机械动力学总

1、机械动力学杨恩霞杨恩霞 庞永刚庞永刚哈尔滨工程大学机电学院哈尔滨工程大学机电学院1机械动力学机械动力学（Mechanical DynamicsMechanical Dynamics ）. . 教材和参考书教材和参考书 1 1机械动力学机械动力学. . 张策张策. . 高等教育出版社高等教育出版社, 2008, 2008 2 2机械动力学机械动力学. . 唐锡宽唐锡宽. . 高等教育出版社高等教育出版社,1983,1983 3 3机械动力学分析机械动力学分析. . 将伟将伟. . 中国传媒大学出版社中国传媒大学出版社, , 2005 20052先修知识：先修知识：线性代数、理论力学、机械原理线性

2、代数、理论力学、机械原理相关知识：相关知识：分析力学、机械振动、数值分析分析力学、机械振动、数值分析相关工具：相关工具：ADAMS、ANSYS、MATLAB、 MATHEMATIC等。等。32.课程内容课程内容绪论绪论平面机构单自由度动力学分析：动态静力分析法，平面机构单自由度动力学分析：动态静力分析法，等效力学模型法，动力学普遍方程。等效力学模型法，动力学普遍方程。第二类拉格朗日方程应用于双自由度和多自由度第二类拉格朗日方程应用于双自由度和多自由度问题。问题。机械效率法、逐次逼近法进行动力学分析。机械效率法、逐次逼近法进行动力学分析。变形单元杆动力学分析。变形单元杆动力学分析。系统弹性运动分

3、析系统弹性运动分析 4绪绪 论论一、机械动力学课程性质一、机械动力学课程性质1.1.机械：机械：2.2.动力学：动力学： 动力学正问题动力学正问题 动力学反问题动力学反问题机械动力学：机械动力学：Fma已知力（力矩）求运动已知力（力矩）求运动已知运动求力（力矩）已知运动求力（力矩）机构、机器的总称。机构、机器的总称。研究刚体运动及受力关系的学科研究刚体运动及受力关系的学科是研究机械在力作用下的运动、或是研究机械在力作用下的运动、或机械在运动中产生的力（力矩）的科学机械在运动中产生的力（力矩）的科学5例：例：1 1、机构组成及性质：有无曲柄、急回特性、机构组成及性质：有无曲柄、急回特性2 2、若

4、已知力（力矩），当机构处于平衡状态时，、若已知力（力矩），当机构处于平衡状态时， 求未知力（力矩）求未知力（力矩）3 3、若已知、若已知M M、F F，求求 、v v 时时机构学。机构学。机械静力学问题。机械静力学问题。机械动力学。机械动力学。6求下图支点的最佳位置求下图支点的最佳位置如果梁静止为静力学问题如果梁静止为静力学问题；如果梁有惯性运动为动力学问题。如果梁有惯性运动为动力学问题。7二、机械动力学研究内容二、机械动力学研究内容 1. 1. 描述机械有那些基本参数描述机械有那些基本参数 1 1）结构参数：）结构参数： 2 2）运动参数：）运动参数： 3 3）力的参数：）力的参数：几何参数

5、（杆长）几何参数（杆长）物理参数（质量物理参数（质量m m，转动惯量，转动惯量J J）转角转角、s、v、a力矩力矩M M、力、力F F8 2. 2. 研究内容研究内容 1 1）已知机械的物理参数、几何参数）已知机械的物理参数、几何参数 a a、已知运动求受力已知运动求受力 可表示为：可表示为： b b、已知受力求运动规律已知受力求运动规律 可表示为：可表示为： 2 2）已知运动、受力求结构）已知运动、受力求结构 这是机械设计的研究问题，一般实际做法是先设计后这是机械设计的研究问题，一般实际做法是先设计后校核，少数情况是直接求设计参数。校核，少数情况是直接求设计参数。 例：例：),(),(avJ

6、lgMFf动力学分析问题动力学分析问题),(),(MFmlfav动力学综合问题动力学综合问题93 3）具体章节内容）具体章节内容 单自由度动力学方程的建立单自由度动力学方程的建立 二自由度动力学方程的建立二自由度动力学方程的建立 多自由度动力学方程的建立多自由度动力学方程的建立 理想情况下（无摩擦、变形等）理想情况下（无摩擦、变形等） 考虑摩擦，如铰链、关节处摩擦考虑摩擦，如铰链、关节处摩擦 考虑弹性变形，如杆变形、并联柔性机器人考虑弹性变形，如杆变形、并联柔性机器人 变质量时的动力分析，如推土机工作过程、火箭发射过程变质量时的动力分析，如推土机工作过程、火箭发射过程 有间隙情况下动力学研究，

7、不详讲述有间隙情况下动力学研究，不详讲述10三、三、 研研究究对对象象- 以机械以机械为研为研究究对对象象典型机构典型机构连杆机构连杆机构凸轮机构凸轮机构齿轮机构（轮系）齿轮机构（轮系）组合机构组合机构11四、其四、其它问题它问题1.1.学习机械动力学目的、意义学习机械动力学目的、意义 学习动力学分析问题的思想和基本方法，能学习动力学分析问题的思想和基本方法，能够解决一般动力学问题。够解决一般动力学问题。2.2.考核方式考核方式 闭卷考试，闭卷考试， 2 2个小时个小时3 3、希望：、希望：12 1-1 1-1 利用利用动态静动态静力法力法进进行行动动力分析力分析 一、思路一、思路动静法：动静

