相似三角形复习课好ppt

1、4、如图，已知如图，已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4，点，点E是是BC上一点。上一点。(1)若若CE= 3，则，则DE=_.(2)若若CE= ，则，则DE=_. 1、如图、如图, AB与与CD相交于点相交于点P, A=D, 若若PA3, PB=4, PC=2, 则则PD=_3162、如图，在、如图，在ABC中，中，D为为AC边上一点边上一点DBC= A，BC= ，AC=3，则，则CD的长为的长为_6ADCB题组一：热身训练题组一：热身训练2.5DABCP63、如图，梯形、如图，梯形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交相交于于O，G是是BD的中点若的中点若AD = 3，BC = 9，

2、则，则GO : BG = _GABDCO31021：2CABDECABDE其中其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的叫做组成比例的项项，线段线段 a、d 叫做比例叫做比例外项外项，线段线段 b、c 叫做比例叫做比例内项内项， 若若 四条线段四条线段 a、b、c、d 中，如果中，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的成比例的线段线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d = 比例的性质：比例的性质：bcaddcba= = =;dcba= =bcaddcba= = =;利用：利用：来变形：来变形：3x=5yadcb= =bcad= =

3、交换内项交换内项交换外项交换外项35yx= =1.若若a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= . 62、下列各组线段的长度成比例的是（、下列各组线段的长度成比例的是（ ）A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4. D .1 , 2 , 2 , 4 Dmn m= n56已知 ,求 的值.解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn 65=方法(2)因为 ,所以5m=6n m6 n5= 6mn=所以53、4、已知、已知 ： x：(x+1)=(1x)：3，求，求x。.定义：

4、三角对应相等，三边对应成比例定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。的两个三角形相似。1.形状一样；大小不一定重合；形状一样；大小不一定重合；2.全等是相似的特例：相似比为全等是相似的特例：相似比为1。 两条平行线被第三条直线所截：两条平行线被第三条直线所截： 上线段（上线段（AEAE与与EBEB）、下线段）、下线段CFCF与与DFDF）、）、 全线段（全线段（ABAB与与CD CD ）之间对应成比例线段。）之间对应成比例线段。ABECDABCDEFABCDEF上上上上下下下下全全全全梯形平行梯形平行三角形平行三角形平行2、判定定理、判定定理1:两个角对应相等两个角对应相等, ,两

5、三角形相似。两三角形相似。3、判定定理、判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两三角两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。形相似。4、判定定理、判定定理3:三边对应成比例，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。5、相似三角形的传递性。、相似三角形的传递性。 反思回顾一：反思回顾一：判定两个三角形相似的主要方法：判定两个三角形相似的主要方法：ABCDE1 1、预备定理：、预备定理： DEBC, ADEABC。 反思回顾二反思回顾二 ：相似三角形的性质：相似三角形的性质：1 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。、相似三角形对应角相等，对应边成比例。2 2、相似三角形的周长之比等于相似比

6、，面积、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。之比等于相似比的平方。3 3、相似三角形对应边上的高线、中线、对应、相似三角形对应边上的高线、中线、对应角平分线之比都等于相似比。角平分线之比都等于相似比。三、三、相似图形的特例相似图形的特例图形的位似图形的位似l1.1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似, ,而且每组对应顶点所而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点在的直线都经过同一个点, ,那么这样的两个图形那么这样的两个图形叫做叫做位似图形位似图形, ,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心, ,这时的相似这时的相似比又称为比又称为位似比位似比. .l2.2.性质：性

7、质：l位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比离之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似图形如何作位似图形( (放大放大) ). .l5.5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像. .l4.4.如何作位似图形如何作位似图形( (缩小缩小) ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFPDEADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合提炼总结提炼总结 ：相似三角形中常用基本图形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共边角型公共边角型ABCDEDEADE绕点A

8、旋转ABCDE点E移到与C点重合提炼总结提炼总结 ：相似三角形中常用基本图形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共边角型公共边角型ABCDEABCDEX型型DEADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合ACB=RtCDABABCD提炼总结提炼总结 ：相似三角形中常用基本图形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共边角型公共边角型ABCDEABCDE双垂直型双垂直型X型型三垂直型三垂直型连结连结CD，BE， ABE 与与ACD相似吗？相似吗？蝴蝶型蝴蝶型 2.如图，已知如图，已知AB是是 O的直径，的直径，C是圆是圆上一点，且上一点，且CDAB于于D,AD=3,BD=12，则则CD=_.

