习题课下(5)带答案

1、简单回顾：简单回顾：设kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(， （一）（一） 第二型曲线积分第二型曲线积分( , , )( , , )( , , )LP x y z dxQ x y z dyR x y z dz 向量形式坐标形式计算方法一：计算方法一：( , , )LLA x y zdsPdxQdyRdz )()(),(),()()(),(),(tytztytxQtxtztytxP dttztztytxR)()(),(),( 注注: ( , )LLA x ydsPdxQdy dxxyxyxQxyxPba)()(,)(, 计算方法二（计算方法二（GreenGreen公式）

2、公式）（适用于平面上的第二型曲线积分适用于平面上的第二型曲线积分）注：用格林公式求平面图形的面积注：用格林公式求平面图形的面积方法：添辅助线、消奇点（挖洞，曲线方程代入）方法：添辅助线、消奇点（挖洞，曲线方程代入）（1）Dyx),(，有xQyP；（2）沿 D 内任意的逐段光滑闭曲线 C，有 CQdyPdx0； （4）在 D 内存在二元函数),(yxu，使得QdyPdxdu。 （3）)(ABCQdyPdx与路径无关，只与位于 D 内的 起点 A 与终点 B 有关。 计算方法三计算方法三满足积分与路径无关的条件，可以：满足积分与路径无关的条件，可以：1.选择容易计算的路径。选择容易计算的路径。22

3、11()(,)2211(,)2.( , ) (,)(,)( , ).ABxyxyCu x yPdxQdyu xyu xyu x y 已知的前提下：已知的前提下：计算方法四计算方法四 （利用两类曲线积分之间的联系）（利用两类曲线积分之间的联系）其中 cos , cos , cos是 C 上点),(zyx处对于 所给方向的单位切向量的方向余弦 T。 CdsRQP)coscoscos(分析分析：若化为定积分计算，则会出现：若化为定积分计算，则会出现 112dxex的项，无法的项，无法 积分，故应该用积分，故应该用Green公式。公式。 oyx)1 , 1( A)1 , 1(B解：添加辅助线段解：添加

4、辅助线段BA：1 y，11 : x， 则则BAC 构成正向封闭曲线。构成正向封闭曲线。 xyePy12 ，yxeQycos ， xeyPy12 ，yexQ ， .12xyPxQ BABACyydyyxedxxyeI)cos()12(.2110)12(1211eexdxxexdxdyD 习习 题题 课课 五五xyO)0 , 1(A)0 , 1( B)2, 1( ExQyxxyyP 22222)4(4， 0 yPxQ，)0 , 0(),( yx。 0)(422 dxdyyPxQyxxdyydxDCEAC CEAC, EACC dyyxdyydxyxxdyydxCEACC 0222224114 .8

5、7842122202arctan21222 ydxdyD解解：2xyP ，)(xyQ ， 曲线积分曲线积分与路径无关，与路径无关，)(2xyxQxyyP ， xx2)( ，Cxx 2)(， 代代入入0)0( ，得得0 C，2)(xx 。 取取xy ，10: x作作为为积积分分路路径径，则则 .212)(1032)1 , 1()0 , 0(2)1 , 1()0 , 0(2 dxxdyyxdxxydyxydxxy注：由由于于本本题题并并未未要要求求)(x ，故故可可沿沿 先先铅铅直直后后水水平平的的折折线线计计算算： ),(21 2222yxddyyxdxxyQdyPdxdu 或或.21)0 ,

6、0()1 , 1()(21222)1 , 1()0 , 0(2 yxdyyxdxxy.211)0()(10102)1 , 1()0 , 0(2 dxxdyydyxydxxyyox) 1 , 0() 1 , 1 (Oyx1C2C3C31CC 和和32CC 成为围绕原成为围绕原点的正向闭曲线，点的正向闭曲线，由题意知由题意知 3231)(2)(222CCCCxyydxxdyxyydxxdy 1)(22Cxyydxxdy 2)(22Cxyydxxdy即在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关。即在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关。 （2）)(22xyyP ，)(22xyxQ

7、 ， ,)(2)(2222xyxyyP ,)(2)()(2222xyxxxyxQ 由（由（1）知，当）知，当)0 , 0(),( yx时，时， xQyP)()(2)(222xxxyxy ,)(0)(2)(2Cxxxxx 由由1)1( 得得1 C，即即2)(xx 。 取取 C 为正向椭圆为正向椭圆1222 yx，则，则 CDCdxdyydxxdyyxydxxdyA2222.22112 oxy解解: ,2222yxyxQyxyxP .)(222222yxxyxyyPxQ 故在不含原点的任一单连通区域内故在不含原点的任一单连通区域内, 曲线积分曲线积分 与路径无关与路径无关. (,0)A (0,2)

8、Boxy. 2:, 0: xyAC 2 2 1 dtdxx.22ln .2:,sin2cos2: ttytxCB CBACCyxyyxxyx22d)(d)(取取CBAC 作为积分路径作为积分路径, (,0)A (0,2)B（二）第二型曲面积分（二）第二型曲面积分 设kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(，kjincoscoscos，则dSRQPdSnzyxA)coscoscos(),(从而 dyRdxdxQdzdzPdydSnA。 特特殊殊形形式式：dzPdy称为 P 对坐标 y，z 的曲面积分； dxQdz称为 Q 对坐标 z，x 的曲面积分； dyRdx称为 R 对

