理论力学 第14章 振动

1、返回总目录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 理论力学第三篇理论力学第三篇 动动 力力 学学第第1414章章 振动振动制作与设计 贾启芬 刘习军 目目 录录Theoretical Mechanics 返回首页第第14章章 振动振动 返回首页Theoretical Mechanics14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动 14.1.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 1. 单自由度无阻尼自由振动 （1）振动微分

2、方程标准形式02xpxn mkpn固有频率 系统的固有频率和周期仅与系统的质量与刚度有关，与运动初始条件无关。振幅和初位相则由运动初始条件决定。22020npxxA00tanxxpnnpT221npTf （2）运动方程振幅初相位周期频率)sin(tpAxntppxtpxxnnnsincos00或或 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动计算固有频率用能量法的理论基础是机械能守恒定律 x=0时，U=0, 动能具有最大值Tmax，速度为零时，T=0, 势能具有最大值Umax。14.1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量

3、法221qmTeq221qkVeqeqeqnmkp 0eqeqqkqm keq-等效刚度meq-等效质量21kkkeq 2121eqk kkkk并联弹簧串联弹簧maxmaxUT TU=常量其中得 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动 14.1.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 （1）振动微分方程标准形式022xpxnxn mcn2 阻尼对周期影响不大，而对振幅有显著影响，使其按指数曲线衰减。当npn时，运动不具有振动特性。22nppndnpn21ndpp212TpTdddnTiiAAe1dnTln（2）运

4、动方程（n pn即小阻尼情形）为阻尼比衰减振动周期振幅缩减率（即减幅系数）对数减幅系数)sin(etpAxdnt000220020tan)(nxxpxpnxxxAdd其中 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动其中tHFsin11tkatHFsinsin22tmetHFsinsin233 14.1.4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动 （1）受迫振动微分方程式 简谐激振力的三种形式：直接作用激振力弹簧悬挂点简谐运动引起的激振力偏心转子引起的激振力mHhmcnmkpn ; 2 ; 2thxpxnxnsin22 有

5、阻尼强迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数非齐次微分方程 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动受迫振动的频率等于激振力频率。)sin(tbx22220222224)1 (4)(bnphbnnpnpnkHb 0222122tannn （2）稳态受迫振动规律其中： b振幅，相位差 其中：频率比阻尼比激振力之最大值引起的弹簧静伸长特解特解 Theoretical Mechanics14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动 当1时，位相差 /2，与阻尼大小无关。工程上利用此特点，通过实验测量系统固有频率pn。

6、 20bb 2（3）共振n即1时发生共振。此时 在共振频率附近阻尼对受迫振动振幅有显著影响。远离共振区（0.751.25），其对振幅的影响可略去不计。振动微分方程的全解为)sin()sin(e22tBtpAxnnt 衰减振动 强迫振动临界角速度ccn30 （4）转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的。mkpnc临界转速 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动 （5）减振与隔振的概念 为了尽量减小振动，避免在共振区内工作。许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振

7、的措施。 减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如，利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。 隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。 隔振有两种形式 a.主动隔振：将振源与基础隔离开。 主动隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为HHTa 其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的幅值。 Theoretical Mechanics 返回首页14.1 14.1 主要内容主要内容第第14章章 振动振动 被动隔振是将防振的物体与振源隔离（振源来自地基的运动），防止或减小地基振动对物体的影响。 被动隔振的效果位移传递率表示，定义为b

8、Ba B为隔振后传到物体上的振动幅值，b地基运动的振动幅值。 b.被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。 为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共振区时会产生较大的振动。 通过计算可知位移传递率与力传递率具有完全相同的形式。 返回首页Theoretical Mechanics第第14章章 振动振动 Theoretical Mechanics 返回首页14.2 14.2 基本要求基本要求第第14章章 振动振动14.2 基本要求基本要求1 .能建立单自由度系统线性自由振动、衰减振动和受迫振动的微分方程，熟悉振动的特征及运动

9、方程。2 .利用等效的概念计算系统的等效刚度、等效质量。3 .能熟练地应用能量法计算系统的固有频率。4 .能熟练地求解单自由度振动线性系统的自由振动、衰减振动和强迫振动的微分方程。5 .能熟练地计算系统的振动周期、频率、振幅、振幅缩减率（即减幅系数）、对数减幅系数等。6 .掌握共振的条件，了解临界转速的基本概念。7 .了解隔振的基本概念。 返回首页Theoretical Mechanics第第14章章 振动振动 Theoretical Mechanics 返回首页14.3 14.3 重点讨论重点讨论第第14章章 振动振动 14.3 重点讨论重点讨论 求解单自由度系统振动问题，常归结为建立运动微