8、法：第一章第一章 单自由度单自由度机械系统的动力学分析机械系统的动力学分析根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡 方程，来求解未知力（如原动件上施加的力、方程，来求解未知力（如原动件上施加的力、约束反力等）。约束反力等）。用静力平衡方程解决动力学问题用静力平衡方程解决动力学问题基本方程为：基本方程为： JMmaF13二、典型实例二、典型实例例例1 1：已知：已知： 求：角加速度求：角加速度解：利用动静法拆开机构解：利用动静法拆开机构 轮轮1 1：有反力：有反力R R，惯性力矩惯性力矩 ,M,M1 1 轮轮2 2：有反力：有反力R R，惯性力矩，惯性力矩 ,M,

9、M2 2则有方程：则有方程： 得得: :12!212,z zJ JM M111J22J1212121212(/)(/)MMzzJJzz结论：结论： 1 1、加惯性力（力矩）、加惯性力（力矩）核心核心2 2、约束反力、约束反力 纽带纽带3 3、一个构件列一个受力平衡方程、一个构件列一个受力平衡方程基础基础01111 JRrM02222 JMRr14例例2 2：已知从动件推程方程已知从动件推程方程: : 求：凸轮角加速度求：凸轮角加速度解：忽略摩擦时反力解：忽略摩擦时反力R R，沿法线方向，沿法线方向 凸轮：有反力凸轮：有反力R R ，惯性力矩，惯性力矩，M M1 1 推杆：有反力推杆：有反力R

10、R，惯性力矩，惯性力矩，F F2 2则有方程：则有方程： 得：得：1212,AShJmMF 111022sin()0cos0AMJRrSRFm S121212( / )( / )AMF hJm h00/vhtgrSrS结论：结论：例例1 1的角加速度是用传动比的角加速度是用传动比例例2 2的角加速度是用推杆位移方程的角加速度是用推杆位移方程15例例3 3：已知：已知： 求：求：建立运动方程建立运动方程解：解：设设杆杆1 1转角转角 杆杆3 3位移位移则有方程：则有方程：1331,(),AlJmMF驱111133 3sin00AMRlJRFm s2331111(cossin)RFm l 2222

11、131311131111sinsincossin0AMFlm lm lJ 1 3s16 1-2 1-2 利用等效力利用等效力学学模型法模型法进进行行动动力力学学分析分析 一、等效力学模型概念一、等效力学模型概念 1 1、思路、思路动能定理：动能定理： EW合外力所做功的增量合外力所做功的增量= =系统动能的增量系统动能的增量 质点：质点： )21(2mvddsF17222231122223 31111()2222AssMdFdsdJJm vm v1 12 2、实例：、实例：已知如图，构建动力学方程已知如图，构建动力学方程2222323211222111111() ()()() )2sAsvvv

12、MFdtdJJmm21112VVMdtdJ等效力矩等效力矩 Mv等效转动惯量等效转动惯量JvM2s3m等效力学模型等效力学模型18什么是等效力学模型法？什么是等效力学模型法？ 用作用在某个构件上的一个假想力（力用作用在某个构件上的一个假想力（力 矩）代替所有的外力（外力矩），使假矩）代替所有的外力（外力矩），使假 想力（力矩）所作的功或产生的功率等于想力（力矩）所作的功或产生的功率等于 所有被代替的力（力矩）所作的功或产生所有被代替的力（力矩）所作的功或产生 的功率之和。的功率之和。 将复杂系统变成简单力学模型（构建等效件）将复杂系统变成简单力学模型（构建等效件）19力矩与转速同力矩与转速同向

13、取正，反向向取正，反向取负取负1.1.等效力矩等效力矩2.2.等效转动惯量等效转动惯量3.3.等效质量等效质量4.4.等效力等效力以上可以看出，这些等效参数仅与传动比有关，而与真实以上可以看出，这些等效参数仅与传动比有关，而与真实 速度无关。速度无关。1(cos)niiViiiivMMF221()() )nsiiViisivJmJ221()() )nsiiVisiivmmJvv0()()cos)niiViiiivFMFvv为力与速为力与速度夹角度夹角二、等效参数二、等效参数1i201.1.瞬心法瞬心法2.2.解析法解析法3.3.特例特例 齿轮传动，凸轮传动等齿轮传动，凸轮传动等2421ABBP

14、ll1331APvl223121( )cos( sin )sflll求传动比方法：求传动比方法：21根据动能定理根据动能定理 有：有：1.1.微分形式微分形式2.2.积分形式积分形式WE 21()2VVM ddJ211222VVVdJdMJdtd 22vvvdJMJd 的函数的函数 的函数的函数212VVVdmFm ssds同理：002211( )22VVVoMdJJ022011( )22sVVosF s dsm vm v同理： 三、方程形式三、方程形式dJdMvv)21(222例例1 1. .已知已知求：角加速度求：角加速度解：解：以构件以构件1 1为等效件为等效件12!212,zzJ JM

