第五章 随机过程通过线性系统

1、第五章第五章随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析 确定系统确定系统确定信号确定信号？确定系统确定系统随机信号随机信号？随机系统随机系统确定信号确定信号？随机系统随机系统随机信号随机信号？Signals & Systems2022-3-2835.1 5.1 线性系统基本理论线性系统基本理论5.2 5.2 连续时间系统的线性系统分析连续时间系统的线性系统分析5.3 5.3 离散时间系统的线性系统分析离散时间系统的线性系统分析5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽5.5 5.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程5.6 5.6 窄带随机过程表示

2、窄带随机过程表示5.7 5.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随机过程包络和相位的特性5.8 5.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性2022-3-284基本要求基本要求 熟练掌握随机过程通过线性系统的时域和频域分析方法，熟练掌握随机过程通过线性系统的时域和频域分析方法，掌握测量系统冲激响应的方法。掌握测量系统冲激响应的方法。 掌握高斯随机信号激励下，系统输出的概率密度的计算。掌握高斯随机信号激励下，系统输出的概率密度的计算。 掌握等效噪声带宽的计算。掌握等效噪声带宽的计算。 掌握希尔伯特变换及解析过程的表示形式和性质。掌握希尔伯特变换及解析过

3、程的表示形式和性质。 掌握窄带随机过程的莱斯表示和准正弦表示，并能解决相掌握窄带随机过程的莱斯表示和准正弦表示，并能解决相应的问题。应的问题。 掌握使用包络检波器、包络平方检波器和相位检波器时，掌握使用包络检波器、包络平方检波器和相位检波器时，输出信号包络和相位的概率分布。输出信号包络和相位的概率分布。2022-3-285系统可分为：系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计

4、特性，可以求出系统输 出信号的统计特性出信号的统计特性2022-3-286我们限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、线我们限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。性的和物理可实现的稳定系统。连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：连续与离散系统：（1）线性性：线性性：（2）时不变：）时不变： 线性时不变系统：线性时不变系统：1212( )( ) ( )( )L ax t

5、bx taL x tbL x t称作算子L00() ()y ttL x tt2022-3-287 什么是线性系统？什么是线性系统？时不变线性系统时不变线性系统连续时不变线性系统连续时不变线性系统离散时不变线性系统离散时不变线性系统2022-3-288时不变时不变线性线性系统系统若任意常数若任意常数a, b, 输入信号输入信号x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)若输入信号若输入信号x(t)时移时间时移时间C,输出输出y(t)也只引起一个相同也只引起一个相同的时移，即的时移，即y(t-C) = Lx(t-C)L.x(t)y(t) =

6、Lx(t) 什么是线性系统？什么是线性系统？2022-3-289连续连续时不变时不变线性线性系统系统若任意常数若任意常数a, b, 输入信号输入信号x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)h(t)x(t)y(t) = x(t)*h(t) 什么是线性系统？什么是线性系统？)()()()()()()(thtxdthxdhtxty2022-3-28105.1.2 连续时不变线性系统的分析方法连续时不变线性系统的分析方法1. 时域分析2频域分析3. 物理可实现的稳定系统)()()()()()()(thtxdthxdhtxtyy( )( )X(

7、 )Hx( )( )j tx t edtdtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs0t0)(th如果当时，所有实际的物理可实现系统都是因果的。，那么该系统称为因果系统。2022-3-28115.1.3 离散时不变线性系统的分析方法离散时不变线性系统的分析方法1. 时域分析2频域分析3. 物理可实现的稳定系统如果当时，那么该系统称为因果系统。)()()()()()()(nhnxknhkxkhknxnykky()x()()jjjeeH ex()( )jjnnex n enjnjenheH)()(y( )x( )( )zz H zjez 0)(nh0n物理可实现稳定系统的极点都

8、位于z平面的单位圆内。 2022-3-28125.1.4 卷积积分回顾卷积积分回顾 tftf21 dtff21 tftf21 dtff211.卷积积分计算卷积积分计算 dtff212022-3-28132.冲激函数性质冲激函数性质 ttf tf0 1tttf 11ttttf ttf dtf 1tttf1ttf tf dtf2022-3-2814 在给定系统的条件下，输出信号的某个在给定系统的条件下，输出信号的某个统统计特性计特性只取决于输入信号的只取决于输入信号的相应的相应的统计特统计特性性。 根据输入随机信号的根据输入随机信号的、相关函数相关函数和和功功率谱密度率谱密度，再加上已知线性系统，

