7.1矩阵的概念7.2矩阵的运算

1、第七章 矩阵7.1 矩阵的概念7.2 矩阵的运算1重要概念重要概念 矩阵、方阵的行列式矩阵、方阵的行列式重要概念和学习目标学习目标学习目标 1、理解矩阵和方阵的行列式的概念，掌握单位矩、理解矩阵和方阵的行列式的概念，掌握单位矩 阵、行矩阵、列矩阵等特殊矩阵的概念；阵、行矩阵、列矩阵等特殊矩阵的概念； 2、掌握矩阵的转置、加减法、数乘矩阵和矩阵的乘、掌握矩阵的转置、加减法、数乘矩阵和矩阵的乘 法运算。法运算。7.1 矩阵的概念2线性性简介二 线性系线性系描述直线和平面的基础，是我们描述直线和平面的基础，是我们所研究的最简单的代数系统。所研究的最简单的代数系统。 线性方程线性方程 向量空间向量空间

2、 线性影射和矩阵线性影射和矩阵7.1 矩阵的概念3 前面，我们将线性方程组的解用空间中处于直线前面，我们将线性方程组的解用空间中处于直线和平面上的点作了几何上的解释：和平面上的点作了几何上的解释： 为了继续讨论下去，我们应该努力理解词为了继续讨论下去，我们应该努力理解词“直直”和和“平平”的意思，的意思，)/ )( ,(),(11111111nnnnnnaxaacxxx 的解空间的解空间0,2211 innaccxaxaxa为常数，为常数，7.1 矩阵的概念4“直” 一条线一条线 看成是点的一种结集物，在这些点的任意两看成是点的一种结集物，在这些点的任意两点之间取这条线的一个线段，将一个方向与

3、它相联系点之间取这条线的一个线段，将一个方向与它相联系 直线直线 通过无定限地延伸这条线段而产生通过无定限地延伸这条线段而产生7.1 矩阵的概念5“平” “高维高维” 从我们所在空间抽象出来的一种数学空间，从我们所在空间抽象出来的一种数学空间，它之所以是平直的，是因为这空间中的任何三对平面它之所以是平直的，是因为这空间中的任何三对平面会围成一个会围成一个“规则的规则的”立方体立方体 平面平面 1、从任何一对点之间的直线段出发，创建、从任何一对点之间的直线段出发，创建一条完全处于这平面中的直线；一条完全处于这平面中的直线； 2、任何两对平行直线要么全部平行，要么、任何两对平行直线要么全部平行，要

4、么在这平面上围成一个平行四边形区域在这平面上围成一个平行四边形区域7.1 矩阵的概念6向量(vector携带者)在在“三维三维”的情形中，的情形中， 我们称：我们称： 这些直线段为这些直线段为向量向量围成立方体的平面围成立方体的平面定义定义直线的性态直线的性态直线段的性态直线段的性态定义定义描述描述一个起点、一个方向和一个终点一个起点、一个方向和一个终点7.1 矩阵的概念7向量空间 向量空间向量空间V 由向量所构成的一个集合由向量所构成的一个集合u,v,w, 要成为一个向量空间，要成为一个向量空间， u , v , w , 中的任一个中的任一个元素必须遵循如下元素必须遵循如下 关于加法和标题乘

5、法的法则：关于加法和标题乘法的法则：这个空间在加法和标量乘法下是封闭的；这个空间在加法和标量乘法下是封闭的；满足加法交换律、加法结合律；满足加法交换律、加法结合律；必须有一个零向量、一个逆元素必须有一个零向量、一个逆元素标量乘法满足一般数的乘法法则标量乘法满足一般数的乘法法则 向量的向量的物理实例：物理实例： 力力 F7.1 矩阵的概念8直线是实向量空间 直线直线 容易得到，容易得到， 是实向量空间，且仅用一个是实向量空间，且仅用一个实参数就可以确定，我们就称它们为实参数就可以确定，我们就称它们为cmxy :),(),(RxcmxxcmL 这些点偶这些点偶就是向量就是向量),(cmL1R 用点

6、用点 ( x ) 标记向量标记向量1R7.1 矩阵的概念9平面是实向量空间 平面平面 同理得到，同理得到， 是实向量空间，且仅用是实向量空间，且仅用两个实参数就可以确定，我们就称它们为两个实参数就可以确定，我们就称它们为dnymxz ,:),(),(RyxdnymxyxcnmP ),(dnmP2R 用点用点 ( x , y ) 标记向量标记向量2R7.1 矩阵的概念10n实向量空间nR 用点用点 标记向量标记向量 ),(21nxxx这些点偶这些点偶就是向量就是向量 还可以定义一个特殊的向量空间，还可以定义一个特殊的向量空间，它仅包含一个向量：它仅包含一个向量： 00 RnR7.1 矩阵的概念1

