第三章 复习用-概率与概率分布

1、随机变量的概率分布 (probability distribution) 离散型变量(discrete random variable) 连续型变量(continuous random variable)二项分布泊松分布正态分布变量几种常见的理论分布一、正态分布一、正态分布（一）正态分布的概率函数（一）正态分布的概率函数一个正态分布常用它的概率密度函数作定义，其公式为：一个正态分布常用它的概率密度函数作定义，其公式为：)()(21)(222xxxfef(x) 为正态分布的概率密度函数，表示某一定为正态分布的概率密度函数，表示某一定x值出现的概率值出现的概率密度函数值。密度函数值。总体平均数总体

2、平均数 总体标准差总体标准差 圆周率圆周率3.14159e为自然对数底为自然对数底2.71828 正态分布概率密度函数的图像，称为正态分布概率密度函数的图像，称为正态分布正态分布曲线曲线，简称，简称正态曲线正态曲线。 若一个连续型随机变量若一个连续型随机变量x取取值于区间值于区间a,b，其概率为，其概率为badxxfbxaP)()(ab（二）正态分布的特征（二）正态分布的特征12确定正态分布曲线在确定正态分布曲线在x轴上的中心位置。轴上的中心位置。决定正态曲线的展开度。决定正态曲线的展开度。 越大，曲线展开度越大越大，曲线展开度越大,数数据越分散；据越分散； 越小，曲线展开度越小，数据分布越集

3、越小，曲线展开度越小，数据分布越集中。中。 正态分布是依赖于参数正态分布是依赖于参数(，2 2) )的一个曲线系，正态曲线的的一个曲线系，正态曲线的位置及形态随位置及形态随(，2 2) )的不同而不同的不同而不同。（三）标准正态分布（三）标准正态分布X N (，2)uN(0，1)()(21)(222xxxfexuu u表示标准正态离差（表示标准正态离差（standard normal deviate)standard normal deviate)，它表示离开平均数它表示离开平均数有几个标准差有几个标准差。euuf22121)(f(u)称为标准正态分布称为标准正态分布(standard nor

4、mal distribution)或或u分布方程。分布方程。 标准正态分布的概率累积函数记作标准正态分布的概率累积函数记作F(u)，它是，它是变量变量u小于某一定值的概率。小于某一定值的概率。iuiiduufuuPuF)()()(ui 为了计算方便，对于不同的为了计算方便，对于不同的u值，计算出不同的值，计算出不同的F(u)，编成函数表，称为正态分布表，从中可以查到编成函数表，称为正态分布表，从中可以查到u任意一个任意一个区间内取值的概率。区间内取值的概率。uiP(-1u1)=u1)=P(-2u2)=u2)=P(-3u3)=u3)=P(-1.96u1.96)=u1.96)=P(-2.58u2.

5、58)=u2.58)=1 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算F(1) F(-1)=0.8413-0.1587F(-1)=0.8413-0.1587=0.68260.95450.99730.990.952 标准正态分布的临界值标准正态分布的临界值（1）上侧临界值）上侧临界值 曲线右侧尾区一定面积曲线右侧尾区一定面积a下，所对应的下，所对应的u值记为值记为ua，称之为称之为a的上侧的上侧临界值，满足临界值，满足P(u ua)=a。ua值可从附表值可从附表3查出。查出。 （2）下侧临界值）下侧临界值 曲线左侧尾区一定面积曲线左侧尾区一定面积 a 下，所对应的下，所对应的u值记为值记为-ua

6、 ，称之为，称之为a的下侧的下侧临界值，满足临界值，满足P(u- ua)= a 。（3）双侧临界值）双侧临界值 若将一定的曲线下面积若将一定的曲线下面积a平分到两侧尾区，则每一尾区的平分到两侧尾区，则每一尾区的曲线下面积只有曲线下面积只有a/2 ，满足，满足222uuPuuPuuP这时的这时的ua /2称为称为a的双侧临界值。的双侧临界值。提示：今后，一律用提示：今后，一律用“ua”表示表示a的的上侧临界值；上侧临界值；“-ua”表示的表示的a下侧临下侧临界值；界值；“ua/2”或或“ua(双侧双侧)”表示表示a的双的双侧临界值。侧临界值。（四）一般正态分布的概率计算（四）一般正态分布的概率计