9、再加上已知线性系统单位冲激单位冲激响应响应或或传递函数传递函数，就可以求出输出随机信，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度号相应的均值、相关函数和功率谱密度 分析方法：卷积积分法；频域法。分析方法：卷积积分法；频域法。5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2815 5.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输

10、出的高阶距、系统输出的高阶距5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2816 5.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距 输入为随机信号X(t)的某个的，则为：)(tx0)()()(dtxhty系统的单位冲激响应一个确定性函数一个确定性函数5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连

11、续时间系统的分析2022-3-2817 5.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距X( ) t0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t对于随机信号对于随机信号任意一个样本函数均成立。任意一个样本函数均成立。： 那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信

12、号通过连续时间系统的分析2022-3-2818 5.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t证明证明 X( ) tYX0( )mmhd若若为平稳为平稳SP，则，则5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续

13、时间系统的分析2022-3-2819 5.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输

14、入输出相关函数为输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2820 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为XY1212120( , )X( )Y( )X( )( )X()Rt tEttEth utu du120( )

15、X( )()h u Et X tu duX120( )( ,)h u Rt tu duX122( , )* ( )Rt th t YX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th tXY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru du X( )()Rh若输入为平稳随机过程若输入为平稳随机过程5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2821 5.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、

16、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距结论：结论：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数输出端的自相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt t5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2822证明：证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出

17、端的自相关函数输出端的自相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY1212( , ) ( ) ( )Rt tE Y t Y t1200( )X()( )X()Eh utu duh vtv dv1200( ) ( ) X()X()h u h v Etutv dudv X1200( ) ( )(,)h u h v Rtu tv dudv 0210,dudvvtutRvhuhX 021,dututRuhXY 211,*ttRthXY dvduvtutRuhvhX0210, 021,dvvttRvhYX 212,*ttRthYX5

18、.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2823证明：证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数输出端的自相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY121XY12( , )( )( , )Rt th tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXX00( )( ) ( )()( )( )()Rh u h v Ruv dudvRhh XYYX( )()( )( )RhRh 若为平稳随机过程，则有：

19、若为平稳随机过程，则有：5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2824 5.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距系统输出的系统输出的n阶矩的一般表达式为阶矩的一般表达式为 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX th t

20、h th t5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析小小 结结Y12( , )Rt t12X12( )( )( , )h th tRt t X( )* ( )Ymtmth t输出均值输出均值输入输出互相关函数输入输出互相关函数XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t输出自相关函数输出自相关函数1XY12( )( , )h tRt t2YX12( )( , )h tRt tYX0( )mmhd平稳随机过程XY( )R)()(hRXYX( )RX( )()RhYX(

21、)( )( )()RRhhXYYX( )()( )( )RhRh5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2826 例例5.1 设随机信号设随机信号X(t)= ，其中，其中M是均值为是均值为5，方差为方差为64的高斯随机变量，的高斯随机变量，B是均值为是均值为2且服从瑞利分布的随机变且服从瑞利分布的随机变量，量， 之间均匀分布的随机变量，将该信号送入到之间均匀分布的随机变量，将该信号送入到tBM20cos0 2为在（ ， ）冲激响应为冲激响应为 的线性系统，已知的线性系统，已知M、B和和 相互相互 )(1010tUetht统计独立，求系统输出的均

22、值。统计独立，求系统输出的均值。解：解： tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0tBMEutXE20cos5ME tmY duuh05dtet01010555.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2827 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例5.2 如图如图3.1所示的低通所示的低通电路，已知输入信号电路，已知输入信号是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为，假设，假设是相关函数为是相关函数为的白噪声，求：的白噪声，求：求输出均值；求输出均值；输出的自相关函数；输出的自相关函数；输出平均功

23、率；输出平均功率；输入与输出间互相关函数：输入与输出间互相关函数：5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2828解：解： thtXtY系统的冲激响应为 ， ，输出信号为 tUbethbtRCb1(1) 输出信号均值输出信号均值 tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0 duuhmX0Xm(2) 输出自相关函数输出自相关函数 tYtYERY dvvtXvhduutXuhE005.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2829 dudvvtXutXEuhvh 00 dudvvuRuhvh

