关于实数连续性的6个基本定理的互证pdf

1、关于实数连续性的6个基本定理的互证中国人民大学2006级经济学数学双学位实验班张磊首先6个定理表述如下：确界定理：在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在.单调有界原理：若数列xn单调上升有上界，则xn必有极限.区间套定理：设an,bnJ是一个区间套，则必存在唯一的实数r,使得r包含在OC所有的区间里，即rAan,bnn=4有限覆盖定理：实数闭区间a,b的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖.紧致性定理：有界数列必有收敛子数列.柯西收敛定理：在实数系中，数列卜0有极限存在的充分必要条件是：£>0,N,当naN,maN时，有|xn-xm|<&一、确界定理

2、证明其他定理1、确界定理证明单调有界定理证明：设<xn是单调上升有上界的实数列.由确界定理可得，r,使r=sup',xn.n，有xn<r,并且£>0,xN，有xN>r-£n>N，有r-£<xn<xn<r,即|xn-r|<£2、确界定理证明区间套定理证明：由bn十，为十】L,bn，知an是单调上升有上界的实数列，bn是单调下降有下界的数列且bl是an的上界，ai是bn的下界.设liman=r,limbn=r'由n8nT8确界定理对单调有界定理的证明知r=supan,rz=infbn.由l

3、im（bn-an）=0得r-r=0即r-r=supian=infbnnco88最后证明唯一性.若有r,r，满足rPlIan,bn,r'Q*,bn,则n1n1|r-r'|wbn-an-0(n囚故r=r，.即这样的r是唯一的.定理证完.3、确界定理证明致密性定理.证明：证明：设数列Xn是有界数列.定义数集A=x|xn中大于x的点有无穷多个Gn有界A有上界且非空.由确界定理可得r,使r=supA.则£>0,有r-e不是A的上界.xn中大于r-£的项有无穷多个.r+e是A的上界xn中大于r十e的项只有有限个.在(r-£,r+e)中有xn的无穷多项，即

4、c>0,n,n>N,使xn(r-£,r+£)对£=1,L,使xni(r-1,r+1),即|"-r|<1取£二一12，n2An1,有|%2-r|<12，如此继续下去，取e=,nk>nk-1，有|xnk-r|<°k,由此得到xn的子数列xnk,当k一8时，xnk-rxn存在收敛子数列.定理证完4、确界定理证明柯西收敛原则.证明：首先证明基本列必有界，取E<1,必有一正整数，当m,n>N0时，有xm-xj<1,特别的当n>N0且m=N0+1时，有xn-xno力<1从而当nN0

5、时，有xn<xn-xN0书+xN01<1+xN0书这就证明了的有界性.记A=XXn中大于x的有无穷项显然A为有界集合，则由确界定理知A有上确界记B=supA.则O0,满足Xn>B-由勺有无穷多项，且XnAB+由勺有有限项所以xn中有无穷多项满足B-£<Xn<P+££>0,N>0,当nN时，Xn-卜limXn=Bnco5、确界定理证明有限覆盖定理证明：设E是闭区间a,b的一个覆盖.定义数集A=xla,b】|区间a,x在E中存在有限子覆盖从区间的左端点x=a开始.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A中

6、.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见，若XA,则整个区间a,xA.若A无上界，则bA,那么a,b在E中存在有限子覆盖.若A有上界，由确界定理可得r,使r=supA.x?r都有xA.事实上，(r-x)>0,y,s,ty>r-(r-x)=x.a,y在E中存在有限子覆盖，a,xa,V在E中存在有限子覆盖下证b<r.用反证法.如果不然，rwb,则ra,b.因此，在E中存在有一开区间覆盖Ea覆盖r.a0,b0Ea,使a。<r<b0.由上面论证知a0A,也即区间a,a0在E中存在有限子覆盖，向这个有限子覆盖再加上开区间Ea,即成为a，b的覆盖.b0A,与r=supA

7、矛盾.定理证完.、单调有界定理证明其他定理1、单调有界定理证明确界定理证明1：已知实数集A非空.aA,不妨设a不是2/勺上界，另外，知b是A的上界，记ai=a,bi=b,用ai,bi的中比2一二二等分b|,bi，如果a_b、B,则%2；如果albA,则取a=2aibi如此继续下去，使得两用序列anbn.其中anA单调上升有上界（例如从），bnB单调下降有下界（例如ai）并口n-an=1（n）.由单调有界定理，知2r,使liman=r.由lim(bn-an)=0有liman+(bn-an)=rn-8nsn0°bn是A的上界，xA,有x<bn(n=i,2,),令n-8,x<l

