第5讲 高斯光束

1、(1)(2)0(3)EHtHEutE 22HEEuutt 对对2式求旋度：式求旋度：2EEE 且由且由3式：式：10EEEEE 在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即0222(4)EuEt 综合上三式可以得到综合上三式可以得到假设折射率假设折射率n的空间变化很小，即的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：0( , , , )Re( , , )i tE x y z tE x y z e代入代入(4)式式220022( )0( )( )Ek r Ek rur波动方程波动方程也称亥

2、姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程22( )( )( ) 1rk ruri当当 代表吸收介质，代表吸收介质， 代表增益介质代表增益介质00上式表示复数波数上式表示复数波数.220022( )0( )( )Ek r Ek rur波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程我们考虑波数表示形式为我们考虑波数表示形式为222002( )k rkk k r其中其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特性性k2都有关系。都有关系。由波数的定义：由波数的定义： 可以得到可以得到n(r)的表达式：的表达式：2( )( )k rn

3、r222200200( )( )1222kn rk rkk k rkrk的情况的情况该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我的折射率表达式，证明我们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表的正是在类透镜介质中的的正是在类透镜介质中的情况。情况。2222000011222kkkrnrkk级数级数展开展开22rxy2222222221rzrrrz 2( , , )ikzEx y z e( , , )x y z2, kk 22220ikkkr20exp( )2 ( )kEi p zrq z为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到为什么取这种形式？这是对波动方程进行

4、长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理意义。理意义。2222221220( )( )( )kkrik rkpkk rq zq zq z2220110( )( )( )( )krq zq zkip zrq z 项系数项系数222EuEt 22220ikkkr( , , )x y z20exp( )2 ( )kEi p zrq z22110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 2110qq1( )( )( )S zq zS z222( )0SS SSSS0S Sazb1( )aq zazb0bqzzqa0ii

5、pqzq 10ln 1zpiCq 22110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 20exp( )2 ( )kEi p zrq z10ln 1zpiCq 0bqzzqa2000expln 1(1)2()zKEiirqqz2000expln 1(1)2()zKEiirqqz2002,qik 122220002222222200001expln 1exptan1 (/)expexp2()1 (/)21 (/)zziizkrrikrqzzzz 2222200220022200211200200( )11( )11( )tantanzzzzzR zzzzzzzzzz 将上述参数带入到

6、光场的表达式，将上述参数带入到光场的表达式，整理可以得到整理可以得到光场的表达式：光场的表达式：200020222002( , , )( , , )exp( )( )2 ( )1exp( )( )( )2 ( )expexp( )( )( )2 ( )ikzE x y zx y z ekrEi kzzizq zikEi kzzrzzR zrkrEi kzzzzR z2222200220022200211200200( )11( )11( )tantanzzzzzR zzzzzzzzzz 22002(,)expexp( )( )( )2( )Ex y zrkrEikzzzzR z该式所表示的是该

7、式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖关系其横向依赖关系只包含只包含r，而与方位角无关，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。高阶高斯光束解。上面最后一个表达式中的两项，上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项前一项是振幅项，后一项是相位项。为什么是这个解？还有其他解吗？为什么是这个解？还有其他解吗？221( ; ,)exp22xf x Johann Carl Friedrich Gauss (17771855) 2002exp( )( )rEEzz200

8、2exp( )( )rEEzz( )rz由由 的的定义定义可以得到：可以得到：即即光束半径随光束半径随传输距离的变化规律为传输距离的变化规律为双曲线双曲线，在，在z=0z=0时有时有最小值最小值 ，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。( ) z222200( )1zzz022002( , , )expexp( )( )( )2 ( )E x y zrkrEi kzzzzR z相位移22120( , , )( )tan2 ( )2 ( )krrzx y zkzzk zR zR z总相位移 22120( , , )( )tan2 ( )2 ( )krrzx y z

9、kzzk zR zR z22;2xykzkzRR ( )R z z ( )R zz 0zz 0( )2R zz0zz 0( )2z200/z f2022( )exprI rI202( )exprA rA22002200( )221 exp( )2I rrdrdPTPI rrdrd z 00( )limzzzz22222002200200( )11zzzzz 00( )limzzzz022222211zrrrr22222222(1)02222(1)0dxdxxxdxdxdydxxyrdydy022( , , )ikzxyEx y z e22mnxxHyyH( , , )x y z0,022222

10、( , , )22( )( )( )()exp(1) ( )( )2 ( )ml mnxyEx y zEHHzzzxyk xyikzmnzzR z012233( )1( )2( )42( )812HxH xxHxxHxxxTEM0TEM1TEM2厄米Hm(x)222xyFeHm(x)FIH2m(x)F222110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk20exp( )2 ( )kEi p zrq z2exp(1)2 ( )kriq z200qi 211(2)( )( )( )iq zR zz222exp( )2 ( )rkrizR z22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk202020222000cossinsincoskkkzzkkkABCDkkkzzkkk00( )AqBq zCqD22110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 2222200220