自动控制_05a线性系统的频域分析法频率特性

1、第第5章章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法 频率特性是研究控制系统的一种工程方法，应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具有明显的物理含义。频域法分析系统可利用特性曲线、图表及经验公式。 5- -1 引引 言言频率特性分析法的特点：频率特性分析法的特点：（1）只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判断闭环系统是否稳定。（2）可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数。（3）频率特性可由微分方程或传递函数求得，也可以用实验方法求得。（4）频率特性法适用于

2、线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。（5）当系统在某些频率范围存在严重的噪声时，应用频域分析法可以设计出能很好的抑制这些噪声的系统。 控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成，控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。1、频率特性的基本概念、频率特性的基本概念 由图5-1可得该电路的传递函数为 11)()()(TssUsUsGio5- -2 频率特性频率特性ui（t）CRuo（t）图5-1 RC滤波电路式中 ，为电路时间常数。 RCT 若) 1.(sin)(tUtuii当初始条件为零时，输出电压的拉氏变换为 2211)(11)(sUTssUTssUii

3、o对上式取拉氏反变换，得输出的时域解为 )arctansin(11)(2222TtTUeTTUtuiTtio当 时，电路的稳态输出为 t（2） )sin()arctansin(1)(22tUTtTUtuoio式中 TTUUioarctan,122对一般的线性系统（元件），输入正弦信号对一般的线性系统（元件），输入正弦信号 ， 在在 即稳态情况下，系统输出必为即稳态情况下，系统输出必为 亦即稳态输出也是正弦信号，且亦即稳态输出也是正弦信号，且 与与 的频率相同，的频率相同，仅幅值和相角不一样。仅幅值和相角不一样。 tXxsint)sin()(tYty)(ty)(txXYA/ 对输出输入正弦信号的

4、幅值比 和相角差作研究发现， 和 只与系统参数及输入正弦信号的频率有关。则 称为幅频特性， 称为相频特性。A)(A)(对图5-1RC滤波电路而言TTUUAioarctan)(11)(22 依据上两式可计算得出RC电路的幅频特性和相频特性数据如表5-1。 )/(sradT21T1T2T3T4T5)(A)/()(010.8900.7070.4470.3160.2430.19600- -26.5- -45.0- -63.4- -71.6 - -76.0- -78.7- -90.0 表5-1 幅频特性和相频特性数据 按表5-1绘出的幅频特性曲线和相频特性曲线如图5-2所示 由表5-1及图5-2可以看出

5、，当输入电压信号的频率 较低时，输出电压与输入电压幅值几乎相等（ ）时完全相等，两电压间的相角滞后不大。随着 增高，输出电压的振幅迅速减小，相角滞后亦随之增加。当 时，输出电压的幅值接近0，而相角滞后90。 0图5-2 表5-1的频率特性由于输入、输出信号（稳态时）均为正弦函数，因此可用电路理论的符号法表示为复数形式，即输入为 ；输出为 。0jXejYe则输出与输入之比为 )(0)(jjjjeAeXYXeYe 综上所述，可对频率特性频率特性作如下定义：线性定常系统线性定常系统（或元件）的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号（或元件）的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入信号的复数比。

6、与输入信号的复数比。若用 表示，则有 )(jG)185).()()()()(AeAjGj 称为系统（元件）的频率特性，它描述了在不同频率下系统（或元件）传递正弦信号的能力。 )(jG 还可以用实数部分和虚数部分组成的复数形式进行描述，即 )(jG)()()(jQPjG 式中 和 分别称为系统（或元件）的实频特性和虚频特性。 )(P)(QP图5-3 频率特性在复平面上的表示由图5-3的几何关系知，幅频、相频特性与实频、虚频特性之间的关系为 )()(arctan)()()()()(sin)()()(cos)()(22PQQPAAQAP系统（或元件）的频率特性可通过实验方法实验方法求得。其具体具体做

7、法做法是：对系统（或元件）输入一个频率可变的正弦信号 ，不断改变频率，并测量相应的输出稳态值 ，每改变一次，测量并记录相应的输入振幅Ui、输出振幅Uo以及输出波形的相角滞后（或超前）量 ；然后计算振幅比 对频率 的函数关系，并绘成曲线，就可得到该系统（或元件）的tUtuiisin)()sin()(tUtuooioUUA)(幅频特性 。将相角差 对频率 的关系绘成曲线，就得到相频特性 。)(A)(2、频率特性和传递函数的关系、频率特性和传递函数的关系 设系统的输入信号、输出信号分别为 ，其拉氏变换分别为 ，则系统的传递函数为 )()(tctr、)()(sCsR、)()()(sRsCsG则 )()

