第5章误差理论

1、工程测量学第五章测量误差的基本理论与应用1525-1 概述一、观测与观测值的分类二、测量误差及其来源三、研究测量误差指导原则522同精度观测和不同精度观测 一、观测与观测值分类 在相同的观测条件下，即用同一精度的仪器、设备，在相同的观测方法和外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。反之称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。例子：1）两人用DJ2经纬仪测得的一测回水平角属于同精度观测2）一人用DJ2经纬仪，一人用DJ6经纬仪测得的一测回水平角，或都用DJ6经纬仪但一人测二测回，一人测四测回，各自所得到的水平角则属于

2、不同精度观测直接观测与间接观测 一、观测与观测值分类直接观测为确定某未知量而直接进行的观测，即被 观测量就是所求未知量本身，观测值称为直接观测值。例子：1）为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测2）视距测量则属于间接观测 ( D = K.l + C )间接观测通过被观测量与未知量的函数关系确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。二、测量误差及其来源产生测量误差的三个因素：仪器原因 仪器精度的局限性,轴系残余误差等； 人的原因 判断力和分辨力的限制,经验缺乏等； 外界影响 气象因素如温度变化,风力,大气折光等 。结论：(粗差除外)495真误差观测值与真实值之差，即 真误差 =

3、 观测值 真值 三、研究测量误差指导原则496依据测量目的不同，测量结果是允许存在一定程度的误差。测量工作的目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要在一定的条件下，设法将误差限制在与测量目的相适应的范围之内，通过分析测量误差，求得未知量的最合理、最可靠的结果，并对观测成果质量进行评定。一般原则497（二）系统误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。4985-2 测量误差的种类499

4、钢尺尺长误差 Dk 钢尺检定,尺长 钢尺温度误差 Dt 钢尺检定,温度 对系统误差采取措施举例：采取措施 水准仪视准轴误差 i 中间法水准,前后视等距 经纬仪视准轴误差 C 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。 偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。 偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。4910相关名词

5、 最或是值：最接近未知量真值的估值 精度评定：对观测结果质量优劣的评定，测量上称之为测量平差，简称平差误差处理原则4911 细心观测，用多余观测和几何条 来件来发现，将含有粗差的观测 值剔除。系统误差 找出发生规律，用观测方法和 加改正值等方法抵消。 用多余观测减少其影响，利用 几何条件检核，用“限差”来 限制。 5-3 偶然误差的特性 偶然误差的定义 设某一量的真值为X，对该量进行 n 次观测，得n个观测值 ， 产生n个真误差4912l1, l2, ln1,2,n,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值

6、,例如三角形三个内角之和为180(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。 多次观测中寻找偶然误差的规律：4913 表5-1 偶然误差的统计 4914误差区间 d 负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.0141

7、10.031212440.01120.00660.01724以上000000181050517704953581000偶然误差的特性有界性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值；渐降性：误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；对称性：绝对值相等的正负误差频率大致相等；抵偿性：当观测次数无限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：4915d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f三角形闭合差的频率直方图0limlimn21nnnn正态分布曲线以及标准差和方差491622221)(efnnnnlimlim2nnnnn222221

8、2limlim在统计理论上如果观测次数无限增多(n)，而误差区间d又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式5-4 衡量测量精度的指标一、中误差4917用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：nnm2n2221选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表6

9、-2中计算中误差，得到： 第1组: 第2组:可见第1组的观测精度高于第2组。按观测值的改正值计算中误差4918表5-2m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1= 2.7m2= 3.6=xy= f()()f()fm1m1m2m212m1m2+-22 114919不同中误差的正态分布曲线4920二、极限误差emfpmd21d)()(222 根据正态分布方程式，可以表示误差出现在微小区间d的概率 将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的概率：emkmpm

10、d21)(2224921%7 .999973. 0)3(%4 .959545. 0)2(%3 .686826. 0)(mPmPmP分别以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率由此可见，大于2倍中误差出现的概率小于4.6，大于3倍中误差出现的概率小于0.3。因此，测量工作中以3倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”或“限差”。4922三、相对中误差某些观测值的精度如果仅用中误差衡量，还不能正确反映其质量，例如，距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量，称为“相对中误差”(简称相对误差)，例如200m距离的测距中误差为2c