7、算若随机变量服从正态分布若随机变量服从正态分布N(,2 2) )，则，则x x的取值落的取值落在区间在区间xx1 1,x,x2 2 的概率，记作的概率，记作P(xP(x1 1xxxx2 2) )。 21222)(2121)(xxxdxexxxP三、正态分布三、正态分布 一般情况下，随机变量一般情况下，随机变量X服从平均数为服从平均数为，标准差为，标准差为的正的正态分布，即态分布，即X N ( , 2 )。若要计算。若要计算X在某一区间取值的概率，在某一区间取值的概率，首先对首先对X进行标准化处理，使其变为标准正态变量进行标准化处理，使其变为标准正态变量u，然后再，然后再借助附表计算。借助附表计

8、算。)()()(212121uuuPxxxPxxxP)()(211221212uFuFdueuuu三、正态分布三、正态分布P(-P(- x+x+) )P(-2x+2)P(-2x+2)P(-3x+3)P(-3x+3)= =P(-1u1)u1)=0.6826=0.6826= = P(-2u2)u2)=0.9545=0.9545= = P(-3u3)u3)=0.9973=0.9973离散型随机变量的分布哺乳动物种子穗子生物个体雄性雌性发芽不发芽有芒无芒成活死亡对立事件二、二项分布的概率函数二、二项分布的概率函数 在在n次实验中有次实验中有x (0 xn)次发生事件次发生事件A的概率是多少？的概率是多

9、少？xnxxnqpCxP)(x=0,1,2，n 把把P(x)称为随机变量称为随机变量x服从参数为服从参数为n和和p的的二项分布二项分布(binomial distribution)，也称为贝努里分布，记作，也称为贝努里分布，记作B(n,p)。这种。这种“非此即彼非此即彼”的事件所构成的总体称为的事件所构成的总体称为二项总体二项总体。二项分布概率函数二项分布概率函数（二）二项分布的形状和参数（二）二项分布的形状和参数(1)(1)当当p p值较小且值较小且n n不大时，分布是不大时，分布是偏倚的。随偏倚的。随n n的增大，分布趋于对的增大，分布趋于对称；称；二项分布的二项分布的形状形状由由n n和

10、和p p两个参数决定。两个参数决定。（2 2）当）当p p值趋于值趋于0.50.5时，分布趋于时，分布趋于对称。对称。三、泊松分布三、泊松分布 在二项分布中，若某事件出现的概率很小在二项分布中，若某事件出现的概率很小(P0) ，而样本，而样本含量含量n又很大又很大( n)，这时的二项分布称为泊松分布，这时的二项分布称为泊松分布(Poisson distribution) 。可见，泊松分布是二项分布的一种极限分布。可见，泊松分布是二项分布的一种极限分布。泊松分布的概率函数泊松分布的概率函数 可由二项分布概率函数推导出来可由二项分布概率函数推导出来!)(xexPl l - x1)(xp为参数，为参

11、数，= =npnp x = ,1,2,p(x) Cnxpx(1-p)n-x!)(xexPl l - x=2 2 = =lP( )p(x) Cnxpx(1-p)n-x n p )1 (pnp 2 2=np(1-p)=np(1-p)= np =np =P( )的形状由的形状由确定确定 较小时，泊松分布偏倚。较小时，泊松分布偏倚。 增大时，泊松分布趋于对称。增大时，泊松分布趋于对称。 无限增大时，泊松分布接近正态分布。无限增大时，泊松分布接近正态分布。形状形状形状形状形状形状二、泊松分布二、泊松分布对于小概率事件，可用泊松分布描述其概率分布。对于小概率事件，可用泊松分布描述其概率分布。二项分布当二项

12、分布当p0.1和和np30n30 xsxu),(/2Nnsx当当2 2未知，未知，且且n30n30时，其曲线接近正态分布曲线，时，其曲线接近正态分布曲线，df 时则和正态分布曲时则和正态分布曲线重合。线重合。xSxxS（4）t 分布曲线与横轴所围成的面积为分布曲线与横轴所围成的面积为1。同标准正态分布曲线一样，统计应用中最为关心的是同标准正态分布曲线一样，统计应用中最为关心的是 t 分布曲线下的面积（即概率分布曲线下的面积（即概率）与横轴）与横轴 t 值间关系。值间关系。为使用方便，统计学家编制不同自由度为使用方便，统计学家编制不同自由度 df 下的下的 t 值表值表。t df,表示什么表示什