15、M1222121211,()VVMMMJJJ21112VVVdJMJd选微分形式：2121VMMM2111121222()/()zzMMJJzz四、典型四、典型实实例例23例例2. 2. 已知从动件的推程方程已知从动件的推程方程 求：凸轮的角加速度求：凸轮的角加速度（略杆的重力）（略杆的重力）解：选凸轮为等效件解：选凸轮为等效件1212,AShJmMF 212()VVAvMMFvJJm21212212( / )( )( ) )( / )VVAAMF hhhMJMFJmJm hhShvS，24例例3.3.已知已知 求：求：建立系统运动方程建立系统运动方程（略（略mm2 2，mm2 2g g） 解

16、：选解：选1 1为等效件为等效件1331,(),AlJmMF驱313123131()()VVAvMMFvJJm33331cossinsinvSSlSll cossin)sin(sin23223131lmlmJlFMA 25例例4.4.已知：已知： ，略重力及质量略重力及质量求：求：1 1）启动力矩）启动力矩M M1 1最小值；最小值； 2 2）如启动）如启动3 3秒后秒后n n1 1=600rpm=600rpm，求，求M M1 1。解：解：1)1)选中心轮选中心轮1 1为等效件为等效件1324212320,40,0.18,0.38,0.22kgm15HHzzzzJJJJMN m11()HvHv

17、MMMJC241141 3113HHz ziiz z 1115/35N mHHMM iH1Hi26222212311()()()0.8kg mHVHJJJJJ11111115/321.76N m0.8HVVHMJMMMM1121600rpm20 rad/s20/3rad/sn若不忽略齿轮若不忽略齿轮2 2，3 3的质量？的质量？2 2）a.a.若匀速转动若匀速转动MM1 1 = =？ b b. . 若去掉若去掉M1，多长时间停车？多长时间停车？ H27五、运动方程的求解五、运动方程的求解 1. =1. =常数常数VJVM11/VVVVMJMJ或022011( )22VVMdJJVMVM22vv

18、vdJMJd( )( )VVVVddMJdtJdtM00()VVdttJM3 3） 为角速度的函数：为角速度的函数：1 1） 为常数（用微分形式）：为常数（用微分形式）：2 2） 为转角的函数：为转角的函数：282. 2. 不为常数不为常数VJ1 1） = =常数常数VM00220011( )()22VVVM dJJ 积分形式：02200011()( )()22VVVMJJ ( )( )ddfdtdtf2 2） ：利用积分方程：利用积分方程( )VVMM3 3） ：利用微分方程：利用微分方程( )VVMM2( )1( )2VVVdJMJd294 4） ：利用微分方程：利用微分方程( , )VV

19、MM 微分方程解析求解微分方程解析求解数值求解数值求解迭代法迭代法数值求解数值求解龙格龙格- -库塔库塔 （Runge-KuttaRunge-Kutta）法求解）法求解30例例1.1.已知：已知： 求：求：1 1）由静止启动）由静止启动5 5秒时蜗杆秒时蜗杆1 1的角速度；的角速度； 2 2）若）若 ，其它条件不变，其它条件不变， 求蜗杆求蜗杆1 1的角速度。的角速度。123421234142()40,20,30,9,12,8,9(kg m )15N m150 N mzzzzJJJJMM右旋 ，（驱） ，（阻）11152M解：解： 1 1）3 14141421515010N mVz zMMMz

20、 z22224123411()()()9.06kg mVJJJJJ311/1.10VVMJ555.5rad /st 2 2）分析分析41411102VMMMVJ 不VVVVJddMJdtddtJdtM101159.06ln(102 )|3.3356rad /s21 151t32例例2.2.已知：弹簧压缩产生的力矩已知：弹簧压缩产生的力矩 求：断电后角速度为求：断电后角速度为0 0时杆的转角时杆的转角,MabJ220011()22abdJJ利用积分形式得：利用积分形式得：2220111222abJJ0=020,ab33例例3.3.已知：从动件推程方程已知：从动件推程方程

21、 求：凸轮运动参数的变化规律求：凸轮运动参数的变化规律解：选凸轮为等效件解：选凸轮为等效件2212122,AShJmMF2121VvMMF222vSSkk212(2)VAJJmk2221212212(2) )(2 )22AMk FJmkmk1M2F1 134练习练习：已知：已知：13132()(),()AMFlJmm驱 ，阻 ，略求：运动方程求：运动方程分析：选分析：选1 1为等效件为等效件31313211223131321123131122111122231131311325111cos()()cos1,coscos2sin1() )4cos2cosVVAAVVVAvlMMFMFvlJJmJ

22、msdJlslMJdvlMFJmm l31313211223131321123131122111122231131311325111cos()()cos1,coscos2sin1() )4cos2cosVVAAVVVAvlMMFMFvlJJmJmsdJlslMJdvlMFJmm l31313211223131321123131122111122231131311325111cos()()cos1,coscos2sin1() )4cos2cosVVAAVVVAvlMMFMFvlJJmJmsdJlslMJdvlMFJmm l3131321122313132112313112211112223113