8、imb=rr是A的上界.nfcon而£>0,由liman=r知£>0,知N,当nN,有r-£<an,nf8从而XA使r-e<an<X,r=supA.同理可证非空有下界数集有下确界.定理证完.证明2:设E是非空有上界的集合，设Qo为E的所有有理数上界.令Q=r,r,r.r.r.令x=minr,r.r0i23nni2xnQ0且单调下降有下界的数列。Ss.tlimxn=E,下面证明白supE。n0°(i)如果xE,s.txA巳则x0-2>0N,s.tx<E+x0-七=刈+I<x002n220.xNQ0这与xN为E

9、的上界矛盾.（2）如果0,xE,s.txw±-b由有理数稠密性定理知r'Q,s.t"-r'<己xE,x<r'r'为E的一个上界r'Q0这与宁xn<rn矛盾2、用单调有界证明区间套定理证明：已知an<an书（n）,an<bn<bi,由单调有界定理知an存在极限，设liman=r,n0°同理可知bn存在极限，设limbn=r,由lim(bn-an)=0得r-r'=0即r=rnocnx.n,有anWbn,令n一°0,有anWr=r，Wbn,n,有anWrWbn.一.一i一八一1

10、，一,88取后证明唯一性.右有r,r，满足rAan,bn,r，Aa“，b”,则nn/|r-r'|<bn-an-0(n丹故r=r，.即这样的r是唯一的.3、用单调有界定理证明致密性定理证明：首先证明有界数列an有单调子数列.称其中的项an有性质M,若对每个i>n,都有an>ai,也就是说，an是集合ai|i>n的最大数.分两种情形讨论：数列an有无穷多项具有性质M,将它们按下标的顺序排列，记为am,an2ank,满足ni<n2c.nk<,那么我们就已经得到一个单调下降的子列；an.数列an只有有穷多项具有性质M,那么N,当nN,有an不具有性质M,即i

11、>n,有an<ai,从中任取一项记为am,因为它不具有性质M,1- n2>ni,使ani<an2,如此继续下去，我们得到一子列ank单调上升，.有界数列an必有单调子数列，由单调有界定理，可得ank存在极限.4、单调有界证明柯西收敛准则证明：首先证明基本列必有界，取E<1,必有一正整数，当m,n>N0时，有|xm-Xn|<1,特别的当n>N0且m=No+1时，有Xn-XN0+1<1从而当n>N0时，有xn&xn-xN0+xN0中<1+xN0书这就证明了kn的有界性.任意有界数列必存在单调子列，由单调有界定理知必有收敛子列

12、5,设limxn=a,则对£>0,K>0,k>K时有|xn-a|<£kk*kk取一正整数k0=max(K+1,N+1),于是当k0K且nk0>nNi>N+1>N当nN时，由已知条件有xn-xnk0<e|xn-al<xn-xn心-a<e+e=2e即limxn=ak0111k0n-85、单调有界证明有限覆盖定理证明：假设某一闭区间L,b的某个开覆盖E的有限个区间覆盖，等分a,b为两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被E的有限个区间覆盖，把这个区间记为Li,b1,再等分a，b1,记不能被E的有限个区间覆盖的那个部分区间

13、为L2,b2,照这样分下去得到一个区间列an,bn】,这些区间适合下面3个条件:(1)每一个Un,bn】都不能被E的有限个区间覆盖an单调递增且有界，bn单调下降且有界，an<bnba，一、.-bn-an=2-n-0由单调有界定理知an极限存在，记liman=an*同理由单调有界定理知bn极限存在，记limbn=&,下面证明6=8n*用反证法，如果&w日，则a<a.e=J20,n>0,n>NJa-3即a<e=2&*311nln13£=0,N2A0,n>N,|b-q<3即bn>2-e=&+2a30023c&

14、gt;0,N3,当n>N3时，bn-an<£N=max(N1,N2,N3),当n>N时，bn-ana-2二工，矛盾3由覆盖概念和定理所设条件，在E中至少存在一个开区间满足己(a,B)由数列极限的性质知道，必存在一个正整数N当n>N时，有a<an<bn<B即当n>N时，有lan,bn】(a,B步(1)矛盾.所以假设错误，原命题成三、区间套定理证明其他定理1、区间套定理证明确界定理证明：由数集A非空，知aA,不妨设a不是A的上界，另外，知bab是A的上界，记,=,用，的中足J一二等分，,aibiabaibi2aibiai+bi是A的上界，则

