2013年高考江苏数学试题及答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题 - 第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁，不要折

2、叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1）【2014年江苏，1，5分】函数的最小正周期为_【答案】【解析】函数的最小正周期（2）【2014年江苏，2，5分】设(为虚数单位)，则复数的模为_【答案】5【解析】（3）【2014年江苏，3，5分】双曲线的两条渐近线的方程为_【答案】【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为（4）【2014年江苏，4，5分】集合共有 _个子集【答案】8【解析】由于集合有3个元素，故其子集个数为（5）【2014年江苏，5，5分】右图是一个算法的流程图，则输出的的值是_【

3、答案】3【解析】第一次循环后：；第二次循环后：；由于，跳出循环，输出（6）【2014年江苏，6，5分】抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 【答案】2【解析】由题中数据可得， ，由，可知乙运动员成绩稳定故应填2（7）【2014年江苏，7，5分】现有某类病毒记作，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为_【答案】【解析】由题意知的可能取值为1，2，3，7；的可能取值为1，2，3，9由于是任取m，n：若时，可取1，2，3，9，共9种情况

4、；同理m取2，3，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有种若m，n都取奇数，则m的取值为1，3，5，7，n的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5=20种故所求概率为（8）【2014年江苏，8，5分】如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则_【答案】【解析】由题意可知点到面的距离与点到面的距离之比为，因此（9）【2014年江苏，9，5分】抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界)若点是区域内的任意一点，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知抛物线在处的切线方程为该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：

5、当直线平移到过点时，取得最大值当直线平移到过点时，取得最小值因此所求的的取值范围为（10）【2014年江苏，10，5分】设分别是的边上的点，若(为实数)，则的值为_【答案】【解析】由题意作图如图在中，故（11）【2014年江苏，11，5分】已知是定义在上的奇函数当时，则不等式的解集用区间表示为_【答案】【解析】函数为奇函数，且时，则原不等式等价于或，由此可解得或（12）【2014年江苏，12，5分】在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为若，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】设椭圆的半焦距为，由题意可设直线的方程为，即于是可知

6、，即（13）【2014年江苏，13，5分】平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为_【答案】，【解析】设点的坐标为，则令，则结合题意可知(1)当，时，取得最小值此时，解得，(舍去)(2)当，时，取得最小值此时，解得，(舍去)故满足条件的实数的所有值为，（14）【2014年江苏，14，5分】在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为_【答案】12【解析】设正项等比数列的公比为，则由可得，于是，则， 当取12时，成立；当取13时， 当时，随着增大将恒小于因此所求的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应

7、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）【2014年江苏，15，14分】已知， （1）若，求证：； （2）设，若，求，的值解：（1）解法一：由，得：，即又，所以，故解法二：，由，得：，即：，化简，得：，所以（2），可得：解法一：由（1）得：，又，故代入（2），得：，又，所以解法二：，得：，又，故有：，代入（1）式：，化简，得：从而解法三：两式和差化积，得：，可得：，又，所以代入（4）式，可得：，又，以上联立，解得：（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥中，平面平面，过作，垂足为，点，分别是侧棱，的中点求证： （1）平面平面； （2）解：（1）因为，于，所以是的中点又是的中

8、点，所以 因为平面，平面，所以平面同理可证平面又，所以平面平面（2）因为平面平面于，又平面，所以平面 因为平面，所以又因为，平面，所以平面又因为平面，所以（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为1，圆心在上 （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围解：（1）由题设，圆心是直线和的交点，解得点，于是切线的斜率必存在设过的圆的切线方程为，由题意，解得或，故所求切线方程为或（2）因为圆心在直线上，所以圆的方程为设点，因为，所以，化简得，即，所以点在以为圆心，2为半径的圆上由题意，点在圆上，所

9、以圆与圆有公共点，则，即由，得；由，得所以点的横坐标的取值范围为（18）【2014年江苏，18，16分】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量， （1）求索道的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：（1）在中，因

10、为，所以，从而由正弦定理，得所以索道的长为（2）假设乙出发min后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，因，即，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理，得乙从出发时，甲已走了(m)，还需走才能到达设乙步行的速度为m/min，由题意得，解得，所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内（19）【2014年江苏，19，16分】设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和记，其中为实数 （1）若，且，成等比数列，证明：； （2）若是等差数列，证明：解：由题设，（1）由，得又因为成等比数列，所以，即，化简得因为

11、，所以因此，对于所有的，有从而对于所有的，有（2）设数列的公差是，则，即，代入的表达式，整理得，对于所有的，有令，则对于所有的，有(*)在(*)式中分别取，得，从而有，由，得，代入方程，得，从而即，=0，若d1=0，则由，得，与题设矛盾，所以又因为，所以（20）【2014年江苏，20，16分】设函数，其中为实数 （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围； （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论解：（1）令f(x)=，考虑到的定义域为，故，进而解得，即 在上是单调减函数同理，在上是单调增函数由于在上是单调减函数，故，从而，即令，得当时，；当时，又在上有最小值，所以，即

12、综上，有（2）当时，必为单调增函数；当时，令，解得，即因为在上是单调增函数，类似（1）有，即结合上述两种情况，有当时，由以及，得存在唯一的零点；当时，由于，且函数在上的图象不间断，所以在上存在零点另外，当时，故在上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点当时，令，解得当时，当时，所以，是的最大值点，且最大值为当，即时，有一个零点当，即时，有两个零点实际上，对于，由于，且函数在上的图象不间断，所以在上存在零点另外，当时， ，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点下面考虑在上的情况先证为此，我们要证明：当时，设，则，再设，则当时，所以在上是单调增函数故当时，从而在上是单调增函数，进而当时，即当时，

13、当，即时，又，且函数在上的图象不间断，所以在上存在零点又当时，故在(a-1，+)上是单调减函数，所以f(x)在(a-1，+)上只有一个零点综合，当或时，的零点个数为1，当时，的零点个数为2注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共2页，均为非选择题（第21题第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题

14、卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。数学【选做】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A）【2014年江苏，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，和分别与圆相切于点经过圆心，且求证：解：连结因为和分别与圆O相切于点D，C，所以又因为，所以所以又，故（21-B）【2014年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，求矩阵解：设矩阵的逆矩阵为，则=，即=，故，从而的逆矩阵为，所以=（21-C

15、）【2014年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）试求直线和曲线的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线的参数方程为 (为参数)，由得，代入，得到直线l的普通方程为同理得到曲线的普通方程为联立,解得公共点的坐标为，（21-D）【2014年江苏，21-D，10分】（选修4-4：不等式选讲）已知，求证：解：因为，所以，从而，即【必做】第22、23题，每小题10分，计20分请把答案写在答题卡的指定区域内（22）【2014年江苏，22，10分】如图，在直三棱柱中，点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为（2）设平面的法向量为，因为，所以， ，即且，取，得，所以，是平面的一个法向量取平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角的大小为由，得因此，