9、)(BEAECEDEEDBEAECE=或6OCDBA 1.如图，已知如图，已知 O的两条弦的两条弦AB、CD交于交于E，AE=BE=6,ED=4，则，则CE=_.CDBAE9BDADCD=2题组二：题组二：蝴蝶型蝴蝶型双垂直型双垂直型A AB BC CD DE EOO如图如图,O,O是是ABCABC的外接圆的外接圆,AB=AC.,AB=AC.求证求证:AB:AB2 2=AEAD=AEAD证明：连接证明：连接BDBDAB=ACAB=ACADB=ABEADB=ABE又又BAD=EABBAD=EABABDABDAEBAEBABACAEAB=ABAB2 2=AEAD=AEADABAC= =练习：练习：

10、A AB BC CD DE EOO构造所需的相似基本图形，是我们常构造所需的相似基本图形，是我们常用的一种解决几何问题的方法。用的一种解决几何问题的方法。 公共边角型公共边角型ABCDMEFN题组三：题组三：复杂图形复杂图形 基本图形基本图形分解分解ACDMEACMFN3、如图、如图,AC是是 ABCD的对角线的对角线,且且AE=EF=FC,求（求（1）SAMF: SCNF （2）SDMN: SACD 。X型型3、如图:在RtABC中,C为直角,CDAB于点 D,AD=4，BD=1，则CD= AC= ABC ACD CBDAC2 =ADABCD2 =ADBDBC2 =BDABACBC=ABCD

11、 （2011杭州中考题杭州中考题）梯形梯形ABCD中，中，ABCD，AB=2BC=2CD，对角线，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，线段，线段OA，OB的中点分别为的中点分别为E，F。若直线。若直线EF与线段与线段AD，BC分别相交于点分别相交于点G，H，求求 的值。的值。复杂图形复杂图形 基本图形基本图形分解分解 从复杂图形中分解出相似基本图从复杂图形中分解出相似基本图形，可以使我们较快找到解题思路。形，可以使我们较快找到解题思路。A字型字型X型型如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为坐标原点，矩形矩形OABC如图放置，如图放置，OA=8，AB=6，将矩形，

12、将矩形OABC绕点绕点O按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转 度得到四边度得到四边形形OABC ，此时，此时OA，BC分别与直线分别与直线BC相相交于点交于点P，Q，当矩形，当矩形OABC的顶点的顶点B落在落在y轴正半轴上时，轴正半轴上时，求（求（1）点）点P坐标坐标 （2）BQBP的值的值。复杂图形复杂图形 基本图形基本图形分解分解yQCBAOxPABC题组四：题组四： 如图，已知抛物线的对称轴为直线如图，已知抛物线的对称轴为直线X=4.X=4.且与且与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于C C点点, , A(2,0),C(0,3)A(2,0),C(0,3)（1 1

13、）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）抛物线上有一点）抛物线上有一点P P，满足，满足PBC=90PBC=90，求点，求点P P的坐标；的坐标；ABPCOxyX=423Q复杂图形复杂图形 基本图形基本图形分解分解（3 3）在（）在（2 2）的条件下，问在）的条件下，问在y y轴上是否存在点轴上是否存在点E E，使得以，使得以A A、O O、E E为顶点的三角形与为顶点的三角形与OBCOBC相似？相似？若存在，求出点若存在，求出点E E的坐标；若不的坐标；若不存在，请说明理由存在，请说明理由. .题组四：题组四：构造构造基本相似图形转基本相似图形转化问题化问题学会从复杂图形中学会