24、X 00 dudvvuNuhvh 0002 dvduvuNvhuh0002 duuhuhN0020dubebeNubbu002dueebNbub02202bebN405.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2830由自相关函数的偶函数特性， 时有0 bYebNR40所以 bYebNR40(3) 输出平均功率输出平均功率 400bNRQY(4) 输入输出互相关函数输入输出互相关函数 hRRXXY duuRuhX05.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2831 duuNuh002 其它, 00,2

25、0hN XYYXRR0,20, 00hN5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2832 例例5.3 应用举例：设某线性系统输入为相关函数应用举例：设某线性系统输入为相关函数0X( )( )2NR 的白噪声，如果测得系统输入和输出的互相关函数，的白噪声，如果测得系统输入和输出的互相关函数，求这个线性系统的单位冲激响应。求这个线性系统的单位冲激响应。 hRRXXY duuNuh002 0,20hN 0,20XYRNh5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2833 eNRX40例例5.4 设设X(

26、t)的自相关函数为的自相关函数为 ，线性系统的，线性系统的冲激响应为冲激响应为 ， ， ，为各，为各自的半功率带宽，自的半功率带宽， 求输出信号的自相关函数。求输出信号的自相关函数。 tUbethbt2f2bfbb解：解： tYtYERY dudvvuRuhvhX 00dudveNeebvubvbu 00024两种情况和时，分对vuvu05.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2834dudveedveeebNvuubvvuubvbu00204bebebbN22204 bYebebbNR22204b由于由于 bbYebNebbNR440220近

27、似为白噪声通过线性系统后的输出自相关函数，即当系统的输近似为白噪声通过线性系统后的输出自相关函数，即当系统的输入信号的带宽远大于系统带宽时，可把输入信号近似看作白噪声。入信号的带宽远大于系统带宽时，可把输入信号近似看作白噪声。5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2835 5.2.1 时域分析法时域分析法 系统输出的平稳性和遍历性系统输出的平稳性和遍历性 前提: 系统处于稳定状态时。在这种情况下，t=0系统输出响应在已处于稳态 结论1：若输入是 宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) t结论2：若输入

28、是严平稳的，则输出 也是严平稳的。 X( ) tY( ) t结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2836结论1：若输入是 宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) tX( ) tXX( )mtm常数X12X( , )( )Rt tR12tt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )Rt tX0( )()h

29、 u Ru du X( )()RhYX( )R若输入若输入为宽平稳随机过程，则有：为宽平稳随机过程，则有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2837结论2：若输入 是严平稳的，则输出 也是严平稳的。 X( ) tY( ) t因为0Y( )( )()thX td 对于时不变系统，若时移常数T，有0Y()( )()tThX tTd输出 和 分别是输入 和 与 的卷积，即可以表示成级数和的形式。由于随机信号 是严平稳的，所以 与

30、 具有相同的n维概率密度函数，这样 与 也应该具有相同的n维概率密度函数，即是严平稳的。Y()tTY( ) tX()tTX( ) t)(thX( ) tX()tTX( ) tY()tTY( ) t5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2838由 的宽遍历的定义得 结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t则输出 的时间平均XX( ) tmXX( )()( )t X tRX( ) tY( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh

31、u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2839结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y(

32、)2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u duTX0() ( )Ru h u duXY( )R 5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2840 5.2.2 频域分析法频域分析法 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续

33、时间系统的分析2022-3-2841 5.2.2 频域分析法频域分析法 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H thtmtmXY HmmXY对于平稳过程对于平稳过程5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2842 5.2.2 频域分析法频域分析法 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、

34、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHjsYX( )( )( )()SsSs H s Hs 由，两边取付氏变换得： 表示，有： 5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2843 5.2.2 频域分析法频域分析法 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 XYX( )( )( )S

35、SHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s hRRXXY hRRXYX5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2844 5.2.2 频域分析法频域分析法 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 dteetfdtetfsFtjtst)()()(js)(tftetf)(当不可积时，可积。因此对于随机信号，通

36、常情况下其拉氏变换存在。 5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-2845 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例5. 图示的低通图示的低通电路，已知输入信号电路，已知输入信号是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为，假设，假设是相关函数为是相关函数为的白噪声，求：的白噪声，求：求输出均值；求输出均值；输出的自相关函数；输出的自相关函数；输出平均功率；输出平均功率；输入与输出间互相关函数：输入与输出间互相关函数：5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析解解: thtXt