7、1向量空间的子空间和交无论有多少个平面，可以同处在一个空间中无论有多少个平面，可以同处在一个空间中无论有多少条直线，也可以同处在一个平面中无论有多少条直线，也可以同处在一个平面中即一个向量空间可以处在另一个向量空间中即一个向量空间可以处在另一个向量空间中 子空间子空间由向量空间由向量空间V的向量所组成的一个子集，而且的向量所组成的一个子集，而且它本身也是一个向量空间它本身也是一个向量空间并非所有的并非所有的子集都一定子集都一定是向量空间是向量空间 结论结论一个向量空间的两个子空间一个向量空间的两个子空间之交仍是一个子空间之交仍是一个子空间7.1 矩阵的概念12线性方程组 推论推论 有有m个含有

8、个含有n 个不同变量个不同变量 的线性方程的线性方程 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaRn的一个的一个向量子空间向量子空间),(21nxxx 这些方程的联立解是同时处于每个子空间的点的集合，这些方程的联立解是同时处于每个子空间的点的集合，这就是这些子空间的交，我们现在知道它一定也是这就是这些子空间的交，我们现在知道它一定也是 Rn 的的一个向量子空间。既然如此，那么它也可写成一个线性方一个向量子空间。既然如此，那么它也可写成一个线性方程。程。7.1 矩阵的概念13向量空间的基与维数二维向量空间一组基是向量组二维向量空间一组基是向量

9、组iji xj yr,jiE j yi xr 将将( x , y )称为称为 的坐标的坐标r可以换一可以换一组基吗？组基吗？,3,21jejie 二维向量空间另一组基是向量组二维向量空间另一组基是向量组,211eeE 将将( X, Y )称为称为 的另一组坐标的另一组坐标r 结论结论 维数相当于唯一地确定空间中每个向量所需的基本方维数相当于唯一地确定空间中每个向量所需的基本方向（一组基）的个数向（一组基）的个数7.1 矩阵的概念14从一向量空间到另一向量空间的影射,3,21jejie jYXiXjYjiXeYeXr)3()3()(21 两个表达式的右边相等，得两个表达式的右边相等，得 )(31

10、xyYxX两组基坐两组基坐标的变换标的变换j yi xr 又又因因为为7.1 矩阵的概念15有多少个向量空间 所有具有相同维数和相同标量集合的向量空间所有具有相同维数和相同标量集合的向量空间在数学上是相互等同的在数学上是相互等同的 结论：结论： 本质上只有一个本质上只有一个n 维的实向量空间，我们称这个维的实向量空间，我们称这个空间为空间为 Rn7.1 矩阵的概念16()ijm nAa 记作：记作：m nA 元素元素行标行标列标列标矩阵矩阵nm mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211概念一：矩阵7.1 矩阵的概念17例如例如 34695301 421 9532 4 42A 1

11、3B 41C 11D7.1 矩阵的概念18(1)(1)行矩阵行矩阵(2)(2)列矩阵列矩阵(4)(4)行数与列数相等的矩阵称为行数与列数相等的矩阵称为方阵方阵如如:2:2阶方阵、阶方阵、3 3阶方阵、阶方阵、n n阶方阵阶方阵(3)(3)零矩阵零矩阵概念二：特殊矩阵(1)(1)对称矩阵对称矩阵(2)(2)对角矩阵对角矩阵(3)(3)单位矩阵单位矩阵(4)(4)三角矩阵三角矩阵记作：记作：00或或nm 7.1 矩阵的概念19概念三：方阵的行列式记为记为 )det( AA 或或 2121A设设21217.1 矩阵的概念20矩阵的加法矩阵的加法数乘矩阵数乘矩阵每每一一个个元元素素 kkA负矩阵负矩阵AA)1( 矩阵的减法矩阵的减法BABA)1( 矩阵的运算BA 7.1 矩阵的概念21()(),ijmnssijAaBb，（1 1）规定规定= =的的第第i 行行与与的的第第j 列列对应元素的乘积之和对应元素的乘积之和矩阵的乘法矩阵的乘法ijc（3）积矩阵的元素）积矩阵的元素A