14、从复杂图形中分解分解出基本图形出基本图形2、相似基本、相似基本图形的运用图形的运用分类思想分类思想转化思想转化思想1、相似三角形的判定和性质。、相似三角形的判定和性质。挑战自我挑战自我 如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点上，其余两个顶点分别在分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与

15、PN相交于点相交于点E。设正方形设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为PNBC，所以所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：毫米）。答：-。80 x80=x120例1 、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CDAB,BEAC,CD与BE相交于点O，图中有哪些三角形相似？ABCEDO连接连接DE、BC，图中又有哪，图中又有哪些相似些相似练习、ADE和ABC有公共顶点A，1= 2， ABC= ADE,试说明（1） ADEABC （2） ABDACEABCED12例例2、在、在ABC中中,AB=5,AC=4,E是是AB上上一点一点,AE=

16、2, 在在AC上取一点上取一点F,使以使以A、E、F为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ABC相似相似,求求AF长长E EA AB BC C. .FF F 如图，已知，如图，已知，D D是是BCBC的中点，的中点，E E是是ADAD的的中点，求中点，求AFAF：FCFC的值。的值。 D D E E F F A A B BC C G G如图如图, , 在在ABCABC中中,ACB= 90,ACB= 900 0，四边形，四边形BEDCBEDC为正方形为正方形, , AEAE交交BCBC于于F, FGACF, FGAC交交ABAB于于G. G. 求证求证: FC=FG. : FC=FG. 证明证明:

17、: 四边形四边形BEDCBEDC为正方形为正方形CFDE CFDE ，DE=BEDE=BE ACFACFADEADEAEAEAFAFDEDECFCF= 又又FG ACBEFG ACBEAGFAGFABEABEAEAFBEFG= BEFGDEFC=由可得：由可得：又又 DE=BEDE=BEFC=FGFC=FGABCDABC 中，中，AD平分平分BAC，求证：，求证：DCBDACAB=已知：如图，已知：如图，ABC内接于内接于 O，AB为直径，弦为直径，弦CEAB于于F，C是是弧弧AD的中点，连结的中点，连结BD并延长交并延长交EC的延长线于点的延长线于点G，连结，连结AD，分别交，分别交CE、B

18、C于点于点P、Q（1）求证：）求证：CP=PQ（2）求证）求证（FP+PQ）2=PF FG复杂图形复杂图形 基本图形基本图形分解分解A字型字型蝴蝶型蝴蝶型公共边角型公共边角型双垂直型双垂直型三垂直型三垂直型斜截型斜截型X型型CBADE连结连结AD、CB， APDCPB吗？吗？ 2.比例中项：比例中项：_.(),()_.cmcm+-+-23， 23两数的比例中项是两线段 2323的比例中项是 1cm1当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时， 即即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做线段叫做线段 a 和和 c 的的比例中项比例中项.2acb= =即：即：3.

19、黄金分割：黄金分割：线段黄金分割。把这条）的比例中项，就叫做）与较短线段（原线段（）是中较长线段（）分成两条线段，使其把一条线段（BCABACAB,ACAB BC ACAB-=251即：2ACB(),_.CABACAB=-=是线段的黄金分割点，较长线段251 则4ABCDEF顶角为顶角为36的等腰三角形的等腰三角形叫做黄金三角形叫做黄金三角形ABCDEFGHNM找出图中线段的黄金分割点？找出图中线段的黄金分割点？把线段把线段AC黄金分割黄金分割,分割点为分割点为B,则以则以AB、BC为邻边的矩形为邻边的矩形ABCD叫做黄叫做黄金矩形金矩形,即黄金矩形的两条邻边长度即黄金矩形的两条邻边长度的比值

20、约为的比值约为0.618.ABDCFE若在黄金矩形若在黄金矩形ABCD中画出正方中画出正方形形ABEF,则得到黄则得到黄金矩形金矩形ECDF如此继续下去如此继续下去 可得到一连串的可得到一连串的 黄金矩形黄金矩形1.相似三角形的定义：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。21 ABCA/B/C/,如果如果BC=3,B/C/=1.5,那么那么A/B/C/与与 ABC的相似比为的相似比为_.3.相似三角形的判

