(列举法或描述法)描述不问的具体问内容，题目年1定，难度较表小、集题.低，主要考查集合的含义合间的基3.理解集合之间包含与相等的含义，能和基本运算，一般在试卷本关系识别给定集合的子集.第1题或第2题的位置，4.在具体情境中，了解全集与空集的含分值5分.预计2019年高义.f叩题方式和考查内谷2018课标I,2;不会后太大艾化.I

2、II,12.学科素养本讲主要1.理解两个集合的并集与交集的含义，2017课标I,1;以函数、方程、不等式等会求两个简单集合的并集与交集.II,2为载体，以集合的语言和2.集合的2.理解在给定集合中一个子集的补集的2016课标I,符号为表现形式，考查考基本运算含义，会求给定子集的补集.III,1;II,2生的分类讨论思想和数3.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系2015课标n,1学运算能力.及运算.2014课标I,II,1【知识清单】1.元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系：若a属于集合A,记作awA；若b不属于集合A,记作b正A.(3)集合的表示方

3、法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N*八N或N+ZQR对点练习：【2018局考北东文8】设集合a_x,yJx_y>1,ax+y>4,x_ay<2贝”(A.对任意实数a,(2,1户AB.对任意实数a,(2,1产A3C.当且仅当a<0时，(2,1产AD.当且仅当aW2时，(2,1产A【答案】D1解析】试题分析：求出。J)E4及(2J)更4所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.,、333试题解析：若(21)上且，则。>大且。之0,即若则。>5,此命题的逆否命题为；若。43j£f.j&

4、#163;r占则有(2/在幺，【名师点睛】本题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A=xp(x),B=xq(x),若A=B,则p=q；若八=8,则p=q,当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.2.集合间的基本关系(1)子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集.记为公三BjB=A.(2)真子集：对于两个集合A与B,如果A-B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则称集合

5、A是集合B的真子集.记为A黑B.(3)空集是任何集合的子集,集集是任何非空集合的真子集.(4)若一个集合含有n个元素，则子集个数为二个，真子集个数为2n一1.对点练习：【2018山东二模】若集合八=曰。=(x|x2-2x<0,则下列结论中正确的是()A.门*0B.=RC,力工Bd.日工人【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合E,然后逐一考查所给选项是否正确即可.详解；求解二次不等式产一打<。可得；0<x<2f则B=口忖V乂<2.据此可知:AnE=x0<x<l*0,选项/错误jAuB=x|0<x<2,选项B错误j目集合/是集合户的子集,选

6、项。正确，选项。错误.本题选择C选项.【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.aAa = a, a。= 0 ,a0b = bFIaaUA = A, aU。= a, aUb = bUA.3.集合的运算(1)三种基本运算的概念及表示运算自然语百何语日Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合Anb=x|xeA且xeBAn/i并集由所有属于集合A或属于集合B的兀素组成的集合AUB=x|xCA或xCBAUfi补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合?ua=x|xCU且x?A(2)三种运算的常见性质Cu (aUb)=

7、 Cu aDCuB,Cu(CuA)=A,CuU=0,Cu0=U.aDb=auab,aUb=aub1a,Cu(AnB)=CuAUCuB.对点练习：【2018高考全国I文1】已知集合A=0,2,B=2,1,0,1,2,则A0|B=()A.：0,2)B.1,2)C.®D.；-2,-1,0,1,2:【考点】考查集合的基本运算.【答案】A【解析】试题分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合A|B中的元素，最后求得结果.试题解析：根据集合交集中元素的特征，可以求得AnB=0,2,故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素

8、的特征，从而求得结果.【拓展、技巧与警示】集合运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题，也可以把其它知识渗透到集合中来，例如方程、不等式、向量、三角函数等，解决这类题目主要是直接法，或特值法.集合问题主要要考虑元素的属性、运算等.【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识.纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算.解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素.二是考查抽象集合的关系判断以及运算.重重点难点突破

9、】考点1集合的概念【1-1】【2018山西一模】已知单元素集合A=x|x2(a+2)x+1=0,则a=()A.0B.-4C.-4或1D.-4或0【答案】D2o【解析】由于只有一个兀素，故判别式为零，即(a+2)4=a2+4a=0,a=0,a=4,故选D.【1-2】【2018豫南九校期末考】已知集合A=1,2,则集合B=(x,y)|xwA,ywA中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】集合B中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个.故选D.【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足

10、什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.【触类旁通】【变式一】【上海黄浦二模】已知集合黄=(12引，R二口而,若m-mc,则非零实数,的数值是.【答案】【解析】由题，若=Z则e=L此时B集合不符合元素互异性，故m羊L若3-m.=L则用=乙符合题意；若3-m=5则，依=。，不符合题意.故答案为2.【变式二】【2018江西二模】设集合力=1，2,簿，B=3,4,M=xx=abiaEA,beB则M中的元素个数为()A.5B.6C.7dI【答案】C【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M最后确定其元素