10、分方程及求解有关的振动量的两个方面的问题，其步骤如下： (1)明确研究对象。 (2)运动分析，选择坐标系。根据系统的运动特性，选出相应的广义坐标。一般选取系统的静平衡位置为广义坐标的原点，坐标轴沿振动的方向。 (3)受力分析。为计算方便，最好把系统置于广义坐标为正值的任意位置，然后画受力图。这时，弹性恢复力与粘滞阻力应指向坐标的负方向。 Theoretical Mechanics 返回首页14.3 14.3 重点讨论重点讨论第第14章章 振动振动 (4)建立运动微分方程。根据具体问题选取动力学方程。对质点问题一般采用牛顿定律；对于系统问题常用质心运动定理、动量矩定理、机械能守恒定律，也可采用能

11、量法及拉格朗日方程。将运动微分方程标准化，与提要中的标准方程比较，确定振动的类型。 (5)根据题意，代入相应的公式求解。对于那些只求振动时的各种物理量，可直接代入相应的公式求解。 返回首页Theoretical Mechanics第第14章章 振动振动 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-1 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆连同杆BD对于支点对于支点B的转动惯量为的转动惯量为IE ,已知弹簧已知弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。求重物求重物P在铅直方向的振

12、动频率。在铅直方向的振动频率。解：解： 系统的位移系统的位移 角来表示角来表示221BIT 系统的动能系统的动能则其运动方程则其运动方程)sin( tpn)cos(ddtpptnn22maxmax2121nBBpIIT 如取平衡位置为零势能点，设在平衡位置时，弹簧的伸如取平衡位置为零势能点，设在平衡位置时，弹簧的伸长量为长量为 st 。此时，弹性力。此时，弹性力Fst=k st , 向上。向上。 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动22222121kbpInBBIkbp2n 2221 kbU 222max2max2121kb

13、kbU该系统的势能该系统的势能)(21 )(21st222st2stPlkbkbPlbkU0s Plbkt 即即0)( FmB0s PlbFt Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-2 鼓轮：质量鼓轮：质量m1，对轮心回转半径，对轮心回转半径 ，在水平面上，在水平面上只滚不滑，大轮半径只滚不滑，大轮半径R，小轮半径，小轮半径 r ，弹簧刚度系数，弹簧刚度系数k1，k2 ，重物质量为重物质量为m2, 不计轮不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。统微振动的固有频率。

14、 解：取静平衡位置解：取静平衡位置O为为坐标原点，取坐标原点，取C偏离平衡位偏离平衡位置置x为广义坐标。系统的最为广义坐标。系统的最大动能为大动能为2max22222max2max22maxmax 21 )(21)(21)(2121211xr)(Rm)R(mRxRrRmRxmxmT Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动) )()( ( )(21 )(2121st2max21max2st2stmax21max22RkkrRgmxkkxRrRgmxkkU系统的最大势能为系统的最大势能为设设 则有则有)sin(npAxnApxAx

15、maxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkUApRrRmRMTn根据根据Tmax=Umax , , 解得解得222221)()()(21rRmRmRkkpn Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-3 质量为质量为m1的电动机安装在弹的电动机安装在弹性基础上。偏心距为性基础上。偏心距为 e，偏心质量为，偏心质量为m2。阻尼系数为阻尼系数为c，转子以匀角速，转子以匀角速w转动，试转动，试求电动机的运动。求电动机的运动。 解：取电动机为研究对象，平衡位解：取电动机为研究对象，平衡位置为坐标

16、原点置为坐标原点O，x轴铅垂向下为正。作轴铅垂向下为正。作用在电动机上的力有重力用在电动机上的力有重力Mg、弹性力、弹性力F、阻尼力阻尼力FR、惯性力、惯性力FIe、FIr，受力图如，受力图如图所示。图所示。 根据达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理0sin )(2st21temxmxkMgxc temkxxcxmsin221 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动)sin(22thxpxnxn ,2112mcnmkpn，= h212emm设电机的运动方程为设电机的运动方程为)sin(tBx22222222224)1 (4)1 (12