23、1311325111cos()()cos1,coscos2sin1() )4cos2cosVVAAVVVAvlMMFMFvlJJmJmsdJlslMJdvlMFJmm l35 1-3 1-3 利用拉格朗日法利用拉格朗日法进进行行动动力力学学分析分析 一、分析力学的基础知识一、分析力学的基础知识 1.1.分析力学分析力学牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学经典力学经典力学分析力学分析力学研究对象研究对象牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件经典力学经典力学分析力学分析力学系统系统研究对象研究对象理论基础理论基础牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件力平衡力平衡经典力学经典力学分析

24、力学分析力学系统系统动能定理动能定理研究对象研究对象理论基础理论基础区别区别牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件力平衡力平衡有约束力有约束力经典力学经典力学分析力学分析力学系统系统动能定理动能定理无约束力无约束力研究对象研究对象理论基础理论基础区别区别方法方法牛顿力学牛顿力学古典力学古典力学一个构件一个构件力平衡力平衡有约束力有约束力解析法解析法图解法图解法经典力学经典力学分析力学分析力学系统系统动能定理动能定理无约束力无约束力解析法解析法362.2.约束及分类、约束方程约束及分类、约束方程 约束：约束： 分类：分类：双面约束（刚杆的约束）双面约束（刚杆的约束）单面约束（绳子的约束

25、）单面约束（绳子的约束）完整约束（几何约束）完整约束（几何约束）非完整约束（运动约束）非完整约束（运动约束）稳定约束（定常约束）稳定约束（定常约束）非稳定约束（非定常约束）非稳定约束（非定常约束）对位置进行限制的约束对位置进行限制的约束- -对速度、加速度进行限制对速度、加速度进行限制对构件的位置或运动进行限制对构件的位置或运动进行限制根据约束对限制的不同情况：根据约束对限制的不同情况：- -不随时间变化而变化不随时间变化而变化- -随时间变化而变化随时间变化而变化- -用等式方程表示的约束用等式方程表示的约束- -用不等式方程表示的约束用不等式方程表示的约束u 约束方程：约束方程： 将约束条

26、件用数学形式表示出来的方程将约束条件用数学形式表示出来的方程373.3.约束反力约束反力 ： 主动力（载荷）：主动力（载荷）：4.4.虚位移：虚位移： 实位移：实位移：实位移实位移虚位移虚位移drr约束对构件的作用力约束对构件的作用力除约束反力以外的力除约束反力以外的力 在约束允许的条件下，可能发生的任一个微小位移在约束允许的条件下，可能发生的任一个微小位移真实发生的位移真实发生的位移实位移实位移虚位移虚位移真实发生的位移真实发生的位移不一定发生的位移不一定发生的位移实位移实位移虚位移虚位移真实发生的位移真实发生的位移不一定发生的位移不一定发生的位移与时间相关与时间相关与时间无关、与位置有关与

27、时间无关、与位置有关实位移实位移虚位移虚位移真实发生的位移真实发生的位移不一定发生的位移不一定发生的位移与时间相关与时间相关与时间无关、与位置有关与时间无关、与位置有关具有唯一性具有唯一性不具有唯一性不具有唯一性实位移实位移虚位移虚位移真实发生的位移真实发生的位移不一定发生的位移不一定发生的位移与时间相关与时间相关与时间无关、与位置有关与时间无关、与位置有关具有唯一性具有唯一性不具有唯一性不具有唯一性微分表示：微分表示：变分表示：变分表示：R385.5.理想约束：理想约束： 6.6.广义坐标广义坐标 ：10niiiRr这里的广义坐标是杆这里的广义坐标是杆1 1转角还是转角还是B B点直角坐标点

28、直角坐标, ,为什么？为什么？在任意虚位移上系统约束反力所作元功在任意虚位移上系统约束反力所作元功之和为零（略摩擦）之和为零（略摩擦） 用以确定机构位置的一组独立参数用以确定机构位置的一组独立参数q397.7.自由度：自由度：8.8.广义速度：广义坐标广义速度：广义坐标q q 对时间对时间t t 的一阶导数的一阶导数 12,.,nq qq12,.,nq qq广义坐标的独立变分数目广义坐标的独立变分数目自由度数自由度数在完整系统中，广义坐标数在完整系统中，广义坐标数= =独立变分数独立变分数= =自由度数自由度数40例：例：如图平面机械手如图平面机械手广义坐标：广义坐标：112233,qqqm

29、m点坐标：点坐标：112233coscoscosxlll112233sinsinsinyllliiiiirrrqtq偏导数中广义坐标是相偏导数中广义坐标是相互独立的，均为时间互独立的，均为时间t t的函数的函数)sinsinsin(333222111lllx333222111coscoscoslllyjqjq 419.9.广义加速度广义加速度 ：10.10.虚位移原理：虚位移原理：q 22211nniiiijkjkjkrrrrqq qtqqq 证明证明稳定理想约束系统处于平衡的充分必稳定理想约束系统处于平衡的充分必要条件是在任一给定虚位移上，主动要条件是在任一给定虚位移上，主动力所做元功之和为