15、取ai+biai+bi如果a2,b21=ai,;如果不是A的上222界，则取取和bi；用a2,b2的中点电2二等分a2,22b2如此继续下去，使得区间套an,bn.其中an不是A的上界，bn是A的上界.由区间套定理可得,OC唯一的rAan,bn，使liman=limbn=r,n-8nsnixA，由xWbn(n=i,2,),令n-8,x&limbn=rr是A的上界.nco而£>0,由liman=r知00,知N,当naN,有r-£<an,n78从而XA,使r-£<an<X,r=supA.同理可证非空有下界数集有下确界.定理证完.2、用区

16、间套定理证明单调有界定理证明：设xn是单调上升有上界的实数列.b是它的一个上界，令ai=xi-i,二等分a，bi,其中必有一区间含xn的无穷多项，记其为a?,b2，二等分a2,b2,如此继续下去，使得区间套an,bn,满足n5an,bnco含xn的无穷多项.由区间套定理可得，唯一的rAan,bn,使nIima=limb=r,则对e>0,N,n>N,r-e<an<bn<r+e.nsnnsn取，a,b含<x的无穷多项,n°Nn0n0n当m>M时，有xa,b.如果不然，m0no则M,使xa,b.mn0n0m>M，有b<x,则在a1n01

17、n0n0中最多只有%的前m1项，与am,be的构造矛盾.从而当m>M时，有r-£<an<xm<bn<r+e,即|xm-r|<&00.limxm=r,即lim%=r.3、用区间套定理证明致密性定理证明：已知a,b,使aVxnVb.设ab没有E的有限子覆盖，记a,b=a，b1,二等分a，b,其中必有一区间含xn的无穷多项，记其为a2,b2,>等分a2,b2,如此继续下去，便得区间套an,bn,满足n,an,bn含xn的无穷多项.由区间套定理可得，唯一的OCrpa,b，使lima=limb=r.nnn8nn-8nn=1k1,nk,使r-k:

18、ank'k,bnknkk-1<r<bnk<r+-kWbnk因此n1,使r-1<an1<r<bm<r+.这时存在xn1an-bn1,归纳地，,nkxnnk由含的无穷多项，知令k,limxn=r.xn存在收敛子数列ksk4、区间套定理证明柯西收敛原则证明1:首先证明基本列必有界，取E<1,必有一正整数,当m,n>N0时，有xm-xn<1,特别的当n>N0且m=N0+1时，有xn-xn。书<1从而当n>N0时，有xnwxn-xN0+xn。书<1+xn0+这就证明了xn的有界性.记a<xn<b将区间

19、a,b二等分，则必有一个区间上有xn的无穷多项，记这个区间为bi,bi】.依次类推彳评区间昼外,坊1满足(D每个bn,bn】中都含有Xn的无穷多项(2) an单调递增且有界，bn单调下降且有界，an<bnb_a(3) b-a=2nnn4由区间套定理知唯一的建所有区间的公共点，lima=limb=Ennnns所以冷有无穷多项属Kan,bn,记这些项组成的子列攵Xnk,则容易证明limx=E，下面证明x的极限也为己,若不然，x存在另外n；U，nn.一个收敛子列使得limx=E不妨设Ea己nkk-8e=3七>0,K>0,k>K,x-i<e,即x<E+e=21t_L

20、311nnokk3£=W二上-0,K0,kK,|x322n，一21E<e,即x'>e=_匕-7nok3则N=maxNki,Nk2,N)当利时，xm0)，(ast|xm-xn>&七3与基本数列矛盾，所以xn的极限为J证明2:首先证明基本列必有界，取E<1,必有一正整数，当m,n>N0时,有xm-xn<1,特别的当n>N0且m=N0虫时，有xn-xN0书<1从而当nN0时，有lxnlJn-N0*|4N0*-1+|N0+|这就证明了xn的有界性.a1,b1,使n,有a1<xn<b,将区间a1,b1二等分，令C1,c

21、2=a1b1,得到三个长度相同的子区间a1,C1,C1,C2,C2,b1分别记为J1,J2,J3,根据它们在实数轴上的左中右位置和基本列定义，J1,J3,至少有一区间只含有数列xn的有限多项.如果不然，在J1,J3均有数列的无限多项那么b-a，取xJ,xJ,n,m可以任意大，|x-x|£0=-n1m3nm£03与基本列定义矛盾，结论成立.;可以从ai,bl中去掉只含有xn中有限多项的区间Ji或J3bn,该区间套具有以将得到区间a2,b2,重复这个过程，得到区间套an卜两个性质：2(1)闭区间套中的每个区间的长度是前一个区间长度的-3.(2)每一个an,bn中含有数列xn从某