9、坐标 x，y 的曲面积分。 计算方法一：计算方法一：（一投二代三定号）（一投二代三定号）dyRdxdxdzQdzPdydSnA dVzRyQxP)(计算方法二：（计算方法二：（Gauss公式）公式） 若积分曲面不 封闭，则添加辅助曲面使之封闭；当封闭曲面取内侧时，Gauss公式中的符号应为负号；应用Gauss公式前首先要检验zRyQxPRQP, , ,的连续条件。故 dyzdxdxydzdzxdydVV 31。 计算方法三：计算方法三：（两类曲面积分的关系）（两类曲面积分的关系）设曲面指向侧的单位法向量cos ,cos ,cosn，则有 dyRdxdxQdzdzPdydSnA dSRQPcos

10、coscos CRdzQdyPdx dydxyPxQdxdzxRzPdzdyzQyR )()()(计算方法四：计算方法四：（ 斯托克斯定理）斯托克斯定理） 设分片光滑曲面的边界是分段光滑C 闭曲线。空间 向量场),(),(),(zyxRzyxQzyxPA在某一包含曲面 空间域内具有连续的 的偏导数，则有 其中的侧向符合右手法则的取向与曲面曲线 C 。 上式称为斯托克斯公式斯托克斯公式。 Stokes公式可表为行列式的形式： RQPzyxdydxdxdzdzdyRdzQdyPdxC 添补平面添补平面1 ：)( 0222azxz ， 取下侧，则取下侧，则1 成内侧封闭曲面，成内侧封闭曲面， 其围成

11、的区域为其围成的区域为 。 解解：上上在在 222yxaz ，2222azyx 。 dydxazdzaxdyaI2)(1 1 yzxo axP ，0 Q，2)(azR ， ,23)(2zaazazRyQxP 112)()(1dydxazdzaxdyaI xyDdxdyadVzaa)23(12 xyDdxdyazdVdVaa2312232314032222adxdyzdzaaaazayx )(22140224adzzazaaa .221344aaaa 227.(1),:420().ydzdxzdxdyxyxzz 例例被被和和所所截截部部分分外外侧侧用用二二种种方方法法课堂练习：1设设 C 为闭曲

12、线为闭曲线2 yx，取逆时针方向，则，取逆时针方向，则 Cyxbydxaxdy 。 1设设 C 为闭曲线为闭曲线2 yx，取逆时针方向，则，取逆时针方向，则 Cyxbydxaxdy 。 解：解： Cyxbydxaxdy 2: yxC代入代入 Cbydxaxdy21 公公式式Green. )(4)(21 Dbadxdyba)(4ba 解解：)(22yxxfP ，)(22yxyfQ ， xQyxfxyyP )(222， 曲线积分与路径无关，曲线积分与路径无关， 取取AB：20:, 0, 0 xdyy作为积分路径。作为积分路径。 20222)()(xdxxfydyxdxyxfABC. 2)(2140

13、2 duufxu令令zxyo333. ,),9(0 : 1221成外侧封闭曲面成外侧封闭曲面则则取下侧取下侧添加平面添加平面 yxz xzyzzyzIdddd)4(31 :2解解xzyzzyzIdddd)4)(31 211 )0(31 zdxdydz 30922231zyxdxdyzdz.427)9(31302 dzzz证明： （证明： （1）)(1 12xyfyyP ， ,)(1)(222yxxyxfxyfyyxQ xQxyfxyxyfyyP )()(12， 曲线积分曲线积分 I 与路径无关。与路径无关。 解： （解： （2）I 与路径无关，与路径无关， dyyccycfdxbxfbbIdc

14、ca)()(1 122 dyyccydcyfbxdbxfdxbdcdccaca 2)()()()(1bcdcuduftdtfbabccdbcbcab )()()()(. )()(badccdabtdtfbadccdab 另解另解：xQyP ，),(yxu ， dyxyfyyxdxxyfyydu 1)()(1 1 222 使使得得dyyxdyxyxfdxxyyfdxy2)()(1 )()()()(xyFyxdxydxyfyxd ). )()( (的一个原函数的一个原函数是是ufuF),(),(xyFyxyxu ),(),(2221)()(11dcbadyxyfyyxdxxyfyyI ),(),(

15、)(badcxyFyx .)()(badcabFbacdFdc 解解： （： （1）由由xQyPdyxxfydxxC 0)(43。 yxP34 ，)(xxfQ ，34xyP ，)()(xfxxfxQ ， 从而从而24)(1)(xxfxxf ， 4)(121Cdxexexfdxxdxx .4133xxCCdxxx 由由2)1( f，得得1 C，故故31)(xxxf 。 （2） )(3)(4ABCdyxxfydxx )(43)1(4ABCdyxydxx.246)811(30 dy课后练习：课后练习：:.计计算算下下列列积积分分一一正向。正向。圆周圆周为为，其中，其中计算计算2222233)2()(. 1ayxLyxdyyxexydxeyxLyy 正正向向。）（为为圆圆周周其其中中，计计算算11)1()ln()(. 22222222 yxLdyyxxyxdxyxL2222(1)4.(1)44LydxxdyLxyxy 计算，其中 为椭圆计算，其中 为椭圆正向。正向。3223322225.()()(),:,.Ixazdydzaxydzdxzaydxdyzaxy 上上侧侧).0()0 ,