30、零。力所做元功之和为零。jnjjiqqr 142虚位移原理的表达形式：虚位移原理的表达形式：0iiWFr形式形式1 1：形式形式2 2：形式形式3 3：广义坐标表达式广义坐标表达式01jNjjqQW0)(iiziiyiixzFyFxFjQ广义力广义力43例例1 1：已知如图，已知如图，1112112231122coscoscoscosssxlxllxll1111122211221233112212sin,0sin,sinsin,sinssxxlqqxxllqqxxllqq 广义力：广义力：111121111222222(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)ssQm glm glFl

31、Qm glFl1112112231122coscoscoscosssxlxllxll1112112231122coscoscoscosssxlxllxll1111122211221233112212sin,0sin,sinsin,sinssxxlqqxxllqqxxllqq 1111122211221233112212sin,0sin,sinsin,sinssxxlqqxxllqqxxllqq 111121111222222(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)ssQm glm glFlQm glFl1111122211221233112212sin,0sin,sinsin,sin

32、ssxxlqqxxllqqxxllqq 1111122211221233112212sin,0sin,sinsin,sinssxxlqqxxllqqxxllqq 1111122211221233112212sin,0sin,sinsin,sinssxxlqqxxllqqxxllqq 2cos求广义力。求广义力。,2121SSllll,21（垂直向下）Fgmgm解：解：2211,qq取44问题：如有力矩问题：如有力矩M M是否影响广义力？是否影响广义力？广义力应用的是虚位移广义力应用的是虚位移原理，所以有影响。原理，所以有影响。()0iiiiF rM45例例2 2：已知已知求：广义力求：广义力1

33、123410N m9N m20,40,20,80HMMzzzz，解解：自由度数：自由度数= =广义坐标数广义坐标数取取11q11niHiiHiiiQMMMqq11111/HHiHHHHitQMMMMMi Mqt241141 311 ()9HHz ziiz z 1110( 9)9N m9Q jQjq1q1QHi146例例3 3：解：解：设设A A点虚位移点虚位移BCBC杆虚位移杆虚位移cosBCaCECE杆位移杆位移cos(902 )cosCE2Ma tgF已知六杆机构中的力已知六杆机构中的力F F，求平，求平衡时的驱动力矩衡时的驱动力矩M M。虚位移原理应用虚位移原理应用用于解决静力学问题用于

34、解决静力学问题则：则：0EFM47例例4 4：已知已知求：平衡时，求：平衡时，112342N m20,40,20,80Mzzzz解解：分析：分析0iiQ q1124,qq111018N mHHHQMMM 24440=16N mHHQMMM4,?HMM取取因广义坐标为独立参数，不互相影响因广义坐标为独立参数，不互相影响轮轮4 4不动，轮不动，轮1 1有虚位移，得：有虚位移，得：轮轮1 1不动，轮不动，轮4 4有虚位移，得：有虚位移，得：1/98/948说明：说明：系统中所有外力在虚位移上做的虚功等于广义力系统中所有外力在虚位移上做的虚功等于广义力 在广义坐标的虚位移上做的虚功；在广义坐标的虚位移

35、上做的虚功；广义坐标是独立的，因此在求平衡问题时可广义坐标是独立的，因此在求平衡问题时可 以假设仅有一个虚位移，即系统此时为一个自以假设仅有一个虚位移，即系统此时为一个自 由度来求解。由度来求解。49惯性力为惯性力为 ，11.11.动力学普遍方程（第一类拉格朗日方程）：动力学普遍方程（第一类拉格朗日方程）：imiFiima1()0niiiiiFmar动力学普遍方程：具有理想约束的质点系运动时，动力学普遍方程：具有理想约束的质点系运动时， 在任一瞬时作用在质点系上的所在任一瞬时作用在质点系上的所 有有主动力和惯性力主动力和惯性力在在任意虚位移任意虚位移 上所做的上所做的元功之和等于零元功之和等于

36、零。若系统具有理想约束，并由若系统具有理想约束，并由n n个质点组成，个质点组成，任一质点为任一质点为 ，主动力为主动力为 ，根据虚位移原理在任一瞬时有：根据虚位移原理在任一瞬时有：0)(iixiixxamF0)(iiyiiyyamF0)(iiziizzamF50例：例：121,HHr r m mM用功率表示功用功率表示功111111212()()0HAHHHHMJJm rrrr 又又1212112111212111111,HHHHHzrriizrrrrrrr 212()3HAmrrJ211 112Jm r已知标准齿轮标准安装，系统在已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动，水平面内运动，求：

37、运动与受力关系求：运动与受力关系分析：分析：212113() ()32HHHMrrmmH 5112.12. 第二类拉格朗日方程：第二类拉格朗日方程：设理想、完整约束系统由设理想、完整约束系统由n n个质点组成，个质点组成，12(,.,)(1,2,., )iiNrr q qqin上式变分得上式变分得（变分运算如同微分运算，进行微分运算后，变分运算如同微分运算，进行微分运算后， 将微分符号改为变分符号将微分符号改为变分符号）1Niijjjrrqq矢径对时间求导矢径对时间求导1Niiiijjjrrrvqtq有有N N个自由度，个自由度，系统中任一质点的矢径可表示为：系统中任一质点的矢径可表示为：52