17、bmemB212arctan12memb 整理成标准形式整理成标准形式 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-4 已知不计梁的质量，物块质量为已知不计梁的质量，物块质量为m，此物静置于，此物静置于梁的中部时，梁中部的静挠度为梁的中部时，梁中部的静挠度为 0 = 5mm，今此物由，今此物由h = 1m处自由落在梁的中部后与梁不再分离。处自由落在梁的中部后与梁不再分离。求此后重物的运动方程。求此后重物的运动方程。 重物的运动方程为重物的运动方程为ghyyypyn2,00002 rad/s 3 .440gntttpytp

18、yynnn3 .44sin1003 .44cos5 sincos00 解解 重物运动的力学模型如图重物运动的力学模型如图(b)，它，它的运动微分方程和初始条件是的运动微分方程和初始条件是式中，固有圆频率式中，固有圆频率 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-5 已知小球质量为已知小球质量为m，当它作水平微幅振动时，弹，当它作水平微幅振动时，弹性线张力大小性线张力大小F保持不变，不计重力。求证明小球水平微幅振保持不变，不计重力。求证明小球水平微幅振动是谐振动，并求其自由振动周期。动是谐振动，并求其自由振动周期。 所以

19、所以0sin2Fxm lxtansin02xlFxm 解解 如图示坐标，小球的运动微分方程为如图示坐标，小球的运动微分方程为微幅振动时微幅振动时FmlT22这是简谐振动的微分方程，证毕。而运动周期为这是简谐振动的微分方程，证毕。而运动周期为 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-6 已知两轮转速相同，转向相反，板已知两轮转速相同，转向相反，板AB的质量为的质量为m，轮与板之间滑动摩擦因数为轮与板之间滑动摩擦因数为f，若将板质心，若将板质心C移至对称位置点移至对称位置点O释放。求证明质心释放。求证明质心C的水平运动为

20、谐振动，并求其周期。的水平运动为谐振动，并求其周期。 这是谐振动的微分方程，证毕。这是谐振动的微分方程，证毕。2N21N12N1N ,2)(,2)(fFFfFFaxamgFaxamgF21FFxm 0 xafgx fgaT2解解 板受力如图，轮与板间有滑动板受力如图，轮与板间有滑动平板水平运动微分方程为平板水平运动微分方程为整理得整理得其振动周期为其振动周期为 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-7 已知均质杆已知均质杆AB，质量为，质量为m1；小球；小球B质量为质量为m2，大，大小不计；两弹簧刚度系数均为小不计

21、；两弹簧刚度系数均为k，杆于水平位置静止。求该系，杆于水平位置静止。求该系统微幅振动的固有圆频率统微幅振动的固有圆频率pn。 解解 设杆水平时，设杆水平时， = 0；其微其微幅振动微分方程为幅振动微分方程为2222)2(kllmIO 所 以所 以 2121212)3(121lmlmlmIO02)4(21kmm 2142mmkPn式中式中代入上式，得代入上式，得 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-8 已知均质杆已知均质杆AB = l，质量为，质量为m；A端沿铅垂槽滑动，端沿铅垂槽滑动，B端沿水平槽运动，两侧弹簧相

22、同，端沿水平槽运动，两侧弹簧相同， = 0为杆的静平衡位置。为杆的静平衡位置。求弹簧刚度系数为多大，振动才能发生；这时固有圆频率求弹簧刚度系数为多大，振动才能发生；这时固有圆频率pn为为多大？多大？ 解解 选选 = 0位零势能位置，一般位零势能位置，一般 处，该处，该系统的动能和势能分别为系统的动能和势能分别为2222sin)cos1 (2 3121kllmgVmlT得得 VTTtdd2sinsin23122kllmgml 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程微幅振动的微分方程为微幅振动的微分方程为22sin,sin02231222lmgklml微幅振动时微幅振动时0222lmgkl发生振动的条件

23、为发生振动的条件为振动固有频率为振动固有频率为lgmkpn236 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-9 已知质量为已知质量为m的物块挂在无重刚杆的物块挂在无重刚杆AB上，如图所上，如图所示，若两弹簧刚度系数为示，若两弹簧刚度系数为k1和和k2，系统平衡时，系统平衡时，AB杆水平。求物体自由振动的频率。杆水平。求物体自由振动的频率。 解解 选物块的静平衡位置为坐标选物块的静平衡位置为坐标x的的原点，系统平衡处为零势能位置，沿物原点，系统平衡处为零势能位置，沿物块坐标为块坐标为x时，其动能、势能为时，其动能、势能为