37、Y系统的冲激响应为 ， ，输出信号为 tUbethbtRCb1由于输入信号是平稳的,因而输出信号Y(t)也是平稳的(1) 输出信号的均值00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm HXm() 输出信号自相关函数 2HSSXY22202bbN bYebNR40所以5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析47() 输出信号平均功率 400bNRQY() 输出输入互相关函数 HSSXXYjbbN20 XYYXRR0,20, 00hN 其它, 00,20hN XYR所以所以5.2 5.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-3-

38、2848 5.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2849 5.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数0)()()(dtxhty0Y( )( )X()knh knk系统的输出等于输入信

39、号与单位冲激响应的卷积和 可以证明，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下，上式在均方收敛的意义下是存在的。 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2850 5.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 证明证明 若若为平稳为平稳 SP，则，则Y0( ) ( )( ) ()kmnE Y nh k E X nkYX0( )kmmh kX( )n5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离

40、散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2851 5.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 XY( ,)( ) ()Rn nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmkX0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )

41、( )()()*( )kRmh k RmkhmRm5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2852 5.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()kjEh k X nkh j X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nm

42、j 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2853 5.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m 2X00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的

43、分析的分析2022-3-2854 5.3.2 频域分析法频域分析法 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2855 5.3.2 频域分析法频域分析法 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 若系统输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的，那么有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXYX( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H

44、zSz1XYYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eS2YXX( )()()( )()( )jjjSH eH eSH eS5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2856 5.3.2 频域分析法频域分析法 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 系统输出的自相关函数为 11( )( )2mYYlRmSz zdzj2YX1( )()( )2jjmRmH eSed5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统

45、的分析的分析2022-3-2857 5.3.2 频域分析法频域分析法 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 2111( )( )()( )2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1( )()( )2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的单位圆 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2858 5.3.3 色噪声的产生和白化滤波器色噪声的产生和白化滤波器 问题：如何设计一个线性系统，使输入为白噪声时，输出问题：如何设计一个线性系统，使输入为白噪声时，输出信号具有所希望的功率谱密

46、度？信号具有所希望的功率谱密度？问题：如何设计一个线性系统，将输入的色噪声转化为输出问题：如何设计一个线性系统，将输入的色噪声转化为输出是白噪声？是白噪声？5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-28591. 色噪声的产生色噪声的产生设输入信号为具有单位功率谱密度的白噪声，则系统输出信号的功率谱密度为 sHsHsSsSXY sHsH 2HSY 1zHzHzSzSXY2jjYeHeS 1zHzH 5.3.3 色噪声的产生和白化滤波器色噪声的产生和白化滤波器 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析谱分解定理谱分

47、解定理1：对于实平稳连续时间随机信号，若其功率谱密度是：对于实平稳连续时间随机信号，若其功率谱密度是一个有理谱，则存在一个有理函数，它的极点在一个有理谱，则存在一个有理函数，它的极点在s平面的左半面，零点全在左半面或虚轴上，且满足：平面的左半面，零点全在左半面或虚轴上，且满足： sSY sSY sSY sSsSYY谱分解定理谱分解定理2：对于实平稳离散时间随机信号，若其功率谱密度是：对于实平稳离散时间随机信号，若其功率谱密度是一个有理谱，则存在一个有理函数，它的极点在单一个有理谱，则存在一个有理函数，它的极点在单位圆内，零点全在单位圆上或单位圆内，且满足：位圆内，零点全在单位圆上或单位圆内，且

48、满足： zSY zSY YSz YYSz Sz 5.3.3 色噪声的产生和白化滤波器色噪声的产生和白化滤波器 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2861 sSY sHsH sSY sSsSYY所以 sSsHY zSY zHzH zSY zSzSYY所以 zSzHY连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统 5.3.3 色噪声的产生和白化滤波器色噪声的产生和白化滤波器 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2862解:由题知 9104925242ssssSY33115757sssss

49、s sSY3157sss sSsHY例例5.6 设计一稳定线性系统设计一稳定线性系统,使其在具有单位谱的白噪声使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为激励下输出谱为: 9104925242YS3157sss5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2863解:由题知 91064244ssssSY33118888ssssjsjsss sSY sSsHY例例5.7 设计一稳定线性系统设计一稳定线性系统,使其在具有单位谱的白噪声使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为激励下输出谱为: 91064244YS3188ssjss3188ssjss5.3 5.3

50、随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-28642. 白化滤波器白化滤波器 1sHsHsSsSXY sSsHsHX1 sSsSXX1 sSsHX1 11zHzHzSzSXY zSzHzHX11 zSzSXX1 zSzHX1连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统 5.3.3 色噪声的产生和白化滤波器色噪声的产生和白化滤波器 5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析例例5.8 求功率谱密度为求功率谱密度为 的白化滤波器的白化滤波器. cos25. 1cos4 . 004. 1XS cos25. 1cos4 . 004.

