第三章运动的守恒定律.pdf

1、 3-1 3-1 保守力保守力 势能势能 bLazyxbLabLadzFdyFdxFrdFdsFA)()()()(cos 由功的定义可知，一般来说，作功与路径有关。由功的定义可知，一般来说，作功与路径有关。但有的力做功与路径无关，根据力做功的这种不但有的力做功与路径无关，根据力做功的这种不同性质，可将力分为同性质，可将力分为保守力和非保守力保守力和非保守力一、保守力一、保守力1. 1. 万有引力的功万有引力的功rMmFl d drrrMmGF3 21rrl dFA引 213rrl drrMmG 21cos2rrdlrMmG 212rrdrrMmG 12rMmGrMmG引引A所以所以2. 2.

2、重力的功重力的功xoy1y2yrd GmgmG 21yyrdGA重 21yyrdgm 21cosyydrmg 21yymgdy)(12mgymgyA 重重所以所以3. 3. 弹性力的功弹性力的功xoFikxF 21222121kxkxA弹弹所以所以21xxidxFA弹 21xxidxikx 3 3、把保守力存在的空间称之为、把保守力存在的空间称之为保守力场保守力场；保守力；保守力和非保守力属于系统（质点组）的内力和非保守力属于系统（质点组）的内力. . 根据做功的特点我们可以把保守力与非保守力根据做功的特点我们可以把保守力与非保守力定义为：定义为： 1 1、若某种力做功仅与起末位置有关而与路径

3、无关，、若某种力做功仅与起末位置有关而与路径无关，则这种力称之为则这种力称之为保守力保守力； 2 2、若某种力做功不仅与起末位置有关而且还与路、若某种力做功不仅与起末位置有关而且还与路径有关，则这种力称之为径有关，则这种力称之为非保守力非保守力，如摩擦力、爆，如摩擦力、爆炸力等炸力等说明说明 对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为dddACBBDALWFrFrFrddBDAADBFrFr ddd0AC BAD BLWFrFrFr显然，物体沿闭合路径运动一显然，物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零，符合周时，保守力做功为零，符合这种性质的力即为保守力这种性质的力即为保守力AAd0LWFr

4、AAmBL1L2FCD 势能：势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。它是一种潜在的能量，不同于动能。几种常见的势能：几种常见的势能：重力势能重力势能mghEp弹性势能弹性势能221kxEp万有引力势能万有引力势能rMmGEp0二、势能二、势能保守力的功保守力的功ppbpacEEEA成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。增量的负值）。xE p0rE p保守力保守力重重 力力弹弹 力力引引 力力势能（势能（E E p p ）势能零点势能零点势能曲线势能曲线mgh212kx

5、mMGrh = 0 x = 0r = hE p00势能曲线对照表势能曲线对照表( (势能随位置变化的曲线势能曲线)势能是状态的函数。势能是状态的函数。在保守力作用下，保守力所作的功与在保守力作用下，保守力所作的功与路径是无关的。所以，势能是坐标的函数，亦即是状态的函路径是无关的。所以，势能是坐标的函数，亦即是状态的函数。数。( , , )PPEEx y z势能的量值仅有相对意义。势能的量值仅有相对意义。必须指出零势能参考点。两必须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。函数。只有当我们选定某一位置为系统的势能

6、零点时，其只有当我们选定某一位置为系统的势能零点时，其他系统的势能才有确定的量值。势能零点的选取是任意的。他系统的势能才有确定的量值。势能零点的选取是任意的。通常，选地面为重力势能零点；无穷远处为引力势能零点；通常，选地面为重力势能零点；无穷远处为引力势能零点；平衡位置为弹簧势能零点。须加以说明。平衡位置为弹簧势能零点。须加以说明。说明：说明： 势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不应将不应将其看作属于某一物体的。其看作属于某一物体的。重力势能物体和地球组成的重力系统；重力势能物体和地球组成的重力系统；弹簧势能物体和弹簧组成的弹性系统。弹簧势能物

7、体和弹簧组成的弹性系统。系统具有势能的条件系统具有势能的条件是物体之间的相互作用力必须是保是物体之间的相互作用力必须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有任何意义。守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有任何意义。如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。3-2 3-2 功能原理功能原理一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理)()(2121kakakbkbEEEEAA内外kakbEE 系统内的质点所受的系统内的质点所受的力力，既有来自系统外的，既有来自系统外的外外力力，也有来自系，也有来自系统内各质点间相互作用的统内各质点间相互作用的内力内力。 作