11、m, 测距的相对误差为110000; 500m距离测距中误差也为2cm，则测距相对误差为125000；后者精度高于前者。5-5 误差传播定律4923n21dddD一、观测值的函数测量所采集的数据(量)并非都是直接观测值，而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。例如：和差函数dD1000nlnlnlnx11121 例如算术平均值例如分段量距相加例如图上量长度,化为实地长度线性函数倍函数二、一般函数的中误差4924举例说明：矩形地块，量长度a、宽度b，求其面积 P。 aabbababP = b-+-+aba面积是观测值长度a和宽度b的函数，函数式为：baP对函数式中的自变量a、b求

12、偏微分:dbbPdaaPdPbaaPddbd将微分元素以偶然误差i代替baa bP面积误差(图中阴影面积)具有直观的几何意义4925对于上述地块的长度和宽度进行n次观测：)1(,Piniabbiai 上列n个等式平方后取其总和，并除以n,得到：nabnanbnbabbaaPP222根据偶然误差的抵偿性，得到：, 0limnbannanbnbbaaPP22按照中误差的定义，上式可改写为求面积中误差公式：222222222,baPbaPmambmmambm49262222222121nnZmxfmxfmxfm ),(21nxxxfZ 误差传播定律 一般函数的中误差计算式中xi为自变量(独立观测值)

13、，设mi 为观测值的中误差，Z 为独立变量的函数。则 Z 的中误差为：式中为各个变量的偏导数。ixf对于一般函数4927三、线性函数和倍函数的中误差iikxZnnxkxkxkZ 2211线性函数：自变量的偏导数：按照误差传播定律，得到线性函数的中误差：2222222121nnZmkmkmkm 算术平均值 也属于观测值的线性函数，根据误差传播定律：x22222212111nxmnmnmnm 4928由于是等精度观测,因此 m1 = m2 = = mn = mxmmn 由此可见，算术平均值的中误差比观测值的中误 差小 倍。n如果线性函数只有一个自变量： , 则成为倍函数，其中误差为：kxZ xkm

14、zm上式中的系数 k ，即为误差扩大的倍数。4929函数式为： D=500 d实地距离和量距中误差为：m1.0)mm2.0(500m35.67mm7.134500DmD该距离及其中误差可以写成：0m1 . 0m35.67D 例：量得比例尺为 1500 的地形图上两点间长度 d =134.7mm, 图上量距中误差为 0.2mm, 换算为实地距离 D 和量距中误差 mD 。4930yxzyxz222yxzmmm其中误差均为：和差函数的中误差计算方式也可用于多种独立误差来源的观测值中误差的计算。例如用测角仪器观测水平方向时，同时受到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光等误差影响，观测水平方向的偶然误

15、差是这些误差的代数和：大气仪器读数瞄准对中方向故观测水平方向的中误差为：22222大气仪器读数瞄准对中方向mmmmmm其它线性函数 如和差函数误差传播定律小结第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作 为自变量。4931),(21nxxxfZ 2222222121nnZmxfmxfmxfm 函数式：函数中误差： 如果观测值之间是相关的，则得到的结果将是不严格的。一、角度测量的精度DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回方向观测值中误差 m =6，水平角为两个方向观测

16、值之差，故一测回水平角观测的中误差为： 49325 . 8262 mm一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平角值的中误差为：0 .1225 . 82 mm盘左、盘右水平角值之差的中误差为：712212 mm以2倍中误差作为极限误差为34(一般规定40)误差传播定律应用多边形水平角观测角度闭合差的规定 多边形内角(水平角)之和在理论上应为(n-2)180,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：4933180)2(180)2(21 nnfn每个角度的测角中误差为m ,则n个角度之和的中误差:nmm以2倍中误差作为极限误差,则n边形的角度的允许闭合差n2m允f例：设水平角观测的中误差