22、项后的所有项由(1)所得，唯一的实数r,使liman=limbn=rnsn-8£0,N使得aN,bN(r-£,r+&),由(2)可得N,当n>N,有|xn-r|<e,limxn=r.定理证完.nco两种证法分别采用的是区间套的两种构造方法：二分法具有b-a=bn-an,这就保证了点r唯一，而对有界数列x,更构n1n12n造了每个闭区间含有数列而的无限多项；而三分法，不仅具有b-a=2(bn_L_a。，也保证了点r唯一，更是用到了基本列的性质，使每个闭""3区间包含从某项起的所有项.5、区间套定理证明有限覆盖定理证明：用反证法.设E是闭

23、区间a,b的一个覆盖.设a,b没有E的有限子覆盖，记a,b=ai,bi,二等分ai,b1,其中必有一区间没有E的有限子覆盖，记其为a?,b2,二等分a2,b2,如此继续下去，便得区间套an,bn,满足n,an,bn没有E的有限子覆盖.由区间套定理可唯一的OCrna,b,使lima=limb=r.11nnn-8nf00n1由E是a,b的覆盖，知(a,B)E,使a<r<B根据极限不等式，N1,当n>N1,有a<an,N2，当n>N2,有B>bn.取N=max(Ni,N2)，当n>N，有a<anBabn.又anwrwbn(n),当n>N,有an,

24、bn(a,B),与an,bn没有E的有限子覆盖矛盾.故a,b在E中存在有限子覆盖.定理证完.四、致密性定理证明其他定理1、致密性定理证明确界原理证明：设E是非空有上界的集合，设Q0为E的所有有理数上界令Q=r,r,r.r.r.令x=minr,r.r01123sn；n12n；xnQ0且单调下降有下界的数列。且显然有上界，由致密性定理知:Es.tlimxnk=自下面证明E=supE。ks(1)如果xE,s.txE,贝ux0-己>0N,s.tx<l+x0-己=x0*己<x002n220.xNQ0这与xN为E的上界矛盾.(2)如果己0>0,xE,s.txwjb由有理数稠密性定理

25、知r'Q,s.t0-0<r'cxE,x<r'r'为E的一个上界r'Q0这与yxnk<r矛盾.2、致密性定理证明单调有界定理证明：设xn是单调上升有上界的实数列.Vxn有界，由紧致性定理可得，xn的子数列xn;且收敛于r.即eA0,K,当kK时，有,n-r<"即r-£<xn<r+e,N=nK书,n>N,有xnxn>r-£.kK1.nk-00,n>N,nk<n,从而xn<xn，<r+*即|xn-r|<£.k£>0,N=nK七，

26、当n>nk书时，4-r|<£,limxn=r.定理证完.nfco3、致密性定理证明区间套定理证明：得区间套an,bn,知an单调递增且有上界，则an为有界数列，则由致密性定理知存在an的子列满足liman=a,同理存在bn的子歹1limbn=2k-k下面证明&=a,用反证法，如果&W2,则&<H.=-2>0,N>0,n>N,a-且<e,即a<己+£=2&*2311n1n13e=刍-3>0,N>0,n>N,b-L<£，即b>E-e=JLL2222n2n2&#

27、163;>0,N3,当nAN3时,bn-an<£N=max(Ni,N2,N3),当n>N时，bn-anA宝二上,矛盾3所以假设错误，原命题成立.4、致密性定理证明柯西收敛原则证明：首先证明基本列必有界，取E<1,必有一正整数，当m,n>N0时，有Xm-Xn<1,特别的当n>N0且m=N0+1时，有Xn-XN。出?1从而当nN0时，有Xn<Xn-XN0书+xn0由11+XN0平这就证明了Xn的有界性.下证Xn有极限存在.,Xn有界，由致密性定理可得，Xn的子数列Xnk且收敛于r.即£>0,K,当kK时，有Xnk-r|一2.