8、用于质点系的力所作的功，作用于质点系的力所作的功，应是一切外力（系统外力）对质点系所作的功与质点系内一切应是一切外力（系统外力）对质点系所作的功与质点系内一切内力（系统内力）所作的功之和。内力（系统内力）所作的功之和。所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。于质点系总动能的增量。质点系的动能定理：质点系的动能定理：注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量011nnexinkikiiiWWEEexAinA 因为系统内保守力作的功等于势能增量的负值，所以，因

9、为系统内保守力作的功等于势能增量的负值，所以，质点系内各内力的保守力所作的功应为：质点系内各内力的保守力所作的功应为：二、质点系的功能原理二、质点系的功能原理 将系统内力分成保守力与非保守力，其对质点系作功将系统内力分成保守力与非保守力，其对质点系作功分成保守内力作的功和非保守内力作的功。分成保守内力作的功和非保守内力作的功。即：即：质点系内各非保质点系内各非保守内力作功之和守内力作功之和质点系内一切质点系内一切内力所作的功内力所作的功质点系内各保守质点系内各保守内力作功之和内力作功之和ininincn cWWWinAincAinncA011()CnninP iP iiiWEE incA质点系

10、的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和。质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和。这就是质点系的这就是质点系的功能原理功能原理质点系的初机械能质点系的初机械能质点系的末机械能质点系的末机械能11nnkiPiiiEEE00011nnkiPiiiEEE定义：定义： 机械能机械能E E：系统中各物体的动能与势能之总和。：系统中各物体的动能与势能之总和。001111()()ncnnnnexinkiPikiPiiiiiWWEEEE质点系的动能定理：质点系的动能定理：exAinncA则：则：0ncexinWWEEE exAinncA011nne xink ik iiiWWEEexAinA在解决

11、具体问题时，可以使用动能定理，也可以使用功在解决具体问题时，可以使用动能定理，也可以使用功能原理。能原理。注意：注意： 各质点所受外力作功之和，不是合外力作功；各质点所受外力作功之和，不是合外力作功； 同理，同理， 同上。同上。exAinncA当当 ，0exWAexA0inncWEEE AinncA其机械能增加。其机械能增加。其机械能减少；其机械能减少；0,0inncWEAinncA0,0inncWEAinncA 当当 ，0exWEEE 0ncinW inncAexA0,0exWE即外力作功之和为负，其机械能减少；即外力作功之和为负，其机械能减少；0,0exWE即外力作功之和为正，其机械能增加

12、。即外力作功之和为正，其机械能增加。exAexA三、三、机械能守恒定律机械能守恒定律若外力和非保守性内力都不作功，即若外力和非保守性内力都不作功，即001111nnnnkiPikiPiiiiiEEEE当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的总机械能是守恒的总机械能是守恒的机械能守恒定律机械能守恒定律在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变则有：则有：00EEE0inncW0exWexAinncA上式可改写为：上式可改写为：001111()nnnnkikiPiPiiiiiEEE

13、E 即：kpEE 在牛顿运动定律的基础上，研究力的空间积累作用与受在牛顿运动定律的基础上，研究力的空间积累作用与受力质点运动状态变化之后，建立的功和能的概念。各概力质点运动状态变化之后，建立的功和能的概念。各概念定理之间的联系如下图所示：念定理之间的联系如下图所示：四、四、功与能的关系功与能的关系牛顿第二定律牛顿第二定律d PFd t保守力作功特点保守力作功特点0lFdr质点质点质点系质点系结构框图结构框图011exinnnkikiiiWWEEexAinA机械能守恒定律机械能守恒定律0EE=常量常量0e xWexA0inncWinncA机械能机械能kPEEE功能原理功能原理0ncexinWWE

14、EexAinncA动能动能abkbkaWEE动能定理动能定理212kEmvabA功的定义：功的定义：babaWF drabA势能势能(0)PaaEF dr()abPbPaWEEabA质点系质点系选系统，看运动。选系统，看运动。 分析系统内各物体受力情况：分清内力、外力；保守力、非分析系统内各物体受力情况：分清内力、外力；保守力、非保守力。由功的定义，定性判断各力是否作功及作功的正负等。保守力。由功的定义，定性判断各力是否作功及作功的正负等。五、利用功能原理解题步骤五、利用功能原理解题步骤查受力，分析功。查受力，分析功。 依题意，选择合适的系统关键第一步。要求能将已知条件依题意，选择合适的系统关

