北京航空航天大学材料力学课件-刘华-6第六章弯曲应力

1、Page1 Page2FFPage3F FB BC CA A伽利略：伽利略：关于力学和局部运关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数动的两门新科学的对话和数学证明，学证明，1638.1638. 历史回顾历史回顾Page4FsM弯曲正弯曲正应力应力弯曲切弯曲切应力应力dAdAFSM 弯曲时横截面上的应力弯曲时横截面上的应力Page5对称弯曲对称弯曲纯弯曲纯弯曲外力作用在纵外力作用在纵向对称面上向对称面上横截面上横截面上只有弯矩只有弯矩纵向对称面纵向对称面MMM 对称弯曲与纯弯曲对称弯曲与纯弯曲Page6横截面上的内力与应力的关系：横截面上的内力与应力的关系：AMydA 弯曲应力问题是一个弯曲应力

2、问题是一个静不定问题静不定问题 研究思路研究思路 静不定问题的分析方法静不定问题的分析方法 几何、物理、静力学几何、物理、静力学三方面分析三方面分析l几何方面几何方面观察观察外部外部变形变形方法：方法：假设假设内部内部变形变形建立几何方程建立几何方程Page7实验观测与假设实验观测与假设（动画）（动画）横线：横线：仍为直线仍为直线仍与纵线正交仍与纵线正交两横线相对转动两横线相对转动纵线：纵线：变为曲线变为曲线上缩短，下伸长上缩短，下伸长横截面：横截面：上宽度变宽，上宽度变宽， 下宽度变窄。下宽度变窄。1、平面假设：、平面假设： 变形后，横截面仍为平面，变形后，横截面仍为平面， 且仍与纵线正交且

3、仍与纵线正交2、单向受力假设：、单向受力假设： 梁内各纵向纤维仅受轴向应力梁内各纵向纤维仅受轴向应力内部变形内部变形Page8 推论推论：MM一侧伸长，一侧缩短一侧伸长，一侧缩短存在既不伸长，也不缩短的面存在既不伸长，也不缩短的面中性层中性层中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层中性轴：中性层与横截面的交线中性轴：中性层与横截面的交线Page9 建立几何方程建立几何方程：考察线段考察线段ab的变形：的变形：abdxd 变形前：变形前：变形后：变形后：()a by d a babyd ydydxd zxabyo1o2abydx中性层中性层o2o1xd abo1o2dxyPage102、物理方面、物

4、理方面：由胡克定律和单向受力假设：由胡克定律和单向受力假设：yEE y y 偏离中性轴的坐标值偏离中性轴的坐标值 中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性轴位置中性轴位置？ 的大小的大小?yE Page113、静力学方面、静力学方面：0AdA AydAM 0AydA 确定中性确定中性轴位置轴位置确定中性层确定中性层的曲率半径的曲率半径2AEy dAM 2zAIy dA 1zMEI 定义定义y yE Iz: 截面对截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩EIz: 梁截面的弯曲刚度梁截面的弯曲刚度AydAyAC MdAzyzM yI Page12zM yI maxmaxmax/zzMyMIIy zzIWy 定义定

5、义maxzMW （抗弯截面系数）（抗弯截面系数）正应力沿截面如何分布？正应力沿截面如何分布？Page13 34132D 464D 44164D 332D 3112bh216bh截面截面zIzWDzyoDzyodhzyob()d D 典型截面的惯性矩与抗弯截面系数典型截面的惯性矩与抗弯截面系数Page14 截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。拉压拉压：,FFllAEA 扭转：扭转：m ax,PPPTTTlIWGI 弯曲：弯曲：max,zzMyMIW A, IP, WP, Iz, Wz表征截面几何性质的量表征截面几何性质的量 我们已经学习了哪

6、些截面的几何性质？我们已经学习了哪些截面的几何性质？Page15一、一、 静矩静矩zAyASydASzdA zyoyzdA积分积分分别称为对坐标轴分别称为对坐标轴z和和y的静矩的静矩或一次矩。或一次矩。静矩的量纲：静矩的量纲：3LPage16二二. . 形心形心zyoyzdACzcyc,zyAASydASzdA 静矩静矩：回顾形心的计算公式：回顾形心的计算公式：zcycSyASzAASAydAyzAc 若坐标轴通过形心时，截面若坐标轴通过形心时，截面对该轴的静矩为零，反之，对该轴的静矩为零，反之，若截面对某轴的静矩为零，若截面对某轴的静矩为零，该轴必通过截面形心。该轴必通过截面形心。Page1