28、另外N1>0,当nANi,m>Ni时，Xn-Xm一2.取N=max(nK力，N1),nN时，取k0N,则xn-r=xn-xk0+xk0-r<Xn-xk0+xk0-r<£limXn=r.定理证完nco5、致密性定理证明有限覆盖定理证明：假设某一闭区间a,b的某个开覆盖E的有限个区间覆盖，等分a,b为两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被E的有限个区间覆盖，把这个区间记为lai,bi,再等分ai,bi,记不能被E的有限个区间覆盖的那个部分区间为la2,b2,照这样分下去得到一个区间列an,bn,这些区间适合下面3个条件：(1)每一个lan,bn都不能被E的有限个

29、区间覆盖(2)两个数列均为有界数列，且an:二bnb_a(3)b-a=一一0nn2n所以两个数列均春在收敛子列，记liman=a,limbn=&，下面证明&=A.kfCK)kkfCK)k若4*七2，由an<bn易知&<2£=学>0，K>0,n>Ka-<£，即a<己+£=2&+23ii.环""3e=2>0,K>0,n>K,b-g<£，即b>2-£=1+22322nk2'k3o0,N3,当naN3时，bn-an<

30、£N=max(Ni,N2,N3),当n>N时，-_bn-an-2)，矛盾3所以i=2，记liman=limbn=E.ko0kko0k由覆盖概念和定理所设条件，在E中至少存在一个开区间满足己(出心由数列极限的性质知道，必存在一个正整数K=max(Ki,K2)时，当k>K时，有a<ank<bnk<0即当nK时，有an,bn】(a,p)(n>nK)与(i)矛盾.所以假设错误，原命题成立.五、柯西收敛原则证明其他定理1、柯西收敛原则证明确界定理证明i:记A为数集E所有上界构成的集合，任取一个元素r属于Ak0N,满足r-k0不是E的上界，而r-(k0-i)为

31、E的上界，kii,238,9,满足r-(k0-i)-不是E的上界，而r-(k0-i)-员化为E的上界k21,238,9,满足r-甘匚-k2不是E的上界，而r-汇;生为E的上界k3123.8,9满足r-Eki-1k10k410k3不是E的上界，而r-万ki-1为E的上界3i上1010kn不是E的上界，而r-10nJkkn1,23.8,9,满足r-Xrif10令xn=r-77i-i卫101&0,N=lg，当m>n>N时,£xm-xnm工i=n1K-1i108m-n-11Zjr<10i毛108n1101<-n<&10所以xn是一个基本列且单调递

32、减，所以limxnnco1-10E,下面证明已为E的上确界.(1)如果xE,0N,n>N时，s.tx<+x0-x=x0+xNQ0这与xN为E的上界矛盾.(2)如果C.0,xE,s.txw±-b由有理数稠密性定理知r'Q,s.t&-E0<r'<ExE,x<r'r'为E的一个上界r'Q0这与yxnk<r矛盾.证明2：设数集A非空有上界，b1是A的上界，a1不是A的上界，a1<b1，用a1,b1的中点型力二等分a,b",如峭士也是A的上界，则取a2,b2=22a2b?不是A的上界，则取a2,

33、b2.a1bia1b1如果=,b1；用a2,b2的中点等分a2,b2如此继续下去，得数列an,bn满足n,an不是A的上界，bn是A的上界且lim(bn-an)=0.nco下证an是柯西列，:lim(bn-an)=nco又a<a<b<b,从而pZ*,|ann-1n1n西列从而收敛，设liman=r.nco最后证r=supA.n,an不是A的上界，o0,n,当n>N,有r-£<an<a<r.故r=supA.下证r是唯一的.即唯一的r,0,即e>0,N,n2N,bn-an<e.-a|<(b-a就a是柯n-pnnnnaA,使an&

34、lt;a.由liman=r,则ncoe>0,N,当n>N,有r-£<a<r,使n,an<r<bn.如果不然，若有r,r88满足rAan,bn,r，口岛,bn,则|r-r1<bn-an-0(n-3,故r=r，.即这样的n4n4r是唯一的.2、柯西收敛原则证明单调有界定理证明：设xn是单调上升有上界的实数列.用反证法和柯西收敛定理.若xn不存在极限.则£0>0,N,n>N,有Xn-xN=Xn-Xn卜©.依次取N1=1,ni>N1,使Xni-X1>3,N2=n1,n2>n1，使Xn2-Xm>0

35、,；Nk=nk-1,Pk>Nk,使Xnk-Xnk-1A0.把它们相加，得到x-x冰gnG,k>一，有X>G,与x有界n10ennkk矛盾，故Xn必有极限.3、柯西收敛原则证明区间套定理证明：e>0,N1>0,当门AN1时，bn-anRe，当m>n>N时，amc>0,N=N1an<an-bn<"由柯西收敛原则知liman=3n-00£>0,N=N，当m>nN时，b-b<la-b<3由柯西收敛原则知limb二七1mn1nnn2下面证明1=2用反证法，如果aW2,则刍多(an<bn).