38、将上式对将上式对 求偏导有：求偏导有：iiijjjrvrqqqjq 将上式对将上式对t t求全导数：求全导数：()iiijjjrrvddtqqq将第一类拉氏方程打开，有：将第一类拉氏方程打开，有：11110,()nnnniiiiiiijjjiiijjrF rmarF rQqQFq惯性力所做元功之和：惯性力所做元功之和：11111nnNNniiiiiijiijiijjijjrrm arm aqm aqqq1Niiiijjjrrrvqtq53()()iiijiiiiiijjrd mvqrrdmamvqdtdtq和和带入有：带入有：2211()()()22()()iiiiiiijiiiiiijjjj

39、rd mvmvmvqrrddmamvqdtdtqdtqq引入系统动能：引入系统动能：2112niiiTmv得得54由于广义坐标的变分都是独立的，因此上式中必有：由于广义坐标的变分都是独立的，因此上式中必有：说明：说明：1 1、拉氏方程是一个由、拉氏方程是一个由N N个方程组成的二阶方程个方程组成的二阶方程 组，其特点是不含约束反力。组，其特点是不含约束反力。2 2、拉氏方程是以能量的角度研究问题，、拉氏方程是以能量的角度研究问题， 因此避免了加速度的分析。因此避免了加速度的分析。3 3、方程表明了动能变化和主动力之间的关系。、方程表明了动能变化和主动力之间的关系。拉氏方程：拉氏方程：55例例1

40、 1：已知标准齿轮标准安装，系已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动统在水平面内运动求：运动与受力关系求：运动与受力关系121,HHr r m mM分析：系统具有一个自由度分析：系统具有一个自由度又又HHQM212113() ()32HHHMrrmm二、利用拉式方程进行动力学分析二、利用拉式方程进行动力学分析取取HHq211212212121 JvmJTBHA22211222112)(21)(2121HHHArrrJrrmJB B56例例2.2.已知：已知： 求：用拉格朗日方程动力学求：用拉格朗日方程动力学方程方程1331,(),AlJmMF驱解：解：系统一个自由度，取系统一个自由度，取系统

41、动能：系统动能：22113 31122ATJm v33111(cos)/sinvsd ldtl 则则2231111sincosTm l 11q2112231sin21lmJTA57从虚功率角度求广义力从虚功率角度求广义力1 122.NQqQ q此机构的虚功率：此机构的虚功率：11331311(sin)NMF sMFl由拉氏方程：由拉氏方程：得得: :222213113111131(sin)sincossinAJm lm lMFl 也可由虚功来求也可由虚功来求Q Q1 158单自由度机构的动力学分析单自由度机构的动力学分析小结：小结：动态静力分析法：已知运动求力动态静力分析法：已知运动求力 已知

42、力求运动已知力求运动等效力学模型：求等效量，用微分、积分方程求解等效力学模型：求等效量，用微分、积分方程求解动力学普遍方程：用惯性力在虚位移上也做虚功动力学普遍方程：用惯性力在虚位移上也做虚功拉氏方程：构造系统动能，动能求导，再求广义力拉氏方程：构造系统动能，动能求导，再求广义力59课堂练习课堂练习已知：已知：132421322421H20,60,0.1kg m ,0.4kg m ,0.2kg m ,12.75N mHzzzzJJJJJM，求？(略2、3质量及重力影响)用：等效法、拉氏一法、拉氏二法mNMH16601 1、等效法：、等效法：选选H H为等效件为等效件1241141 3111 9

43、8HHHz ziiz z 423343111 32HHHziiiz 等效力矩：等效力矩：1112.75 8 1686N mVHHMMM 2222231123()()()0.1 80.5 20.28.6kg mVHHHJJJJJ因为因为 为常数，选微分方程为常数，选微分方程VJ2/10rad/sVVHHVVMJMJ612 2、动力学普遍方程（拉氏一法）：、动力学普遍方程（拉氏一法）：给定：给定：111112322()0HHHHHMJJJMJ 11228822HHHH HH 623 3、拉氏二法：、拉氏二法：取：取：22211232111()222JHTJJJJ128,2HH 221(64 0.1

44、4 0.50.2)4.32HHT HHHHqq，63广义力的求法一般有两种方法广义力的求法一般有两种方法: :1 1、按广义力定义求解、按广义力定义求解2 2、采用虚功方法进行求解、采用虚功方法进行求解由于采用虚功方法进行求解相比较而言容易由于采用虚功方法进行求解相比较而言容易一些，因此本课程中涉及到广义力的求解都一些，因此本课程中涉及到广义力的求解都是采用虚功方法。是采用虚功方法。64例例：如图示机构，求平衡时：如图示机构，求平衡时机构自由度数为机构自由度数为3 3，构件，构件1 1、4 4、7 7运动定义为广义坐标，即运动定义为广义坐标，即371,F F M112437,qqqS平衡时，在