24、22221122121,21kkVxmTabx21式中式中 1、 2是弹簧相对于静平衡位置的变形量，有是弹簧相对于静平衡位置的变形量，有bkak2211对对AB杆，恒有杆，恒有 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动将将T、V代入上式，即得运动微分方程为代入上式，即得运动微分方程为 0)(ddVTt由机械能守恒定律，有由机械能守恒定律，有所以，系统自由振动频率为所以，系统自由振动频率为02221221xbkakbkkxm )(22222121bkakmkkbpfnn由这两式求出由这两式求出 1、 2代入势能表达式，得代入势能表

25、达式，得2222122121xbkakbkkV Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-10 已知大轮半径已知大轮半径R，质量，质量m，对轴的回转半径为，对轴的回转半径为 ，弹，弹性绳的刚度系数为性绳的刚度系数为k，小轮半径为，小轮半径为r，它的摆动规律是，它的摆动规律是 = 0 sin t，不计小轮和弹性绳质量，且绳不松弛。，不计小轮和弹性绳质量，且绳不松弛。求大轮稳态振动的振幅。求大轮稳态振动的振幅。 所以有所以有RFFI)(211 )(),(,2121rRkFRrkFmItkrRkRmsin22022 解解 大

26、轮受力如图大轮受力如图(b)，转动微分方程为，转动微分方程为式中式中式中式中)(22220nmpmkrRmkRpn2受迫振动的稳态振幅为受迫振动的稳态振幅为 Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-11 已知均质滚子质量已知均质滚子质量m = 10kg，半径，半径r = 0.25m，弹，弹簧刚度系数簧刚度系数k = 20N/m，阻尼系数，阻尼系数c = 10N s/m，滚子只滚不滑。，滚子只滚不滑。求求 1）无阻尼的固有频率）无阻尼的固有频率fn；2）阻尼）阻尼 比比 ；3）有阻尼的固有频）有阻尼的固有频率率fd；4

27、）此阻尼系统自由振动的周期）此阻尼系统自由振动的周期TD。 解解 选静平衡位置为广义坐标选静平衡位置为广义坐标x的起的起点，广义力和动能为点，广义力和动能为222432121,xmrxIxmTxckxQOx得运动微分方程为得运动微分方程为xQxTxTtdd023kxxcxm 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程由此得由此得289. 0232,Hz184. 03221kmcmkfns677. 51,Hz176. 012ddndfTff Theoretical Mechanics 返回首页14.4 例例 题题 分分 析析第第14章章 振动振动 例例14-12 已知已知 O1C = a sin t，a

28、= 0.02m， =7rad/s，弹弹簧在簧在0.4N作用下伸长作用下伸长0.01m，物，物B质量质量mB = 0.4kg。求物。求物B受迫受迫振动的规律。振动的规律。 解解 选系统静平衡时选系统静平衡时A、B的位置为的位置为xA、xB的原点，如图的原点，如图(b)所处，图中，弹簧力为所处，图中，弹簧力为taxkxxkFAABKsin,N/m4001. 04 . 0)(由此解出由此解出tkakxxmBBBsin 7sin22.39sin2ttmkkaxBB则物则物B的运动微分方程为的运动微分方程为 返回首页Theoretical Mechanics第第14章章 振动振动 Theoretical

29、 Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题第第14章章 振动振动 14-1 已知图示各振动系统中，k1 = 5000N/m，k2 = 3000N/m，m = 4kg。求物体自由振动的周期。 答：在(a)、(b)两图中 ，T = 0.290s在(c)、(d)两图中 ，T = 0.1400s21111kkk21kkk Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题第第14章章 振动振动 14-2 已知图示振动系统，物块质量为m1时，自由振动周期为T1，质量为m2时，自由振动周期为T2。求弹簧刚度系数k为多大？2221212)(4TTmmk答

30、答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题第第14章章 振动振动 14-3 已知斜面倾角为，弹簧的刚度系数为k，质量为m的小车从高为h处自由下行碰上弹簧后，不再与弹簧分开。求此后小车振动的周期和振幅。 kmT2hkmgkmgxxAn2sin22020答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题第第14章章 振动振动 14-4 已知均质杆AB = l，质量m，弹簧刚度k。求图(a)、(b)两种支承及平衡位置，微幅振动的固有圆频率。 lgmkmk276,7621答答： Theoretical Mechanics 返回首页14.5 典典 型型 习习 题题第第14章章 振动振动 14-5 已知半圆柱对过质心C，且平行于母线的轴线的回转半径为，设圆柱不打滑。求它在平面上作微小摆