高一数学必修二直线与圆的位置关系知识讲解

1、高一数学必修二直线与圆的位置关系4、点和圆的位置关系有几种？、点和圆的位置关系有几种？ （1）dr 点点 在圆外在圆外rd5、“大漠孤烟直，长河落日圆大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能想象一下，直线和圆的位置关系有几种？那你能想象一下，直线和圆的位置关系有几种？问题问题: :一艘轮船在沿直线返回港口的途中一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到接到气象台的台风预报气象台的台风预报:台风中心位于轮船

2、正西台风中心位于轮船正西70km处处,受影响的范围是半径长为受影响的范围是半径长为30km的圆形区域的圆形区域,已知港已知港口位于台风中心正北口位于台风中心正北40km处处,如果这艘轮船不改变如果这艘轮船不改变航线航线,那么它是否会受到台风的影响那么它是否会受到台风的影响?思考思考:我们怎样判别直线与圆的关系我们怎样判别直线与圆的关系?直线与圆相交直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相离直线与圆相离位置关系位置关系判别方法判别方法2个交点个交点1个交点个交点没有交点没有交点问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？例例1 1、如图，已知直线、如图，已知直线l:3x+y-6l:3

3、x+y-6=0=0和圆心为和圆心为C C的圆的圆x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判断直线，判断直线l l与圆的位置关与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。系；如果相交，求它们的交点坐标。.xyOCABl解法一解法一：5 5半半径径长长为为其其圆圆心心C C( (0 0, ,1 1) ), , )5() 1( 222 yx5105123|6103|2d所以所以, ,直线直线l l与圆相交，有两个公共点与圆相交，有两个公共点. .直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例例1 1、如图，已知直线、如图，已知直线l:3x+y-6l:3x+y-6和圆心为和圆心为C C的的圆圆

4、x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判断直线，判断直线l l与圆的位置关系；与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。如果相交，求它们的交点坐标。.xyOCABl解法二解法二：由直线：由直线l l与圆的方程，得与圆的方程，得 04206322xyxyx消去消去y，得，得0232 xx有两个公共点有两个公共点与圆相交与圆相交直线直线, 01214)3( 2l 例例1 1、如图，已知直线、如图，已知直线l:3x+y-6l:3x+y-6和圆心为和圆心为C C的的圆圆x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判断直线，判断直线l l与圆的位置关系；与圆的位置关系；如

5、果相交，求它们的交点坐标。如果相交，求它们的交点坐标。.xyOCABl212320, 2 , 1xxxx由由得得112,0 xy把把代代入入方方程程 得得221,3xy把把代代入入方方程程 得得所以所以, ,直线直线l l与圆有两个公共点与圆有两个公共点, ,它它们的坐标分别是们的坐标分别是A(2,0)A(2,0)，B(1,3).B(1,3).(1) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：nrbyaxCByAx的解的个数为的解的个数为设方程组设方程组 )()(0222 n=0n=1n=2直线与圆直线与圆相离相离直线与圆直线与圆相切相切直线与圆直线与圆相交相交0

6、代数法代数法直线与圆的位置关系的判定方法：直线与圆的位置关系的判定方法：(2)利用利用圆心圆心到直线的距离到直线的距离d与半径与半径r的大小关的大小关系判断：系判断：直线与圆的位置关系的判定方法：直线与圆的位置关系的判定方法：22BACbBaAd 直线直线l：Ax+By+C=0圆圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)d rd = rd r直线与圆直线与圆相离相离直线与圆直线与圆相切相切直线与圆直线与圆相交相交几何法几何法XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习练习2 2、求以、求以c(1c(1、3 3）为圆心，并和直线）为圆心，并和直线3x-4y-6=03x-4y-6=0相切的圆的方程

7、相切的圆的方程. .1 1、判断直线、判断直线3x+4y+2=03x+4y+2=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0的位置关系的位置关系. .3r 例例2：直线：直线x-2y+5=0与圆与圆x2 + y2 =25相交截得的相交截得的 弦长弦长 法一：求出交点利用两点间距离公式；法一：求出交点利用两点间距离公式； 法二：弦长公式法二：弦长公式 d=1+k2 (x1 + x2 )2 4x1 x2 法三：弦心距法三：弦心距,半径及半径构成直角三角形的三边半径及半径构成直角三角形的三边 (45 )弦长问题弦长问题例例3 3、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直