15、键第一步。要求能将已知条件和所求量相联系起来。和所求量相联系起来。 较复杂问题须将此步与下一步骤结合考虑。若涉及势能，所较复杂问题须将此步与下一步骤结合考虑。若涉及势能，所选系统应包括有保守力作用的物体系。选系统应包括有保守力作用的物体系。 确定后，应定性分析系统内各物体的运动状态。确定后，应定性分析系统内各物体的运动状态。例题例题 3-6 用一弹簧将质量分别为用一弹簧将质量分别为m1和和m2的上下两水的上下两水平木板连接如图所示，下板放在地面上。（平木板连接如图所示，下板放在地面上。（1）如以）如以上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的

16、零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。（能。（2）对上板加多大的向下压力）对上板加多大的向下压力 F ，才能因突然，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？x0 xOxFx1x2解（解（1）参看图）参看图(a)，取上板的平衡位置为，取上板的平衡位置为x 轴的原点，轴的原点，并设弹簧为原长时上板处在并设弹簧为原长时上板处在x0位置。系统的弹性势位置。系统的弹性势能能x0 xOxFx1x20220202121)(21kxxkxkxxxkEpe gxmEpg1 系统的重力势能系统的重力势能所以总势能为所

17、以总势能为gxmxkxkxEEEpgpep10221 考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得kx0=m1g，代，代入上式得入上式得221kxEp 注意：选上板在弹簧上静止的平衡位置为原点注意：选上板在弹簧上静止的平衡位置为原点和总势能零点。和总势能零点。末态末态初态初态（2）参看图）参看图(b)，以加力，以加力F 时为初态，撤去力时为初态，撤去力F 而而弹簧伸长最大时为末态，则弹簧伸长最大时为末态，则x0 xOxFx1x22111210kxEEpk2222210kxEEpk22212121kxkx 根据能量守恒定律，应有根据能量守恒定律，应有因恰好提起因恰好提起m2时

18、，时，k(x2-x0)=m2g，而，而kx1=F, kx0=m1g gmmF21 这就是说这就是说F （m1+m2)g时，下板就能被拉起时，下板就能被拉起 。代入解得代入解得机械能守恒定律的条件的机械能守恒定律的条件的讨论讨论例：例：在一光滑的水平桌面上，有一个质量为在一光滑的水平桌面上，有一个质量为mm的静止物体，用一个恒力先的静止物体，用一个恒力先推它，运动了距离，在这段时间里，物体做匀加速运动，速度从零增加推它，运动了距离，在这段时间里，物体做匀加速运动，速度从零增加到到 v v，然后再用同样的力拉物体，物体将做匀减速运动，当运动了距离，然后再用同样的力拉物体，物体将做匀减速运动，当运动

19、了距离后，它一定停下来，在这个过程中，外力作的总功为：后，它一定停下来，在这个过程中，外力作的总功为： （）但机械能并不守恒！可见，）但机械能并不守恒！可见，“非保守内力和一切外力所作非保守内力和一切外力所作的总功为零的总功为零”并不能保证系统的机械能守恒！并不能保证系统的机械能守恒！ 右图：力右图：力 f f 作正功，作正功，f f 作负功，总和为作负功，总和为零，机械能守恒。零，机械能守恒。1 1、孤立系统、孤立系统一个不受外界作用的系统叫作孤立系统。对于孤立系统，外界一个不受外界作用的系统叫作孤立系统。对于孤立系统，外界的功一定是零。的功一定是零。2 2、能量守恒定律、能量守恒定律 实验

20、证明，实验证明，一个一个孤立系统孤立系统，历经任何变化过程，该系统的所，历经任何变化过程，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另一种有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另一种形式，或从一个物体传给另一个物体形式，或从一个物体传给另一个物体。能量守恒定律能量守恒定律“守恒守恒”：指在一个过程中始终不变。：指在一个过程中始终不变。“相等相等”：指两个特定状态之间的关系。：指两个特定状态之间的关系。能量守恒能量守恒3 3、能量守恒定律的意义及其重要性、能量守恒定律的意义及其重要性（1 1）因为能量是各种运动的一般量度，所以能量守恒定律）因为能量是各种运动的一般量度，所以