17、m =18,则三角形的允许角度闭合差：06381232 m二、水准测量的精度水准测量高差测定的计算式 h = a - b,设用S3水准仪在水准尺读数的中误差m = 1 mm，则一次测定高差的中误差：4934mm4 . 12 mmh两次测定高差之差 h = h1- h2 ,则高差之差的中误差：mm22hhmm以2倍中误差作为极限误差,则允许的高差之差为4 mm水准路线高差测定的精度4935在一条附合水准路线进行水准测量,共设n个测站,其高差的总和：)()()(2211nnbababah 设水准尺读数误差为m,每次高差测定中误差为mh,则线路的高差总和的中误差：nmnmmhh2设水准线路长度为L,

18、各测站前、后视平均长度为d,单位长度的高差测量中误差为m0,则：dLn2LmLdmdLmmh0dmm 0，Lmmh0L以公里为单位4936Lmmoh上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根成正比。水准测量的等级以每公里高差测量的中误差mo作为精度指标：水准测量等级 一等 二等 三等 四等mo1 mm2 mm6 mm10 mm据此,可以按水准测量等级和设计水准路线长度,估算水准测量全程的高差中误差。例如,路线长5km的四等水准测量的精度：mm225mm10hm三、坐标计算的精度4937两点之间,如果已测定其水平距离D和方位角,则可按下式计算其坐标增量：sin,cosDyDxcossins

19、incosdDdyddDdxdDD对观测值(自变量)D和求偏导数,得到函数式的全微分：按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式4938222222222222)(sin)cos()(sin)(cos)sin()(cos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx222222utDyxABmmmDmmmM 坐标增量的中误差:上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成,第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：49395-6 同精度直接观测平差一、最或是值nlnlllnlniixn211 在相同的观测条件下，对某一量进行n次观测，观

20、测值为li (i=1n), 取其算术平均值 作为该量的最可靠的数值（故也称“最或是值 或 最或然值”）：x 算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：证明算术平均值是最或然值nn2211lXlXlX4940Xlim0limnlnnnnlXn根据偶然误差特性：Xnlx按真值计算各个观测值的真误差将上列等式相加，并除以n,得到：二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值) v :4941n)1(ilxvii0lxnvvi算术平均值符合最小二乘法原理min)(2lxvvnlxlx, 0)(取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正

21、值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。0)(2lxxdxvvd观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求得算术平均值及观测值的各个改正值 v，据此计算观测值的中误差：4942对比按真误差计算中误差的公式： 1112nvvnvmniinmxiiiilxvlX,两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：1nvvn1nvvm以 代替真值X： 两者差别仅在于以（n1）代替 n， 算术平均值计算的实用公式 由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的相同部分为l0 ,差异部份为l，即 li =l0 +li ,算术平均值的实用公式：4943nllx01nvvm按各个观测值的改正值计算观测值

22、中误差的公式：按观测值的改正值计算中误差的算例 （一段水平距离的多次观测）4944 次序观测值l(m)l(cm)改正值v(cm)vv (cm2)1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017 (m)观测值中误差:=3.0 (cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 nllx01nvvm计算算术平均值及其中误差的小结：一、 已知真值X,进行n次观测，则计算观

23、测值的真误差与中误差。二、真值不知,则进行 n次观测，计算算术平均值、改正值及其中误差。4945iilX nm lxlno1nvvm中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值：vxlii49462iimCP 5-7 加权平均值及其中误差同一量的一系列等精度观测值可以取其算术平均值，而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均值。“权”(P)意为衡量轻重,观测值的中误差(m)小,则权大;反之则权小。定义权与中误差的平方成反比：C为任意常数。等于1的权称为“单位权”,权等于 1 的中误差称为“”( mo )。因此,权和中误差的另一种表达式为：ioiioiPmmmmP1,224947 为了使“权”的概念简单明了，取一次观测、一个测回或单位长度（例如1 km）等的测量误差作为单位权中误差。例如，以一测回的水平角观测中误差m为测角的单位权中误差,则 n 测回取其算术平均值的角度中误差及其权为:nPnmmnn测回）测回