51、 1XS解解:jwjwjwjweeee5 . 025. 12 . 004. 1 115 . 025. 12 . 004. 1zzzzzSX115 . 05 . 02 . 02 . 0zzzz 5 . 02 . 0zzzSX 2 . 05 . 01zzzSzHX5.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的分析的分析2022-3-2866例例5.9 求功率谱密度为求功率谱密度为 的白化滤波器的白化滤波器. 9322XS解解: 33sssSX 331sssSsHX 9322XS 9322sssSXssss33335.3 5.3 随机信号随机信号通过通过离散离散时间系统时间系统的

52、分析的分析2022-3-28675.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽5.4.1 3dB带宽带宽2022-3-28685.4.2 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析)(H)(sHX( )S20N设连续线性系统的传递函数为设连续线性系统的传递函数为 ，或或其输入白噪声功率谱密度为其输入白噪声功率谱密度为 ，那么系统输出的功率谱密度为那么系统输出的功率谱密度为 20Y( )( )2NSH或物理谱密度为或物理谱密度为2Y0( )( )GHN0注意注意：该式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出该式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度

53、主要由系统的幅频特性决定，不再保端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定，不再保持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-28695.4.2 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析20Y( )( )4jNRHedduuhuhN00)()(2输出自相关函数为输出自相关函数为 输出平均功率为输出平均功率为2200( )( )2NE YtHd 5.4 3dB5.4

54、3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-28705.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 引入目的：引入目的： 当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。性是困难的。 在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，矩形的理想系统等效代替实际系统， 等效时要用到一个非常重要的概念等效时要用到一个非常重要的概念等效噪声等效噪声带宽带宽，它被定义为理想系统的带宽。，它被定义为理想系统的带宽。5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3

55、-28715.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-2872 等效原则等效原则 理想系统与实际系统在同一白噪声激励下理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两两个系统的输出平均功率相等个系统的输出平均功率相等理想系统的增益等于实际系统的最大增益理想系统的增益等于实际系统的最大增益5.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-2873计算实际系统的等效噪声带宽计算实际系统的等效噪声带宽e H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率谱

56、密度为功率谱密度为20N白噪声激励白噪声激励 消耗在消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为电阻上的系统输出端总平均功率为 dwwHNtYE02022理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为 22200202ewwKNdwKNtYEe5.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-2874 实际系统的等效噪声带宽为实际系统的等效噪声带宽为 dwwHwHwe022max1对于一般的低通滤波器对于一般的低通滤波器)( H的最大值出现在的最大值出现在 0处，即处，即)0()(maxH

57、H 对于中心频率为对于中心频率为0 带通系统带通系统(如单调谐回路如单调谐回路) )( H的最大值出现在的最大值出现在处，即处，即0 )()(0maxHH5.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-2875 实际系统的等效噪声带宽为实际系统的等效噪声带宽为 dwwHwHwe022max1 dssHsHwHjwjje2max21拉氏变换拉氏变换 代入代入 2max02wHwNPe dwwHNtYE02022系统输出平均功率系统输出平均功率 5.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带

58、宽和等效噪声带宽2022-3-2876小结：小结：由系统的等效噪声带宽由系统的等效噪声带宽e 可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数e 和和max)( H就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。 5.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-2877解: dHHe022max1例例5.10 计算低通滤波器计算低通滤波器 的等效噪声带宽的等效噪声带宽 jbbH和和3dB带宽。带宽。 由 知 ， jbbH 222

59、2bbH 10 HHmax所以，等效噪声带宽dbb02220arctanbbb22eef4b5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽又因为 222bbH所以21222bbb3dB带宽为2bf 5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽例例5.10 计算低通滤波器计算低通滤波器 的等效噪声带宽的等效噪声带宽 jbbH和和3dB带宽。带宽。 2022-3-2879解: dHHe022max1例例5.11 计算低通滤波器计算低通滤波器 的等效噪声带宽的等效噪声带宽 0,2H和和3dB带宽。带宽。 所以，等效噪声带宽d02241322eef31由 知 ，

60、222H 20 HHmax 2H5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-2880wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱输出的物理谱输出的物理谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 5.4.4 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/2 其它0( )XGN5.4 3dB5.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽2022-3-2881wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数