薛定谔方程的简单应用物理教学课件PPT

1、找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；根据波函数应满足的自然条件定出边界条件根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解求出薛定谔方程的特解求出薛定谔方程的通解求出薛定谔方程的通解即波函数即波函数根据波函数应满足的归一化条根据波函数应满足的归一化条件写出波函数件写出波函数对量子力学处理的结果进行分析对量子力学处理的结果进行分析16-3 一维势阱和势垒问题一维势阱和势垒问题 1.1.一维无限深势阱一维无限深势阱粒子在粒子在势阱内受力为零，势能为零势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运。在阱内自由运动。在动。在阱外势能

2、为无穷大，在阱壁上受极大的斥力阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。不能到阱外。一维无限深方势阱是一维无限深方势阱是金属中自由电子金属中自由电子的简化模型的简化模型)(xU)0( axx及)0( 0ax一维无限深方势阱的数学表达形式一维无限深方势阱的数学表达形式 ：一维无限深方势阱的图形表达形式一维无限深方势阱的图形表达形式 ：0aU(x)x 粒子只能在宽为粒子只能在宽为 a 的两个无的两个无限高势壁间运动，限高势壁间运动，这种势称为这种势称为一维无限深方势阱一维无限深方势阱。 因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定态问题，可以用定态薛

3、定谔方程进行求解。态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。)()()(222rErrU定态薛定谔方程定态薛定谔方程列出各区域的定态薛定谔方程列出各区域的定态薛定谔方程12)0( axx 及)0( ax l势阱内势阱内 0 x 0，令，令 kE2定态薛定谔方程变为定态薛定谔方程变为 0dd222kx此薛定谔方程的解为此薛定谔方程的解为( )sin()xAkx 式中式中 A和和是待定常数，由边界条件和归一化条是待定常数，由边界条件和归一化条件确定。件确定。( )sin()xAkx 从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱

4、外波函数为函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即0)(, 0)0(a边界条件边界条件0) 0 (,.3, 2, 1, 0mm或波函数改写为：波函数改写为：kxAxsin)(0)(a,.3 , 2 , 1,nnka0dd222kx讨论一：讨论一：n不等于零不等于零0dd22xDCxx)(0) 0 (0D0)(a0C0此时波函数没有物理意义，故舍去。此时波函数没有物理意义，故舍去。讨论二：讨论二：n不取负数不取负数kxAkxAxsinsin)(此时波函数与此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布，取正数时代表相同的概率分

5、布，即无法给出新的波函数，故舍去。即无法给出新的波函数，故舍去。kE2,.3 , 2 , 1,nnkaEknann2222222212 3, , ,这说明：并非任何这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维值所对应的波函数都能满足一维无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式给出的那些分立的值给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值体系的能量本征值）时，时，相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系体系的能量是量子化的的能量是量子化的，亦即，亦即体系的能谱是分立的体系的能谱是分立的。( )s

6、inxAkx,.3 , 2 , 1,nnka与能量本征值与能量本征值En相对应的本征波函数相对应的本征波函数 n (x)为：为：,.3 , 2 , 1)0()sin()(naxaxnAxn利用归一化条件利用归一化条件 1d)(d)(022xxxxann122dsindsin22022022aAnnaAttnaAxaxnAnaAa2 /取取 A为正实数为正实数波波函函数：数：)(xn;0,sin2axaxna., 0, 0axx讨论：讨论： 粒子的能量粒子的能量Eknann2222222212 3, , , 粒子的最低能量状态称为粒子的最低能量状态称为基态基态，则一维无限深方势，则一维无限深方势

7、阱的基态能量为：阱的基态能量为：22212 aE0零点能零点能 与与零点能零点能相对应的，应存在相对应的，应存在零点运动零点运动。这与经典粒。这与经典粒子的运动是相矛盾的。子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表零点能是微观粒子波动性的表现现，因为，因为“静止的波静止的波”是没有意义的。是没有意义的。（1）一维无限深势阱的粒子波函数）一维无限深势阱的粒子波函数xxxx1n2n3n4n0000aaaa1234 图形图形一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度基态的波函数基态的波函数(n=1)无节点，无节点，第一激发态第一激发态(n=2)有

8、一个节点，有一个节点，第第k激发态激发态(n=k+1)有有k个节点。个节点。)(xn;0,sin2axaxna., 0, 0axx除端点外除端点外，（2）一维无限深势阱）一维无限深势阱的粒子位置概率密度的粒子位置概率密度分布分布xxxx1n2n3n4n0000aaaa21222324 n时时 量子量子经典经典a|2 n |n很大很大En0一维无限深势阱一维无限深势阱xanaxnsin2)(2228)(nmahxEn 22( )sin ()nnxxaanE0 xa)(xn n例例1 1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有具有正交性正交性：0dn