21、定方法相似三角形的判定方法预备定理预备定理:相似三角形的传递性相似三角形的传递性.ABCDEDEABC判定定理判定定理1,2,3.1 22 3或或2 31 3DEBC, ADEABC.直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定.DCBA求证：求证：ACDABCCBD.已知：已知：ACB=Rt,CDAB于于D相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：现在给你一个锐角三形现在给你一个锐角三形ABC和一条直线和一条直线MN 问题：问题：请同学们利用直线请同学们利用直线MN 在在ABC上或在边的延上或在边的延 长线作出一个三角形与长线作出一个三角形与 ABC相似，并请同学相似，并请同学 们说明

22、理由们说明理由ABCMN第一种作法：第一种作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第二种作法：第二种作法： 理由：理由： （1） ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：AC AEBCDADEBCM 第三种作法：第三种作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第四种作法：第四种作法： 理由：理由： （1） ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：ACABCEDABCEDMNMN第五种作法：第五种作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=AB

23、C 或或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC 第六种作法：第六种作法： 理由：理由： （1） ADE=ACB 或或AED=ABC （2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN 第七种作法第七种作法：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：ABABD CMNADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾： 证明：证明：CDAB， E为为AC的中的中点点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD FDB=FC

24、D FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例例1 如图，如图，CD是是RtABC斜边上的高，斜边上的高，E为为AC的中点，的中点， ED交交CB的延长线于的延长线于F。CEADFB这个图形中有几个相似三角形的基本图形这个图形中有几个相似三角形的基本图形求证：求证：BDCF=CDDF二二.知识应用知识应用:1.找一找找一找:(1) 如图如图1,已知已知:DEBC,EF AB,则图中共有则图中共有_对三角形相似对三角形相似.(2) 如图如图2,已知已知:ABC中中, ACB=Rt ,CD AB于于D,DEBC于于E,则图中共有则图中共有_个三角形和个三角形和ABC相似相似.AB

25、CDEF如图如图(1)3EABCD如图如图(2)4(3)(3)如图如图3 3，1= 2= 3,则图中相似三角形的组数为则图中相似三角形的组数为_.ADBEC132如图如图(3)(3)42.画一画画一画:如图如图, ,在在ABCABC和和DEFDEF中中, A=D=70, A=D=700 0, B=50, B=500 0, , E=30E=300 0, ,画画直线直线a,a,把把ABCABC分成两个三角形分成两个三角形, ,画画直线直线b b ,把把DEFDEF分成两个三角形分成两个三角形, ,使使ABCABC分成的两个三分成的两个三角形和角形和DEFDEF分成的两个三角形分别相似分成的两个三角

26、形分别相似.(.(要求标要求标注数据注数据) )300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200OP1P2D1D2c1c2b1b2桌面桌面(1).如图如图,在水平桌面上的两个在水平桌面上的两个“E”,当点当点P1,P2,O在一在一条直线上时条直线上时,在点在点O处用号处用号“E”测得的视力与用测得的视力与用号号“E”测得的视力相同测得的视力相同.图中图中b1,b2,c1,c2应满足怎样的关系应满足怎样的关系?若若b1=3.2cm,b2=2cm, 号号“E”测试的距离测试的距离c1=8m,要使测得的视力相同要使测得的视力相同, 号号“E”测

27、试的距离测试的距离c2应为多应为多少少?3.做一做做一做:(2).已知已知,如图如图,梯形梯形ABCD中中,ADBC, A=900,对角对角线线BDCD求证求证:(1) ABDDCB;(2)BD2=ADBCABCD (3).(3).如图如图,P,P是是ABCABC中中ABAB边上的一点边上的一点, ,要使要使ACPACP和和ABCABC相似相似, ,则需添加一个条件则需添加一个条件: :_ 。 AB CPACP=B;或或APC=ACB;或或AP:AC=AC:AB即即AC2=APAB如图如图,点点C,D在线段在线段AB上上, PCD是等边三角形是等边三角形.(ACBD)(1)当当AC,CD,DB