7、7三、三、 组合截面的静矩与形心组合截面的静矩与形心zAAAAcccSydAydAydAydAyAyAyA312123123123 zyoA1A2A311inniciziicSyASyAAA zyoA1A2()()zzzSSS整整孔孔()()()()zzcSSyAA 整整孔孔整整孔孔负面积法负面积法Page18例：例： 确定下图所示截面的形心位置确定下图所示截面的形心位置60105010yzA1A2112212cccyAyAyAA 解：解：将截面分为两部分，将截面分为两部分，利用组合截面的公式：利用组合截面的公式：ASyzc/ yC1=5mmyC2=10+60/2=40mmPage19zyoy

8、zdA 22,zyAAIy dAIz dA 2pAIdA 一、一、 截面对截面对o点的极惯性矩或二次极矩点的极惯性矩或二次极矩二、二、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性矩轴的惯性矩 或二次轴矩或二次轴矩三、三、 一个恒等式一个恒等式222()pzyIIIzy Page20zyoyzdA 五、五、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性半径轴的惯性半径,yzyzIIiiAA四、四、 截面对截面对z轴与轴与y轴的惯性积轴的惯性积yzAIyzdA 六、六、 惯性矩与惯性积的组合截面公式惯性矩与惯性积的组合截面公式zyoA1A2A3y111,nnnzziyiyzyziiiiIIIIIIPage2122022

9、00()(2)zAAAIy dAya dAyaya dA 22,zyAAIy dAIz dA yzAIyzdA 一、一、 惯性矩的平行轴定理惯性矩的平行轴定理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系二者平行二者平行200 dzAIyA 00 dAyA 02zzIIa A同理同理:02yyIIb APage22Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系dyzAIyz A 000000d,d0,d0y zAAAIy zAyAzA 00dyzAIaybzA 二者平行二者平行二、二、 惯性积的平行轴定理惯性积的平行轴定理00,yayzbz0

10、 0yzy zIIAabPage23例：例： 求下图所示截面对求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩方向形心轴的惯性矩yz100100101020201、求全截面形心轴位置、求全截面形心轴位置41iciicyAyA 2、求对个部分自身形心、求对个部分自身形心 轴的惯性矩轴的惯性矩A4A1A2A3z0044211()zziz iiiiiIIIa A 解：解：方法一，如图将截面划分四块方法一，如图将截面划分四块2,1,2,3,4ziiAIy dAi 3、求对全截面形心轴惯性矩、求对全截面形心轴惯性矩方法二：负面积法。方法二：负面积法。 自行完成自行完成Page24思考：思考：下列计算是否正确？下列计

11、算是否正确？ 其中其中C是截面形心。是截面形心。212ZZIIAa解：解：不正确。不正确。 因为因为 Z1 不是形心轴不是形心轴Ca1z2zPage25一些易混淆一些易混淆的的概念概念 对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横 向外力时向外力时 的受力与变形形式的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲杆段各截面的弯矩为常数、剪力为曲杆段各截面的弯矩为常数、剪力为 零的内力状态零的内力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截

12、面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲代表梁截面几何性质对弯曲 强度的影响强度的影响中性轴中性轴与与形心轴形心轴对称弯曲对称弯曲与与纯弯曲纯弯曲 截面弯曲刚度截面弯曲刚度与与抗弯截面系数抗弯截面系数Page26例例: : l=1m,b=30m,t=5mm, = - 0.001, = 0.0005, E=200GPa, 求求 D上上 D下下tb1h2hhztCABCDq/2l/4lx/4l 1 1、梁内的绝对值、梁内的绝对值最大正应力；最大正应力； 2 2、梁底部纵向总、梁底部纵向总伸长量伸长量； 3、高度高度h的大小；的大小； 4、载荷载荷q之值。之值。Pa

