实数和二次根式的基本概念

1、知识点睛一.实数的基本概念1无理数的概念：(1) 定义：无限不循环小数叫做无理数.(2) 解读：1) 无理数的两个重要特征：无限小数；不循环.2) 无理数的常见类型： 具有特定意义的数。如n等；(每相邻两个1之间依次多一个2)等； 开方开不尽的数，如、2,34等那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？3) 有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.2. 实数的概念及分类：(1) 定义：有理数和无理数统称为实数.(2) 分类：有理数整数按定义分：实数分数-有限小数或无限循环小数

2、一无理数无限不循环小数正实数按性质分:实数0负实数正有理数正无理数负有理数负无理数(3) 实数的性质： 相反数：a与b互为相反数二a5=0.'a,a>0一”亠a,a0+a,a>0 绝对值：a=0,a=0或a=或a=a,ac0a,a0-a,a：0(4) 实数和数轴上的点是对应的.n是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是n因为直径为1的圆的周长为n(5) 实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。(6) 实数中非负

3、数的四种形式及其性质：形式：a>0;®a0:4a>0(a0);掐中a0.性质：非负数有最小值0;有限个非负数之和仍然是非负数；几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.(7) 实数中无理数的常见类型： 所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；圆周率n及含有n的数是无理数，例如：2n1等； .(一)根据实数的定义解题：【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数？哪些是正实数？0.313131；n阿，23，-呵，3.14，0.4829,(相邻两个2之间0的个数逐次加1)，-循，-匹05.【例2】在实数0,1,J2,0.1235中无理数的个数是(22j无

4、理数的个数并说明理由【拓展】n,，2,9川这7个实数中，7是()A.0B.1C.2D.3【例3】下面有四个命题： 有理数与无理数之和是无理数. 有理数与无理数之积是无理数. 无理数与无理数之和是无理数. 无理数与无理数之积是无理数.请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。【例4】判断正误,在后面的括号里对的用“乂”错的记“>表示,(1)无理数都是开方开不尽的数.()无理数都是无限小数.()无限小数都是无理数.()(4) 无理数包括正无理数、零、负无理数.()(5) 不带根号的数都是有理数.()(6) 带根号的数都是无理数.()有理数都是有限小数.()(8) 实数包括有限小数和无

5、限小数.()(二)实数的绝对值：【例5】求下列各数的相反数及绝对值：(1)3-64(2)3-【例6】已知一个数的绝对值是3,求这个数.【拓展】Ix|=|-n|，求x的值。【例7】若0：b：1则b2,b,.b,-这四个数有下列关系(bb2:：b：'一b-b2：-b:bA.bB.b第三，二次根式<a(a>0表示非负数a的算术平方根。3性质(1)(.a)；(2)J1-X3；(3)Jx+93. 最简二次根式二次根式(a_0)中的a称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)；(1)(.a)；(2)

6、J1-X3；(3)Jx+94. 最简二次根式二次根式(a_0)中的a称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：(2) 被开方数的因数是整数，因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；=a(a>0.佇"=F(a脅"(a>0厂a(acO),ab=.ab(a>0b>).a2-a(av0)、.ab=.ab(a>0b>0(a>0b>0)【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断在实数范围内【例2】当x取怎样的实数时.71;.:X一3:.一2X2有意义【拓展1】x为何值时，下列各式

7、在实数范围内有意义K；'，2x分母中不含二次根式。二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？K；'，2x分母中不含二次根式。二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？-1；(3)1ZX【拓展2】x取何值时，下列各式有意义？.厂.：x亠2d(1) 3_6x;(2)；(3)I.-x7-2x5(1)、3a2b芒X2y2(4).ab(a>b)(5).5.8xy【例2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是(,6P，Ja2+b2，J2ab2，J0.5ab，也，_).b,.24x，x2-

8、4x4.4【拓展3】x取何值时，下列格式有意义：【例3】在下列二次根式尿,章,2丁5帛,3x2,a2_b2,竺,Ji2x,a+b,1,一丄,，a23tf2-22中，最简二次根式有【练习】下列根式2刃,8，乎，字，-X2y2,2中式最简二次根式的有（B.3个【例4】把下列各式化成最简二次根式。C.4个(1)2475a(3).25x350x2x>04. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次合并冋类二次根式：a、xb、x_（ab）、x.冋类二次根式才可加减合并.【例1】下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（）A52x和和3；bCx2y和.xy

9、2Da和1【例2】在27、：I、；1；中与3是同类二次根式的个数是（）A.0B.1A.0B.1【巩固】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）【巩固】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）1.27；.48；20；1；52【例3】下列各组二次根式中，属于可以合并的是（）A.12与72B.63与28A.12与72B.63与28C.4x3与22xD.【例4】若a+b4b与p3a+b是同类二次根式，则a、b的值为（Aa=2,b=2Ba=2,b=0Aa=2,b=2Ba=2,b=0Ca=1,b=1Da=0,b=2或a=1,b=1【巩固】若ab4b与最简二次根式.3ab为同类二次根

10、式，其中b二；【例5】若最简二次根式3a-5与r3是可以合并的二次根式，则a二【例6】下列二次根式中，与.a是可以合并的是（）【例7】若最简二次根式ab2ab与.a2b是同类根式，求-a2b的值.课后作业"把下列各数分别填入相应的集合里38，“59飞待亠2,，-0.0202。21.414,-7(1) 正有理数集合：(2) 有理数集合：(3) 无理数集合：(4) 实数集合：2.x取何值时，下列各式有意义:2x3.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.2x1.3x5327_JL=32x31-n114.下列判断(1)23和3V48不是同类二次根式；(2)4525不是同类二次根式；(3)8x与8不是同类二次根式，其中错误的个数是(A.3B.2C.1D.0下列二次根式中，是最简二次根式的是(A.8xB.x23C.D.3a2bx的取值范围是(6若代数式2x1*3.1二2x在实数范围内有意义，则x可取一切值x可取一切值1C.x=27.式子亠3有意义，则x的取值范围是(2xA.x>-3且x=0B.x<3且x=08.x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？X二3(2)1J2x十1x-1x-39下列哪些是二次根式，哪些不是