8、()(sRsGsC 也可表示为)(sG)()()()()()(21npspspssNsDsNsG为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。 若输入信号为正弦函数，即 tAtrsin)(其拉氏变换为 )()(22jsjsAsAsR则 )()()()()(21jsjsApspspssNsCnjsKjsKpsKpsKpsKccnn2211均为待定系数。 ccnKKKKK,.,21对上式取拉氏反变换可得 tjctjctpntptpeKeKeKeKeKtcn2121)(若系统稳定， 的极点均为负实根。当 时得 的稳态分量为 )(sGt)(tctjctjctsseKeKtctc)(lim)(其中 jAjGj

9、sjsjsAsGKjAjGjsjsjsAsGKjscjsc2)()()()(2)()()()(由于 是一个复数，可写为 jssGjG)()()()()()()(jjGjeAejGjG 和 是共轭的，故 可写成 )(jG)(jG )(jG )()()(jeAjG)()()(2)(2jcjceAjAKeAjAKjeeRAtctjtjss2)()()()()(sin)(sin)(tUtAAo则 )()(jGAUUio)()(jG因此我们可以看出频率特性和传递函数的关系为因此我们可以看出频率特性和传递函数的关系为 )195.()()(jssGjG 实验表明，对于所有的实际物理系统或元件，当正弦输入信号

10、的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。利用这一事实我们可以解释为什么实际物理元件传递函数分子的阶次比分母阶次低这个问题。 121)(2ssssG设jjjjjjjG1211121)()(2则0201)(limjjG可得 这与实际情况矛盾。若 的分子阶次高于分母阶次，它指的是一定频率范围内的近似传递函数。 )(sG3、频率特性的几何表示法、频率特性的几何表示法 在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，再运用图解法进行研究。常用的频率特性曲线有三种：序序号号名称名称图形常用名图形常用名坐标系坐标系1幅相频率特幅相频率特性曲线性曲线极坐标图、极坐标图、Nyquist图图极坐标极坐标2对数

11、幅频对数幅频相相频频特性曲线特性曲线对数坐标图、对数坐标图、Bode图图半对数半对数坐标坐标3对数幅相频对数幅相频率特性曲线率特性曲线对数幅相图对数幅相图 Nichols图图对数幅对数幅相坐标相坐标一、幅相频率特性曲线一、幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线又称Nyquist曲线，由于它是在复平面上以极坐标的形式表示，故又称极坐标图。 图图5-4 极坐标图的表示方法极坐标图的表示方法b 极坐标与复平面直角坐标极坐标与复平面直角坐标a极坐标系极坐标系c极坐标图的表示方法极坐标图的表示方法 设系统的频率特性为)()()(jeAjG 根据表5-1所列数据，可画出RC电路的幅相特性曲线如图5-5所示。

12、图5-5 RC电路的幅相频率特性二、对数频率特性曲线二、对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又叫Bode曲线。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成，是频率法中应用得最广泛的一组图线。 Bode图是在半对数坐标纸上绘制出来的。所谓半对数坐标，是指横坐标采用对数刻度，因而刻度是不均匀的，而纵坐标则采用线性的均匀刻度。 Bode图中，对数幅频特性是 的对数值 和频率 的关系曲线；对数相频特性是 的相角 和频率 的关系曲线。 )(jG)(lg20jG)(jG 在画对数频率特性曲线时，必须掌握对数刻度的概念。横坐标上标的是 的实际值，而坐标上的距离是按 值的常用对数 的大小来刻度的。因此坐标上任意

13、坐标上任意 的的距离应为距离应为 ，而不是，而不是 lg21、12lglg12图5-6 对数分度图5-6中，P2 至P1点的距离为：11lg10lgP3至P2点的距离为：110lg100lg 12lg20lgP5至P4点的距离为： 频率 每变化10倍称为一个十倍频程或十进程，记作decade或简写为dec。每个十进程沿横坐标走过的间隔为一个单位长度，如图5-6所示。 对数幅频特性对数幅频特性的纵坐标为 )(lg20)(AL 称为对数幅值，单位是分贝。纵坐标按分贝做线性刻度。对数相频特性对数相频特性的纵坐标为相角 ，单位是度，因不取对数，故采用线性刻度。 )(L)(图5-1所示的RC电路网络的对

14、数幅频特性和对数相频特性曲线如图5-7所示。 图5-7 的对数幅频和相频特性 11jT采用对数坐标图的优点较多，主要表现在： (1)由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了（低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义），而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以拓宽视野，又便于研究低频段的特性。 (2)当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环节频率特性的乘积，即 )()()()(21jGjGjGjGn式中 )()()(22)(11)()()()()()()()(21jjnnjjeAjGeAjGeAjGeAjGn则有)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)()()()()(212121nnnLLLAAAALAAAA)()()()(21n(3)在对数坐标上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。 (4)若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特