13、ge27解：解：1 1、计算梁内绝对、计算梁内绝对 值最大正应力值最大正应力（1 1）画梁的剪力弯矩图）画梁的剪力弯矩图（2 2）由梁的弯曲公式）由梁的弯曲公式maxmaxmaxMyEI 知正应力、正应变与知正应力、正应变与弯矩成正比弯矩成正比, ,其最大其最大值发生在值发生在H H截面。截面。29128ql18ql2132ql38qlsFMHDxx3l/8ABCDq/2l/4lx/4lPage28HDHDMM max,max,:上上上上HHEMPa 5max,max,2 100.00225450上上上上29128ql18ql2132ql38qlsFMHDxx3l/8（3 3）绝对值最大正应变

14、）绝对值最大正应变HHDDMM max,9( 0.0001)40.00225上上上上1Page292 2、计算底部纵向总伸长、计算底部纵向总伸长（1 1）弯矩方程）弯矩方程xxM xqlxqxqlxlllxM xqllxll 22223111( )3( ) 4( )0828211( )(1)82（2）底部应变底部应变由于由于 与与MM成正比，可设成正比，可设xxxCxlllxxClxll 2121( )3( ) 4( )021( )(1)2下下下下分析：由分析：由 需求应变方程，从应变与弯矩需求应变方程，从应变与弯矩成正比，可先求弯矩方程。成正比，可先求弯矩方程。ldx 123()0.0005

15、0.0024( )( )0.00222lCllC下下下下左左下下右右由由， 得得由由，得得21Page303 3、计算高度、计算高度h hMyEI 由由 知形心知形心C与顶和底面的与顶和底面的距离与顶和底面的应变成正比距离与顶和底面的应变成正比DDh h 12:上上下下DD 0.0010.0005上上下下，hhh 1221hh, hh33 12由截面对形心轴的静矩为零由截面对形心轴的静矩为零代入：代入：b=30mm,t=5mm().()h5 51040 81mmh5 5- 10 mm（舍去）（舍去）解得：解得：tb1h2hhzt222111 1()()36322 3hthbththttPage

16、314 4、计算载荷、计算载荷qD2DDM hEI 下下下下29128ql2132qlMHDxDM hql hEIEI 2296D D 下下EIqN ml h 29612568.8/D D下下th tIh tt h t hbttbt hmm 3213224()()()122()12253430.5tb1h2hhzta1Page32FsM弯曲正弯曲正应力应力弯曲切弯曲切应力应力dAdAFSM决定切应力分布的原则决定切应力分布的原则：（由于变形分析困：（由于变形分析困难，所以直接使用力学知识推理、假设，然难，所以直接使用力学知识推理、假设，然后由实践加以证实）。后由实践加以证实）。Page33一、

17、矩形截面梁一、矩形截面梁( (hb)的弯曲切应力的弯曲切应力（2 2）截面高而窄，在距中性）截面高而窄，在距中性轴同一高度（轴同一高度（y）上，）上， 是相是相等的。等的。（儒拉夫斯基假设）（儒拉夫斯基假设）周边，周边，根据切应力互等，根据切应力互等，的合力是的合力是（因为（因为/,/ SSFF（1 1）。于于上上下下边边缘缘切切应应力力可可能能等等平平行行于于截截面面的的两两侧侧边边，而而0SF思考思考: 能否假设能否假设 (y) 沿截面高度均匀分布沿截面高度均匀分布?Page34由图示微体平衡：由图示微体平衡：xFbydd1)( bISFyzz)()(S Sz( )面积面积 对中性轴对中性

18、轴 z 的静矩的静矩l dAFlxMbISyzzdd)()( l d* AyIMzzzIMS)( xF 0,)(zSydA1212MMdM SFySF*y xdxmn121mnmnFFdF bdx()y dFFbdxF y*)*yIMzPage35S()( )zzF SyI b l1( )22 2zhhSbyy 22S4123)(hybhFy AFSmax23 zbhI 312bhy 2224SFCzy2h2h2b2by O max 截面静矩与惯性矩截面静矩与惯性矩l最大切应力发生在中性轴最大切应力发生在中性轴lPage36 截面翘曲与非纯弯推广截面翘曲与非纯弯推广O max 平截面假设不再严