13、么?双尾概率双尾概率 t 10, 0.05= 2.228表示具有自由度表示具有自由度df 的的t分布上的第分布上的第100的的百分位点（统计学称为临界值）。百分位点（统计学称为临界值）。单尾概率单尾概率 t 10, 0.05= 1.812在相同的自由度在相同的自由度 df 时，时，t 值越大，概率值越大，概率 P 越小。越小。在相同在相同 t 值时，双尾概率值时，双尾概率 P 为单尾概率为单尾概率 P 的两倍。的两倍。12df 增大，增大，t 分布接近正态分布，即分布接近正态分布，即 t 值接近值接近u值。值。3四、四、x2 分布分布 从方差为从方差为2 2的的正态总体中，随机抽取正态总体中，

14、随机抽取k个独立样本，个独立样本，计算出样本方差计算出样本方差S2 2，研究其样本方差的分布。，研究其样本方差的分布。则则 服从自由度为服从自由度为df=k -1的卡方分布。这个分布常被记为的卡方分布。这个分布常被记为 。2 如果从如果从uN(0，1)总体中随机抽取总体中随机抽取k个独立样本，就可个独立样本，就可以得到以得到u1、 u2、 u3、 uk，则定义它们的和为则定义它们的和为 ，即，即22n2222211222322212)()(.dfsxxuuuuukkiikdf = k-122121222)2(2)()(edffdfdf)()()(20222dfF概率密度函数概率密度函数概率累积

15、函数概率累积函数 分布的平均数分布的平均数t t和方差和方差t t2 2nnx2nnx2222n 分布与分布与 t 分布一样，是具有参数（自由度）的一类分分布一样，是具有参数（自由度）的一类分布。不同于布。不同于 t 分布的是，它不是对称分布，区间分布的是，它不是对称分布，区间0,+ ）即只有正值，并且呈反即只有正值，并且呈反J型的偏斜分布。型的偏斜分布。1 分布的偏斜度随自由度降低而增大，当自由度分布的偏斜度随自由度降低而增大，当自由度df=1时，时，曲线以纵轴为渐近线。曲线以纵轴为渐近线。2随自由度随自由度df的增大，的增大， 2 2分布曲线渐趋左右对称，当分布曲线渐趋左右对称，当df30

16、时，卡方分布已接近正态分布。时，卡方分布已接近正态分布。32n2n表示具有自由度表示具有自由度n 的卡分布上的第的卡分布上的第100的百分位点（统计学称为临界的百分位点（统计学称为临界值）。值）。2,nP P（2 2 5.995.99）0.050.05P P（2 2 0.100.10）0.950.9599.5205.0,210.0295.0,2五、五、F 分布分布 设从一正态总体设从一正态总体N(,N(,2 2) ) 中随机抽取样本容量为中随机抽取样本容量为n1、n2的的两个独立样本，其样本方差为两个独立样本，其样本方差为s12、 s22，则定义其比值：，则定义其比值：此值具有此值具有s12的

17、自由度的自由度df1=n1-1和和s22的自由度的自由度df2=n2-1。2221ssF 如果对一正态总体在特定的如果对一正态总体在特定的dfdf1 1和和dfdf2 2进行一系列随机独立抽进行一系列随机独立抽样，则所有可能的样，则所有可能的值就构成一个值就构成一个分布。分布。分布的概率密度函数是两个独立分布的概率密度函数是两个独立2 2变量的概率密度所构成的变量的概率密度所构成的联合概率密度。联合概率密度。221122221212121121)()2()2()2()(dfdfdfdfdfdfFdfFdfdfdfdfdfdfFf分布是随自由度分布是随自由度dfdf1 1和和dfdf2 2进行变化的一组曲线。进行变化的一组曲线。分布的平均数分布的平均数F F=1 =1 ，的取值区间为，的取值区间为0,+0,+）分布曲线的形状仅决定于分布曲线的形状仅决定于dfdf1 1和和dfdf2 2。在。在dfdf1 11 1