9、m即不同能级的波函数是互相正交的。即不同能级的波函数是互相正交的。 xaxnaaxmaxxanmd)sin2)(sin2(d)()(0 xaxnmaxnmaad)(cos)(cos10解解: 波函数波函数 取其复共轭取其复共轭 相乘并积分，得相乘并积分，得 mm)()(cos)(cos)(nmnmvvnmuunm00d1d10属于不同能级的波函数是正交的属于不同能级的波函数是正交的。把波函数的正交性和归一性表示在一起，把波函数的正交性和归一性表示在一起，mnnmdmnnm , 1nm , 0克罗内克符号克罗内克符号二、势垒穿透和隧道效应二、势垒穿透和隧道效应 有限高的方形势垒有限高的方形势垒

10、数学形式：数学形式：)Q()S()P(0,0, 0)(0区区区axUaxxxU图形形式：图形形式：xaoQSPE0UU考虑粒子的动能考虑粒子的动能 E小于势垒高小于势垒高度度 U0的情况。（的情况。（ E U0 ）)(xU,0,0Uaxx 和0ax0 粒子在粒子在 x a的区域。的区域。这种势能分布称为这种势能分布称为一维势垒一维势垒。 在量子力学中，情况又如果呢？在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：0UVOaIIIxIII)(),0(),0(axaxx在各个区域的波函数分别表示为在各个区域的波函数分别表示为 1、 2、

11、3。0UVOaIIIxIII),()(212122xEdxxd),()()(22202222xExUdxxd),()(232322xEdxxd202)(2EU 222Ek令：0 xax 0ax 0, 0)()(12212xxkdxxdaxxdxxd0, 0)()(22222axxkdxxd, 0)()(32232三个区间的薛定三个区间的薛定谔方程简化为：谔方程简化为：方程的通解为：方程的通解为：ikxikxeBeA111xikxikeBeA11222ikxikxeBeA333 三式的右边第一项表示沿三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，方向传播的平面波，第二项为沿第二项为沿x负方向传播的平

12、面波。负方向传播的平面波。 1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=0）”反射的反射波。反射的反射波。 2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=a）”反射的反射波。反射的反射波。 3右边的第一项表示穿出势垒的透射波，右边的第一项表示穿出势垒的透射波， 3的的第第二项为零，因为在二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波区域不可能存在反射波(B3=0)。定义定义反射系数反射系数：粒子被势垒反射的概率粒子被势垒反射的概率被势垒反射的粒子数被势垒反射的粒子数

13、/ 入射到势垒上的入射到势垒上的粒子数粒子数2112121ABABR定义定义透射系数透射系数：粒子穿过势垒的概率粒子穿过势垒的概率穿过势垒的粒子数穿过势垒的粒子数 / 入射到势垒上的粒入射到势垒上的粒子数子数2132123AAAAT1TR概率守恒概率守恒反射系数反射系数 R 和透射系数和透射系数 T 的具体值，需要根据波函的具体值，需要根据波函数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数在全空间连续）来确定。在全空间连续）来确定。 利用波函数利用波函数“单值、有限、连续单值、有限、连续”的标准条件，可的标准条件，可得：得：)0()0(21)()(32

14、aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。0UUaoxIIIIII讨论：讨论：（1）EU0 按照经典力学观点按照经典力学观点,在在EU0情况情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。垒，而不会在势垒壁上发生反射。 而在微观粒子的情形，却会发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。0VVaoxIIIIII（2）Ea区域也存在波函数，所以粒子区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入还可能穿过势垒进入xa区域。区域。 粒子在总能量粒子在总能量E小于势垒高度时

15、仍能贯穿势垒的小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为现象称为隧道效应隧道效应。经典经典量子量子隧道隧道效应效应当当 时，势垒的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。没有意义了。量子概念过渡到经典了。eVEU50结果表明：结果表明：势垒高度势垒高度U0越低、势垒宽越低、势垒宽a度越小，则粒子度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。穿过势垒的概率就越大。 如果如果a或或为宏观大小时，为宏观大小时， ，粒子实际上将，粒子实际上将不能穿过势垒。不能穿过势垒。0T)(22

16、0EUaeT 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STMSTM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。面电子云就可能重叠。若在样品

17、与针尖之间若在样品与针尖之间加一微小电压加一微小电压U Ub b电子电子就会穿过电极间的势就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表

18、面态密度的分布；得到表面态密度的分布；使人类第一次能够实时地观使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。阔的应用前景。空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图样品样品探针探针利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面阵列。可以直接绘出表面的三维图象的三维图象 与其它表面分析技术相比，与其它表面分析技术相比，STM所具有的所具有的独特优点独特优点是：是：1. 具有原子级高分辨率具有原子级高分辨率。STM在平行和垂直于样品在平行和垂直于样品表面方向的分辨率分别可达表面方向的