19、格成立平截面假设不再严格成立矛盾解法矛盾解法切应力利用纯弯正应力切应力利用纯弯正应力公式推导公式推导纯弯正应力公式依据平截面假设纯弯正应力公式依据平截面假设切应力非均匀分布引起截面翘曲切应力非均匀分布引起截面翘曲但当但当l h时，纯弯正应力公式用于横时，纯弯正应力公式用于横力弯曲仍然相当精确力弯曲仍然相当精确Page3722max66bhFlbhFl bhF23max hlFbhbhFl43262maxmax 当当 l h 时，时， max max横截面上各点假设：横截面上各点假设： / /侧边侧边，或，或/剪力剪力 沿截面宽度方向沿截面宽度方向均匀分布均匀分布 h h/ /b b值对解的影响

20、：值对解的影响：F h/ /b越大，解越精确。越大，解越精确。(h/b2时，时，足够精确足够精确) )FlbzyhC 弯曲正应力与弯曲切弯曲正应力与弯曲切 应力比较应力比较Page38sFsFA例：例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向注意注意A A处剪流的方向。处剪流的方向。Page39( )( )szzF SI t 221( )()81()2()( )4zszSHhtHhF HhI 翼翼缘缘2222222222222max2( )()()82 2( ) ()(4)8()8zszsztbhSHhyFyb Hht hyI tFbHb t hI t 腹腹板板sFbH

21、h1tyz2tmax工字形截面梁的弯曲切应力工字形截面梁的弯曲切应力Page4040,sFkNaa计计算算处处弯弯曲曲切切应应力力及及最最大大切切应应力力, z aS解：解：337411100 20080 18012122.779 10zImm ,5350 10 75 2 80 10 951.51 10z aSmm ,max53100 10 50 2 80 10 951.76 10zSmm 45,7,maxmax4 101.51 1010.85220 2.779 1012.652sz aazszzFSMPatIFSMPatI sF100a1050100a100Page41一、梁危险点处的应力状

22、态一、梁危险点处的应力状态 矩形截面梁矩形截面梁: :危险点：危险点：a, c 点处点处: : 单向应力；单向应力； b 点处点处: : 纯剪切纯剪切Czyabc,maxC ,maxt max abc,maxC ,maxt max Page42薄壁截面梁薄壁截面梁: :Cyz1 max abcd,maxC ,maxt 1 max Oyabc,maxC ,maxt max d1 1 1 1 c , d 点处点处: : 单向应力单向应力a 点处点处: : 纯剪切纯剪切b 点处点处: : , , 联合作用联合作用危险点：危险点：Page43二、梁的强度条件二、梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条

23、件：强度条件：弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： , , 联合作用强度条件联合作用强度条件（详见第（详见第9 9章强度理论）章强度理论）maxmax zWMmaxmax,max zzSISF max：最大弯曲正应力：最大弯曲正应力 ：材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力 max ： 最大弯曲切应力最大弯曲切应力 ： 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力Page44三、梁强度条件的选用三、梁强度条件的选用F 细长非薄壁梁：细长非薄壁梁：F 短粗梁、薄壁梁与短粗梁、薄壁梁与 M 小小 FS大的梁：大的梁：maxmax max max max MM 有时需考虑有时需考虑 , , 联合作用的

24、强度条件联合作用的强度条件 maxt,maxc,tc 梁梁强度问题的分析步骤：强度问题的分析步骤：1 1、内力分析、内力分析确定危险截面确定危险截面2 2、应力分析、应力分析确定危险点确定危险点3 3、根据强度条件进行强度校核。、根据强度条件进行强度校核。Page45例例 4-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m， = 100 MPa ， = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号Page46S()( ),lFFl FFF (0)SmaxS,( )1,MFl 4maxFlM 2. 按弯曲按弯曲 条件选截面条件选截面 4 FlWz 查教材查教材P367, 附录附录F

25、型钢表：选型钢表：选 22a, Wz=3.0910-4 m43. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度 maxmax,zzSIF MPa 1114 .44m 1003 .解：解：1. 内力分析内力分析Page471mABCD3 m1m20kN20kN例：例：已知已知40MPa100MPa校核梁的强度校核梁的强度200170Cy30z301yba讨论：危险截面是否一定讨论：危险截面是否一定是弯矩绝对值最大的截面？是弯矩绝对值最大的截面？Page48解：解：画弯矩图画弯矩图10kN m20kN mM 图:1mABCD3 m1m20kN20kN可能危险截面分析：可能危险截面分析：C C截面：弯矩绝对值最