21、能量守恒定律所阐明的实质就是所阐明的实质就是各种物质运动可以相互转化各种物质运动可以相互转化，但是，就物，但是，就物质或运动本身来说，却既不能创造，也不会消灭的。质或运动本身来说，却既不能创造，也不会消灭的。（2 2）能量守恒定律是）能量守恒定律是自然界中具有最大普遍性的定律自然界中具有最大普遍性的定律之一，之一，适用于任何变化过程，包括机械的、热的、电磁的、原子核适用于任何变化过程，包括机械的、热的、电磁的、原子核的、化学的及生物的等等。的、化学的及生物的等等。 （3 3）自然界一切已经实现的过程无一例外地遵守着这一定律，）自然界一切已经实现的过程无一例外地遵守着这一定律，如果发现有所违反，

22、那常常是因为过程中孕含着还未被认如果发现有所违反，那常常是因为过程中孕含着还未被认识的新事物。于是人们就按守恒定律要求去寻找和发现新识的新事物。于是人们就按守恒定律要求去寻找和发现新事物。例如：中微子的发现。事物。例如：中微子的发现。(20(20世纪初世纪初 衰变的研究中发衰变的研究中发现实验结果与能量守恒相违背，泡利提出中微子假说，现实验结果与能量守恒相违背，泡利提出中微子假说，2020年后，科学终于证实了中微子的存在）。年后，科学终于证实了中微子的存在）。（4 4）凡违背守恒定律的过程不可能实现，由此可以判断哪些）凡违背守恒定律的过程不可能实现，由此可以判断哪些过程是不可能发生的，例如：过

23、程是不可能发生的，例如：“永动机。永动机。”所谓质心即质点系的质量中心，所谓质心即质点系的质量中心，NN个质点的系统个质点的系统（质点系）的质心位置（质点系）的质心位置一、一、 质心位置的确定质心位置的确定nimmmm,21 nirrrr,21 crmrmmrmNiiiNiiNiii111xyzmiOm2m1ir1rCr3-4 3-4 质心质心mmrmmrrNiiiNc dlim1 mmxxcdmmyycdmmzzcd质量连续分布的系统的质心位置质量连续分布的系统的质心位置说明说明: 1）不太大物体不太大物体 质心与重心重合质心与重心重合 2）均匀分布的物体均匀分布的物体 质心在几何中心质心在

24、几何中心 3）质心是位置的加权平均值质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量质心处不一定有质量 4）质心和重心是两个不同的概念，不能混为一谈质心和重心是两个不同的概念，不能混为一谈. 质心：质心： 是物体运动中由其质量分布决定的一个特殊是物体运动中由其质量分布决定的一个特殊的点。的点。重心：重心：是地球对物体各部分引力的合力（即是地球对物体各部分引力的合力（即重力）的作用点。重力）的作用点。例例 已知一半圆环半径为已知一半圆环半径为 R，质量为，质量为M，求它的质，求它的质心位置。心位置。解解建坐标系如图建坐标系如图ddRl ddRRMm sin cosRyRx0cx2dsind0RMRRM

25、RMmyyc 几何对称性几何对称性yxO mdd 取取 dllmdd 二、质心运动定理二、质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心的速度质心的速度mvmmdtrdmiiii mPicivmPPmdmrriic dtrdcc vcmPv 质点系的总动量质点系的总动量质心的加速度和动力学规律质心的加速度和动力学规律taccddv2)2)质心运动状态取决系统所受外力，内力不能质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产生加速度使质心产生加速度1) 1) 质心运动是一个质点的运动，该质点集中整质心运动是一个质点的运动，该质点集中整个系统质量，并集中系统受的外力个系统质量，并集中系统受的外力（质心运动

26、定理质心运动定理）说明说明tPFddccamtmddv0iF时时常矢量常矢量 ciivMvm如果系统所受到的外力之和为零，则系统的总动如果系统所受到的外力之和为零，则系统的总动量保持不变。这个结论叫做量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。动量守恒定律。不难看出：不难看出：质心保持匀速直线运动状态质心保持匀速直线运动状态系统的动量不变系统的动量不变1.如果系统内所受的外力满足条件如果系统内所受的外力满足条件0iF2.或在极短促的时间内，系统所受的外力远比或在极短促的时间内，系统所受的外力远比系统内相互作用的内力为小（如碰撞过程）而系统内相互作用的内力为小（如碰撞过程）而可以忽略不计时，就可以应用