28、满足什么关系时满足什么关系时, ACP PBD.(2)当当ACP PBD时时,求求APB的度数的度数.4.想一想想一想:ABCDP5.练一练练一练:1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子的样子,假设图形中的所有点假设图形中的所有点,线都在同一平面内线都在同一平面内,试写试写出一对相似三角形出一对相似三角形(不全等不全等)_.GABCDEF12.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中的中点，点点，点M，N分别在分别在BC，CD上，且上，且CM=2，则，则当当CN=_时，时，CMN与与ADE的形状的形状相同。相

29、同。EABCDMN3.在平面直角坐标系，在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，3）, C（3，0）,点点P在在y轴的正半轴上运动，若以轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似，则点相似，则点P的坐标是的坐标是_.yABCxOP6. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是，排球落地点离墙的距离是6m，假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面

30、离地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m解：解：ABO=CDO=90AOB=CODAOBCODABBOCDDO=1.826CD= CD=5.4m答：球能碰到墙面离地答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方高的地方.如图如图, ABC中中,AB=6,BC=4,AC=3,点点P在在BC上上运动运动,过过P点作点作DPB=A,PD交交AB于于D,设设PB=x,AD=y.(1)求求y关于关于x的函数关系式和的函数关系式和x的取值范围的取值范围.(2)当当x取何值时取何值时,y最小最小,最小值是多少最小值是多少?6.思考题思考题:PABCD挑战自我挑战自我 如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块

31、锐角三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点上，其余两个顶点分别在分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为PNBC，所以所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：毫米）。答：-。80 x80=x120两个多边形

32、的对应顶点的连线交于一点，对应边两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行，位似图形是相似图形平行，位似图形是相似图形什么是位似图形？什么是位似图形？应用位似的性质：应用位似的性质：能将一个图形放大或缩小，能将一个图形放大或缩小，三角形相似条件复习1、已知、已知ABC，P是是AB上一点，连上一点，连结结CP，要使，要使ACPABC，可以，可以添加的条件是什么？添加的条件是什么？ABCP复习回顾复习回顾(1) ACP= B(2) APC= ACB(3)ACAPABAC=2、在、在44的正方形方格中，设小正方形边长的正方形方格中，设小正方形边长为为1，A 1B 1C 1与与A2 B 2C2相似

33、吗？你是如相似吗？你是如何判断的？何判断的？B2B1A1C1A2C252A1B1=1 A1C1= B1C1= A2B2= A2C2= 5 B2C2= 510判定相似三角形的条件：判定相似三角形的条件：v1、两角对应相等；、两角对应相等；v2、两边对应成比例且夹角相等；、两边对应成比例且夹角相等；v3、三边对应成比例。、三边对应成比例。3、如图，四边形ABCD是平行四边形，图中有哪些相似三角形？F FDDE EB BA AC C4、平行于三角形一边的直线与其它平行于三角形一边的直线与其它两边两边(或两边的延长线或两边的延长线)相交；所构成相交；所构成的三角形与原三角形相似的三角形与原三角形相似判

34、定相似三角形的条件判定相似三角形的条件ABCDE“A”型型在在ABC中，中，DEBC，则有则有ADEABC“X”型型OADCB在在ABC中，中，ABCD，则有则有ABODCO基本图形基础训练1下列条件中，能判定ABC和DEF相似的有( )A=45，AB=12，AC=15 D=45，DE=16，DF=40AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40A=47，AB=15，AC=20，E=47，DE=28，EF=21 A=45B=55D=45F=75 2、下列命题中正确的是（ ） 任意两个等腰三角形都相似 任意两个直角三角形都相似 任意两个等边三角形都相似 任意两个等腰直角

35、三角形都相似A、 B、 C、 D、 D3、如图:在RtABC中,C为直角,CDAB于点 D,AD=4，BD=1，则CD= AC= ABC ACD CBDAC2 =ADABCD2 =ADBDBC2 =BDABACBC=ABCD4、如图，在ABC中，点D在边AB上，AC=2，AD=1，当DB= 时ABC ACDABCD5、如图、如图1,已知已知:DEBC,EF AB,则图中共则图中共有有_对三角形相似对三角形相似.6、如图，点如图，点0是是ABC内一点，点内一点，点D、E、F分别边分别边OA、0B、0C是的中点，问是的中点，问 ABC与与DEF相似吗？相似吗？ABCDEF如图如图(1)CABDOE