11、的个数即可.详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：2122436343468912观察可得：M=234瓜田凡12,据此可知附中的元素个数为7.本题选择C选项.【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.考点2集合间的基本关系【2-1】【2018福建莆田模拟】已知集合力=3工研，H=3-3犬+2:0,若八UE=H,则实数仃的取值范围是()A.(-Rj)B.(JIC(2+3).D.惶，+3)【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合B,再由人&=£?,可求出实数。的取值范围.详解：集合内=>司，B

12、二卜*一舐+2>口=3了<1或工>2U斤=H，4匚氏+二口之2,实数口的取值范围是W十8),故选D.【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.【2-2】【2018安徽江南十校二模】设集合Z=y|y=-+4)日=口伊=箱(工十团月-町,则下列关系正确的是()A.小工8B.力力8二0C匚/三。eD.以吕工小【答案】C【解析】分析：由指数由数与对数函数的性质求出集合A、B,再聆证各选择支结论是否成立.详解：由题意自二亚忸<4,5

13、=x|Cx+2)(3-z)>0)-x|-2<j<3,：，BQA?只有C正确.故选C.一【名师点睛】集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对(点)？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合.本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是.解题关键.【2-3】【2018豫南九校模拟】已知集合A=x|k+1MxM2k,B=x|1MxM4,则能使A0|B=A成立的实数k的取值范围是.【答案】-:',21【解析】集合A=x|k+1WxW2k

14、,B=x|1WxW3,AnB=A，A?B.当A= 4时，满足题意，此时k1-1k+1>2k,解得k<1.当Aw1时，要使A?B成立，则,2kM4解得：0EkE2，综上可得：实数k的取值范围(-8,2】.【领悟技法】1 .判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.2 .已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析.【触类旁通】【变式1】设集合P=m1<m<0,Q=m|mx2+4mx4<0对任意实数x

15、恒成立，且mwR,则下列关系中成立的是（）A.P,QB.QCpc.p=Qd.PQQ=0【答案】Am：0,【解析】P=m|1<m<0,Qj2或m=0.：=16m16m：0,-1<m<0.Q=m|-1<mE0.P当Q.【变式2】已知集合M=xx=k+kwZl集合N=xx=k三，kwZ1则（）144JI84JA.MnN=0B.MJNC.NJMD.MUN=N【答案】B加工一/(2k+2)nn一/2mn,一一/2依n【斛析】M=Jxx=,k=Z%=4xx=,k=Z5,N=Wxx=884J84JI84或（2k1户YzI,所以MJN.84'考点3集合的基本运算本考点是高

16、考的热点，主要有以下两个命题角度：命题角度一集合的交、并、补运算【3-1】【2018河南郑州模拟】设集合人二5W团-miW"H=幻。<Inx<2则门R的真子集的个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合人，利用对数不等式的解法化简集合B,根据交集的定义可得结果.详解：A=r(=Z|z2-3x-4<0=xe7|-1<x<4=-1A1Z3t4),/?=(x|0<<2=x|l<x<e2门月=234,其真子集个数为2*-1=7,故选C.【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的

17、属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合百且属于集合R的元素的集合.命题角度二利用集合的运算求参数值或取值范围【3-2】【2017课标II设集合A=1,2,4,B=(xX2-4x+m=0),若AB=卬，则8=()A.1,3B.乜0C.l3D.1,5【答案】C【解析】由A门B=1得1wB,即x=1是方程x2-4x+m=0的根，所以14+m=0,m=3,B=1,3,故选C.【3-3】已知集合庆=*|2£*47,B=x|m+1<x<2m_1，且B#0,若AjB£,则实数m的取值范围是()A.-3<m<4B.3

18、<mc4C.2<m<4D,2<m<4【答案】Dm1-2,【解析】由于A|Jb=A，所以BJA,又因为BW0,所以有2m1W7,解得2cmM4,m1：2m-1,故选D.【领悟技法】1 .集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.2 .涉及集合(交、并、补)运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3 .有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.【触类旁通】【变式一】【2018河南洛.阳三模】设

19、集合4二"引因至方，E=wa=l-,则月nE的子集个数为（）A.4B.8C.16D.32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B,得到八门£,可求八cE的子集个数.详解：M二#eZ|#|<2=xZ-2<x<2=-，B=yy=1-）=3V三1）,"门/?=_4-1,0"4nH的子集个数为24=16.故选c.【名师点睛】本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.【变式2】【2018福建三明一中二模】设全集二及,集合4二因-1<，<1,8=巾（工-2）<0,则百n（%第二（）A.M-l<<0B.国1OC团。D.国

20、【答案】At解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合H,而用补集的定义求出5氏由交集的定义可得结果.详解：因为8=小|工（又一？）<0=值m<为2,所以QB=51工式。或工>2,结合集合R=x1<工<1,鲍可得月口（7中=口|一1（，£3,故选A.【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合人且不属于集合门的元素的集合.【易混易错】易错典例1：设集合A=x|xa|<1,xwR,B=x|1<x<5,xR,若A曝B,则a的取值范围为.易错分析：忽视端点.a-11正确解析：由|x2|<1得一1<*a<1,a1<x<a+1,由A目B得W，-a1二52<a<4.又当a=2时，=x|1<x<3满足A,B,a=4时，A=1x|3cx<5）也满足A?B,.