45、平衡位置的虚功为零，平衡时，在平衡位置的虚功为零，又广义力为零又广义力为零123.0.0.0QQQ可以求出三个未知数可以求出三个未知数分析：分析：65例例：五杆机构，取：五杆机构，取1124,qqS构件构件1 1由由 控制，控制，构件构件4 4由由 控制，控制，件件2 2、3 3由由 共同控制。共同控制。第二章第二章 两自由度机构动力学分析两自由度机构动力学分析2-1 2-1 两自由度机构的运动分析两自由度机构的运动分析1.1.构件上某点速度：构件上某点速度：上式也可以表示为：上式也可以表示为：分析：分析：)(11q02q)(42sq01q21,qqir称为类线速称为类线速度（矢量）度（矢量）

46、66的物理意义：的物理意义：当当 时，时， 的大小、方向即为的大小、方向即为 的大小方向的大小方向量纲由广义坐标决定量纲由广义坐标决定iv2.2.构件角速度构件角速度注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量21,iiuu:1 iu1, 012qq1 iu)(ii),(21qqii如研究杆如研究杆2 2、杆、杆3 3： 不是传动比不是传动比21,iiii第第i i个件对广义坐标个件对广义坐标1 1，2 2的的类角速度类角速度（标量）（标量） 的物理意义？的物理意义？ 21,iiii6721212222212121212222212122

47、1221qqiiqiqiJqquuququmiiiiisisisisisi2-2 2-2 利用拉格朗日方程建立两自由度机构利用拉格朗日方程建立两自由度机构 的动力学方程的动力学方程1 1221 122iiiiiivu qu qi qi q 拉格朗日方程：拉格朗日方程：()jjjdTTQdtqq一、惯性系数一、惯性系数1q 1q 2q 2q 求求1 1个构件动能：个构件动能：68对于对于 ： 与与 和和 均相关件的质量和转动惯量才能计入，均相关件的质量和转动惯量才能计入，则系统动能：则系统动能：说明：说明：11J1q12J1q2q对于对于 ：件件i 的运动必须与的运动必须与 有关，有关，即与即与

48、 相关件的质量和转动惯量才能计入，相关件的质量和转动惯量才能计入，1q惯性系数惯性系数11J为正；为正；12J可为正、为负、为零。可为正、为负、为零。69例例1 1：已知：已知： 求：求：12121212, , ,ssssm m JJl l ll111222,JJJ分析：广义坐标可以设为：分析：广义坐标可以设为：1122,qq则：则：,111q211101qq,21212qq ,21212qq则：则：70222111112111222(2cos)sssssJmlJm lll lqJ21222 12 22 21 22221222(cos)ssssssJm uuJ i im ll lqJ,21sl

49、2212221cos2qllllss22222222iJumss711324132420,40,0.1,0.25zzzzJJJJ111222,JJJ例例2 2：已知差动轮系已知差动轮系轮轮2 2、3 3质量略，质量略，H转动惯量略。转动惯量略。求：求：分析：广义坐标可以设为：分析：广义坐标可以设为：112,Hqq11121,0ii则：则：7273二、计算动能二、计算动能用惯性系数表示的动能：用惯性系数表示的动能：11 11221TJ qJ qq22112212121211111122JJJTqqq qqqqq 74则拉氏方程为：则拉氏方程为：22112212121211111122JJJTqq

50、q qqqqq 两个自由度的两个自由度的拉氏方程拉氏方程75例例3 3：已知：已知：求：建立运动方程求：建立运动方程分析：选广义坐标分析：选广义坐标:1122,qq则：则：u 求类线速度求类线速度:F，76常数常数77求广义力：求广义力：方程：方程：此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。781,H 例例4 4：已知差动轮系中：已知差动轮系中：，各轮质量略。，各轮质量略。112,Hqq11212,2,3,qq q分析：取广义坐标：分析：取广义坐标：则：则：2qH1H求：求：79方法方法1 1：方法方法2 2：同理同理求：求：2221,ii2123,212

51、221ii, 02q 令即即H H不动，则：不动，则：, 01q 令即即1 1轮轮不动，则：不动，则：2212iiH2223i求：求：3231,ii)81(18011 1122121 12222J qJ qQJ qJ qQ计算广义力：计算广义力：动力学方程：动力学方程：差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。22HHiJ8112212,AsJm JM F12,qqr例例5 5：已知：已知：重力略，建立运动方程。重力略，建立运动方程。分析：分析：选广义坐标：选广义坐标：则：则：8211 1212222222J qm r rQJ qm rQ计算广义力：计

52、算广义力：动力学方程：动力学方程：83iiidTTQdtqq0iidLLdtqqiiidLLQdtqq例例第三章第三章 多自由度机构的动力学分析多自由度机构的动力学分析3-1 拉格朗日方程拉格朗日方程841 12211 12233222133332()()()()m xkxxk xm xk xxkxxm xFk xx853-2 3-2 多自由度机构的动力分析多自由度机构的动力分析一、运动关系一、运动关系1 1、某构件运动与一个广义坐标相关、某构件运动与一个广义坐标相关2 2、某构件运动与几个广义坐标相关、某构件运动与几个广义坐标相关3 3、各构件在广义坐标下的表示、各构件在广义坐标下的表示4