36、63;=-20,N>0,n>N,ia-日<egJa<己+e=2-*&311n1n13e=J2二0,N2>0,n>N,|b-q"即bnA3-"1+2a320023o0,N3,当nN3时，bn-an<£N=max(Ni,N2,N3),当n>N时，bn-an>-,矛盾3所以假设错误，原命题成立.唯一性易证.4、柯西收敛原则证明致密性定理证明：首先证明有界数列xn有单调子数列.称其中的项xn有性质M,若对每个iAn,都有xn>xi,也就是说，xn是集合xn|i>n的最大数.分两种情形讨论：数列(Xn

37、有无穷多项具有性质M,将它们按下标的顺序排列，记为xni,xn2.xnk,满足ni：二n2：二.nk：二,那么我们就已经得到一个单调下降的子列x.数列an只有有穷多项具有性质M,那么N,当n>N,有xn不具有性质M,即i>n,有xn<为，从中任取一项记为xni,因为它不具有性质M,n2Ani,使iMx.,，如此继续下去，我们得到一子列xnk单调上升.不妨设xn有一个单调递增且有界的的子列xnk，若xnk不存在极限则£0>0,K,nk>nK,有xn-xn>0IkK依次BKii，nk>ni,Hlxn-xn>0,K2=ki,nk2>nk

38、,使xn-xn£01k.iiki2iKj=kj-i,nk>nk,佃-%>j-ikjj-i.x.G.xi»；把它们相加得xnknk>k，G，j>,有xv>G与1xnk）有界矛盾kij所以xnk有极限，证毕.5、柯西收敛原则证明有限覆盖定理证明：假设某一闭区间,b不能被某个开覆盖E的有限个区间覆盖，等分la,b为两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被E的有限个区间覆盖，把这个区间记为ai,bi,再等分fei,bi,记不能被E的有限个区间覆盖的那个部分区间为自2,b2,照这样分下去得到一个区间列an,bn,这些区间适合下面3个条件：(1)每一个la

39、n,bn都不能被E的有限个区间覆盖(2)两个数列均为有界数列，且an：二bnb.a(3) b-a=0nn2nb-a£>0,Na0,当nN时，有b-a|_一二,作数歹x=亘_bi,11nn2nn2£>0,N=N，当mnaN时，X-x|<lam-anl+lbm-bn<&1 mn|2 2所以xn为基本列，记limxn=己nco由覆盖概念和定理所设条件，在E中至少存在一个开区间满足己(&B)由数列极限的性质知道，必存在一个正整数K=max(K1,K2)时，当k>K时，有a<ank<bnk<0即当n>K时，有lan

40、,bn(B)(n>Ik)与(1)矛盾.所以假设错误，原命题成立.六、有限覆盖定理证明其他定理1、有限覆盖定理证明确界定理证明：设WER,A为E的所有上界组成的集合，xE,MA,则x<M,任取x0E,假设E无最小上界，则x【x。，M朋足：（1） x为E的上界时，则必有更小的上界x1<x,因而有x的一个开邻域其中皆为E的上界（2） x不为E的上界时，则必有X2E,X2>x,使得有x的一个开邻域x,其中皆不为E的上界所以区间b,M）的每一点均存在一个开邻域x要么为（1）要么为（2）,这些开邻域x：x1x0,M）组成了区间lx。，M的一个开覆盖，则由有限覆盖定理知存在有限覆盖x

41、i，x2Xn）覆盖区间区,M.所以M属于的开区间为（1）,相邻接的邻域如有公共点也应为（1）,依此类推经过有限次的邻接后，得xo也应为（1）,矛盾.2、有限覆盖定理证明单调有界原理证明：不妨设xn单调递增，且m<xn<M,假设xn的极限不存在，所以x1m,M,存在x的某个x邻域中只含有xn的有限项.否则如果有x1,x2,使得存在xn的两个子列xnk和xnk极限分别为x1,x2（不妨设x1<x2）£=x2-x1>0,K，当k>K时，x-xl<£,x<x1+x2211n'nckk2&=x2-x1>0,K,当k>K时，x'-x<e,x'>x1'x22122，n27n2右kk右则对充分大的K,有xkxnkMxjJk（k>j）但是xk<