26、大。截面：弯矩绝对值最大。a a点拉点拉应力，应力，b b点压应力可能达危险值。点压应力可能达危险值。B B截面：正弯矩最大，截面：正弯矩最大，b b点点拉应力可能达危险值。拉应力可能达危险值。200170Cy30z301ybaMCabMBabPage49截面形心：截面形心：6413940.3 10CzymmImm C C截面：截面：6166620106140.31030.240201013940.31069100CazaaCCbzaaMyIMPMPMyIMPMP B B截面：截面：6610 1013934.540.3 10BCbazM yMPI 强度足够强度足够1mABCD3 m1m20kN

27、20kN200170Cy30z301ybaPage50让材料远离中性轴让材料远离中性轴 腹板壁厚小，但不能太小。腹板壁厚小，但不能太小。一、梁的合理截面形状一、梁的合理截面形状Cyz 依据：依据：z)(IMyy zWM max zzSISF)(Page51脆性材料梁脆性材料梁,maxC ,maxt CyzCytyt c截面上下不对称的脆性材料梁截面上下不对称的脆性材料梁ccttyy 截面等强设计截面等强设计Page52ba例：例：若载荷可在梁上任若载荷可在梁上任意移动，则铸铁梁意移动，则铸铁梁b 端端朝上还是朝下合理？朝上还是朝下合理？5 m1mFABC问题分析：问题分析：zM yI (1).

28、(1). ， 截面截面b b端离中性轴端离中性轴 最远，最大应力发生在此处。最远，最大应力发生在此处。 (2).(2).铸铁抗压不抗拉，应该使最大弯铸铁抗压不抗拉，应该使最大弯矩处矩处b b端受压。端受压。(3).(3).梁梁ABAB中点出现绝对值最大正弯矩，中点出现绝对值最大正弯矩，b b端朝上合理。端朝上合理。Page53答答: :位置位置1 1合理。合理。例例2 2：从拉压强度考虑从拉压强度考虑, , 图示铸铁工字梁截面图示铸铁工字梁截面, , 跨中腹板钻一个孔跨中腹板钻一个孔, ,哪哪一个是合理位置一个是合理位置? ?F123问题分析：问题分析：因为铸铁抗压不抗因为铸铁抗压不抗拉，合理

29、的位置是使最大拉应拉，合理的位置是使最大拉应力减小，最大压应力可增加。力减小，最大压应力可增加。Page54二、二、变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁)()( xWxM弯曲等强条件弯曲等强条件FxxM )(6)()(2xbhxW 6)( bFxxh )(2)(3S xbhxF123)(hbFxh FxF )(S等强度梁等强度梁各截面具有同样强度的梁各截面具有同样强度的梁剪切等强条件剪切等强条件Page55 三、梁的合理受力三、梁的合理受力 合理安排约束合理安排约束lqMx28ql 3 5lqMx240ql5l5l250ql250qlPage56 合理安排加载方式合理安排加载方式尽量分散载荷尽

30、量分散载荷lqF l Mx8Fl 2lFMx4Fl 2l3lFMx6Fl 3l6l6lPage57 加配重加配重laaFPPMFl/4+MFl/4-PaPaPa+-laaFlaPage58帮帮忙：帮帮忙：桥式起重机的最大起重为桥式起重机的最大起重为100kN，怎么改进可，怎么改进可以吊起以吊起150kN的重量？的重量？Page594332(1) (1 3 )122(1) (1(0,1),321,9)1zzzzaIxxWIxxaxW在区间无极值当有极大值1()91.053497,5.35%(1)zzWW可 提 高zaax(1) x aI Iz z与与W Wz z的区别的区别Page60非对称弯曲双对称截面梁双对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲非对称截面梁非对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲Page61弯曲正应力分析zzyyIyMIzM 矢量沿坐标轴正矢量沿坐标轴正向的弯矩向的弯矩M为正为正利用叠加法分利用叠加法分析内力与应力析内力与应力弯曲正应力沿横截面线性分布Page620yzzyIyMIzMyz tanyzzyMMII0)0 , 0( zzyyIyMIzM 中性轴为通过横截面形心的直线中性轴为通过横截面形心的直线中性轴位置与方位0z