53、4、构件速度、角速度表示、构件速度、角速度表示5 5、构件质心的坐标、速度表示、构件质心的坐标、速度表示()1 1()22()33.isisisisvuququq类线速度类线速度1 12233.isiiii qi qi q类角速度类角速度86二、系统动能二、系统动能221122iiisisiTmvJ21122xxxyxzxiiisxiyizixyyyyzyixzyzzzziijjjmvjjjjjj4222211 1222333444121211313141423232424343411112222iiTJ qJ qJ qJ qJ q qJ q qJ q qJ q qJ q qJ q q 87以

54、平面以平面4 4自由度为例自由度为例( (表格形式表格形式) )：11 1J q 122J q 133J q 144J q 21 1J q 222J q 233J q 244J q 31 1J q 322J q 333J q 344J q 41 1J q 422J q 433J q 444J q iiidTTQdtqq881NkjjjJ q22111()22Nkjjjkkjkjjkkj kJJJqqqqq1Nkkjkjjj kJq qq 111()NNkMkLMLMLML MLMkMk L kJJJq qqqq 89 的下标的含义：与的下标的含义：与i i、j j广义坐标同时有关的构件广义坐标

55、同时有关的构件的等效质量或惯量。的等效质量或惯量。 ijJ23232323()ii xi xi yi yisiiJm uuuuJii如如以以3 3自由度第自由度第3 3个方程为例：个方程为例：31 13223332223132331122123132333333313212313212123213111()()222()J qJ qJ qJJJJJqqqqqqqqJJq qq qqqJJJq qQqqq 1NkjjjJ q22111()22Nkjjjkkjkjjkkj kJJJqqqqq1Nkkjkjjj kJq qq 111()NNkMkLMLMLML MLMkM k L kJJJq qqq

56、q 90空间任一运动的刚体空间任一运动的刚体证明证明21122xxxyxzxiiiisxiyizixyyyyzyixzyzzzziijjjTmvjjjjjj9122222222222112211() ()(2)22112211() ()02211()()(22iCiCiiCCiiCiiCCiiiCiiCiiiCixyzyxzzxTm vm vvm vvvvm vvv vvvmvvmv vvmvmvmrrmvmrrrrr 222222)2()11(222)221122yxy x yxz x zyz y zCxxxyyyzzzxyxyyzyzxzxzTCrr rr rr rmvJJJJJJmvJ

57、如果质心速度如果质心速度为零，刚体动为零，刚体动量也为零量也为零根据转动惯根据转动惯量计算公式量计算公式922211()22iisisiTmvJ系统动能：系统动能：三、系统势能三、系统势能势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉格朗日方程中用格朗日方程中用“U U”表示。表示。四、广义力四、广义力广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势有势力力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系做功，引入拉氏函数广义力为零（如

58、一些震动系统）。统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力引入拉氏函数后广义力不包括有势力常见势能有常见势能有哪些？哪些？93例例1 1：如图，已知各转动惯量、力矩如图，已知各转动惯量、力矩其余略，求动力学方程其余略，求动力学方程124520zzzz分析：系统自由度为：分析：系统自由度为：112336,qqq12311221231,3,62,4,5,qqqHq qHq q q3660zz3 72 743F 设：设：94112336,QM QM QM113263, 广义力用虚功广义力用虚功原理求解原理求解动能均为角速度动能均为角速度( (广义速度广义速度) )的函数，的函数，121122433,24

59、H21233125312123,168H95注：注：轮系中，一般类角速度是轮系中，一般类角速度是定值。所以有惯性系数为定值。定值。所以有惯性系数为定值。11 1122133121 1222233231 13223333J qJ qJ qQJ qJ qJ qQJ qJ qJ qQ1NkjjjJ q22111()22Nkjjjkkjkjjkkj kJJJqqqqq1Nkkjkjjj kJq qq 111()NNkMkLMLMLML MLMkM k L kJJJq qqqq 96例例2 2：如图，杆长已知，质心如图，杆长已知，质心位置已知，各杆受力矩、转动位置已知，各杆受力矩、转动惯量已知。建立系统

60、动力学方惯量已知。建立系统动力学方程。程。分析分析1 1：系统为平面：系统为平面N N自由度自由度开链机构，广义力为重力、开链机构，广义力为重力、外力矩和手爪部外力。外力矩和手爪部外力。分析分析2 2：动能函数为质心速度、：动能函数为质心速度、角速度函数，势能为广义坐角速度函数，势能为广义坐标函数。标函数。问题问题1 1：广义力如何求？：广义力如何求？问题问题2 2：T T或或L L函数的表达？函数的表达？思考：动能、势能思考：动能、势能的广义力表达式的广义力表达式971NkjjjJ q22111()22Nkjjjkkjkjjkkj kJJJqqqqq1Nkkjkjjj kJq qq 111(