8、线l l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的的方程。方程。5 54 4.xyOM.EF例例3.已知过点已知过点M(-3,-3)的直线的直线l 被圆被圆 所截得的弦长为所截得的弦长为 ,求求 l 的方程的方程.22xy 解解:因为直线因为直线l 过点过点M,可设所求直线可设所求直线l 的方程为的方程为:4 53(3)yk x :330kxyk 即即4210y 对于圆对于圆:224210 xyy22(2)25xy(0, 2),5r 圆圆心心坐坐标标为为半半径径如图如图:4 5AD ,根据圆的性根据圆的性质质,2 5

9、AB ,5d 2|233|1kdk 2|233|51kk 解得解得:122kk 或或所求直线为所求直线为: 290230 xyxy或或例例4 4、已知圆的方程是、已知圆的方程是x x2 2+y+y2 2=r=r2 2，求经过圆，求经过圆上一点上一点M(xM(x0 0,y,y0 0) )的切线方程的切线方程. .yxO),(00yxM思考思考1. 1.圆的切线有哪些性质？圆的切线有哪些性质？2.2.求切线方程的关键是什么？求切线方程的关键是什么？3.3.切线的斜率一定存在吗？切线的斜率一定存在吗？ 例例5：自点：自点 作圆作圆 的切线的切线 求切线求切线 的方程的方程 )4 , 1(A1)3()

10、2(22yxllyxoA方法总结：求过圆外一点所作圆的方法总结：求过圆外一点所作圆的切线的方程分两种情况进行讨论：切线的方程分两种情况进行讨论：（1）直线垂直于）直线垂直于X轴（轴（k不存在）不存在）（2）直线不垂直于）直线不垂直于X轴（轴（k存在）存在）分析分析：(结合图形分析结合图形分析)由于本题知道了一点的坐标，可设方程为点斜式方程，由于本题知道了一点的坐标，可设方程为点斜式方程，用点斜式的前提是斜率存在，因此我们要首先对直线的斜率是否存在用点斜式的前提是斜率存在，因此我们要首先对直线的斜率是否存在进行讨论：进行讨论：1、直线垂直于、直线垂直于X轴（斜率不存在），由图形可知轴（斜率不存在

11、），由图形可知直线不和圆相切直线不和圆相切2、直线不垂直于、直线不垂直于X轴（斜率存在），由图形可知共有两条直线，求轴（斜率存在），由图形可知共有两条直线，求出出k即可即可.（k有两个值有两个值)xoAy 练习：求过圆练习：求过圆x2 + y2 +2x外一点外一点（，）的圆切线方程。（，）的圆切线方程。 解：设所求直线为（）代入解：设所求直线为（）代入 圆方程使圆方程使； 即所求直线为即所求直线为 提问：上述解题过程是否存在提问：上述解题过程是否存在 问题问题？ 例例6 6 求过点求过点P P（2 2，1 1），圆心在），圆心在直线直线2x2xy=0y=0上，且与直线上，且与直线x-y-1x-

12、y-10 0相切的圆方程相切的圆方程. .P P2x+y=02x+y=0问题问题:一艘轮船在沿直线返回港口的一艘轮船在沿直线返回港口的 途中途中,接到气象台的台风预报接到气象台的台风预报:台风中心位于台风中心位于 轮船正轮船正西西70km处处,受影响的范围是半径长为受影响的范围是半径长为30km的圆的圆形区域形区域,已知港口位于台风中心正北已知港口位于台风中心正北40km处处,如如果这艘轮船不改变航线果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风那么它是否会受到台风的影响的影响?分析分析:以台风中心为原点以台风中心为原点O,东东西方向为西方向为x轴轴,建立如图所示建立如图所示的直角坐标系的直角坐标

13、系,其中其中,取取10km为单位长度为单位长度.(7,0)(0,4)l问题归结为圆问题归结为圆O与直线与直线l 是否有交点是否有交点22:9Cxy 圆圆:174xyl 直直线线47280 xy 1.判别直线与圆的位置关系的方判别直线与圆的位置关系的方法法:直线直线圆圆:0l AxByC222:()()Cxaybr d :圆心圆心C (a , b)到直线到直线 l 的距离的距离相交相交相切相切相离相离公共点公共点(交交点点)个数个数d与与r的大的大小关系小关系图象图象0个个1个个2个个dr dr dr 小结：判定直线小结：判定直线 与圆的位置关系的方法有与圆的位置关系的方法有_种：种：（1）根据定义，由）根据定义，由_的的个数来判断；