27、动量守恒定律来可以忽略不计时，就可以应用动量守恒定律来处理问题。处理问题。例题例题3-8 如图所示如图所示,设炮车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为和炮弹的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度为，炮弹的出口速度为v，求，求炮车的反冲速度炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。炮车与地面间的摩擦力不计。解解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力直方向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 ，而，而且且 ，在发射过程中，在发射过程中 并不成立并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为（

28、想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。零，所以这一系统的总动量不守恒。NGNGNG vmMVvu它的水平分量为它的水平分量为Vvux cos于是，炮弹在水平方向的动量为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos m(vcos -V)-V)，而，而炮车在水平方向的动量为炮车在水平方向的动量为-MV-MV。根据动量守恒定理。根据动量守恒定理有有经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度度 ，按速度变换定理为，按速度变换定理为u cosvMmmV 由此得炮车的反冲速度为由此得炮车的反冲速度为 0cos VvmMV 3-63

29、-6质点角动量和角动量守恒定律质点角动量和角动量守恒定律r pdprL vmr sinprL pd 的右手螺旋前进方向的右手螺旋前进方向pr描述转动状态的物理量描述转动状态的物理量moprP PLkgkgmm2 2/s /s 量纲：量纲：MLML2 2T T-1 -1一、质点的角动量一、质点的角动量a)a) 必须指明是对谁的角动量必须指明是对谁的角动量；b)b)作圆周运动的质点的角动量作圆周运动的质点的角动量L Lrmv;rmv; c) c)角动量是描述转动状态的物理量角动量是描述转动状态的物理量；d)d)质点的角动量又称为质点的角动量又称为动量矩动量矩。注意：注意：ormp LLorpm例例

30、根据玻尔假设根据玻尔假设,氢原子内电子绕核运动的角动量只氢原子内电子绕核运动的角动量只能是能是 的整数倍的整数倍,其中其中h是普朗克常数。已知电子是普朗克常数。已知电子圆形轨道的最小半径为圆形轨道的最小半径为 ，求此轨道上，求此轨道上电子运动的频率电子运动的频率 。 2/hm10529. 010 r 解：解：由于是最小半径，所以有由于是最小半径，所以有224mrh 于是于是21031234)10529. 0(101 . 941063. 6 Hz1059. 615 rrm2 mr22 2/h rmL )(prdtddtLd dtpdr Fr dtpdrpdtrd 定义式定义式FrM 力矩力矩F1

31、. 1.质点的角动量定理质点的角动量定理二、力矩和角动量定理二、力矩和角动量定理 MdtLd r0Fd sinrF Fd FrM 的右手螺旋前进方向的右手螺旋前进方向Fr质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率（变化率（力矩和角动量都是对惯性系中同一固力矩和角动量都是对惯性系中同一固定点定点）角动量定理角动量定理微分形式微分形式质点（转动物体）所受合外力矩的冲量矩等于质点（转动物体）所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量角动量定理的另一种表述：角动量定理的另一种表述：将式中将式中 d

32、tMdtLdM LddtM 变形为变形为 称为外力矩的冲量矩称为外力矩的冲量矩 ( (角冲量）角冲量）积分积分：000LLLddtMLLtt 角动量定理角动量定理积分形式积分形式 ttdtM0合力矩在合力矩在t0到到t时间内的冲量矩。时间内的冲量矩。注意：注意：(1)(1)这也是自然界普遍适用的一条基本规律。这也是自然界普遍适用的一条基本规律。(2) (2) 0 0，可以是可以是r=0,r=0,也可以是也可以是 =0, =0, 也可以也可以是两者的方向在同一条直线上是两者的方向在同一条直线上 MF例：例：一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l l 质量为质量为 m m ，在摩擦系数为，在摩擦系数

33、为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 MM阻。阻。解：解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，力矩大，mlodmdxxx细杆的质量密度细杆的质量密度lm质元质量质元质量dxdm质元受阻力矩：质元受阻力矩：dmgxdM阻细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩lm阻阻dMM221glmgl21lgxdx0-角动量守恒定律角动量守恒定律当当 时，则时，则0外M0 dtLdL=常矢量常矢量质点质点( (系系) )所受外力对