36、F第18题图ADEBA型ACBDCADEBCABCDBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：ABCDX型型例1 、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CDAB,BEAC,CD与BE相交于点O，图中有哪些三角形相似？ABCEDO连接连接DE、BC，图中又有哪，图中又有哪些相似些相似练习、ADE和ABC有公共顶点A，1= 2， ABC= ADE,试说明（1） ADEABC （2） ABDACEABCED12例例2、在、在ABC中中,AB=5,AC=4,E是是AB上上一点一点,AE=2, 在在AC上取一点上取一点F,使以使以A、E、F为顶点

37、的三角形与为顶点的三角形与 ABC相似相似,求求AF长长E EA AB BC C. .FF F拓展提优1、如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF2、已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP。求证:CE2 =EDEP3、 过过ABCD的一个顶点的一个顶点A作一直线分别交作一直线分别交对角线对角线BD、边、边 BC、边、边DC的延长线于的延长线于E、F、G . 求证：求证：EA2 = EF EG .ABCDEFG分析：要证明分析：要证明 EA2 = EF EG ，即即 证明证明 成成立，而立，而EA、E

38、G、EF三三条线段在同一直线上，条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.EAEGEFEA=证明：证明： ADBF ABBC AED FEB AEB GED谢 谢在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向边向B点以点以2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开始开始沿沿BC向点向点C以以4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P、Q分别分别从从A、B同时出发，经几秒钟同时出发，经几秒钟BPQ与与BAC相似？相

39、似？B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒练一练练一练2、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证（1）AG=CG；（2）ANDN=CNMN濮阳市第一中学王彦锋濮阳市第一中学王彦锋给你一个锐角三角形给你一个锐角三角形ABCABC和一条直线和一条直线MNMN； 问题问题 你能你能用直线用直线MNMN去截三角形去截三角形ABCABC，使截得的三角形，使截得的三角形与原三角形相似吗？与原三角形相似吗？ 练一练练一练基本图形基本图形DEMNH过过D D作作DHECDHEC交交BCBC延长线于点延长线于点H H(1)(1)试

40、找出图中的相似三角形试找出图中的相似三角形? ?(2)(2)若若AE:AC=1:2,AE:AC=1:2,则则AC:DH=_;AC:DH=_;(3)(3)若若ABCABC的周长为的周长为4,4,则则BDHBDH的周长为的周长为_._.(4)(4)若若ABCABC的面积为的面积为4,4,则则BDHBDH的面积为的面积为_._.ADE ABC DBH2：369DEMNMN 相似三角形相似三角形 若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三

41、角形的基本图形。DEHGFEGFMN12 相似三角形相似三角形 若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三角形的基本图形。EGFEGFMN 相似三角形相似三角形EGF 相似三角形相似三角形BCFA.OBCBC是圆是圆O O的切线，切点为的切线，切点为C.C.(1)(1) BCF BCF与与BACBAC相似吗相似吗? ?(2)(2) 若若BC=6,AF=5,BC=6,AF=5,你能求出你能求出BFBF的长吗的长吗? ?(3)(3)

42、移动点移动点A,A,使使ACAC成为成为O O的直径的直径, ,你还能你还能 得到哪些结论得到哪些结论? ?EFBCA.OFBCA若若ACB90，CFAB，则则ACF ABC CBFBCF BACBCBFBABC= =656BFBF= = 25360BFBF = =49BFBF= = =或或 （舍舍去去）4BF = =当当BCFBCF A A 时，时， BCF BAC.BCF BAC.FBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43（1 1）请在请在x x轴上找一点轴上找一点D D，使得，使得BDABDA与与BACBAC相似相似 （不包含全等），并求出点（不包含全等）

43、，并求出点D D的坐标；的坐标；（2 2）在（在（1 1）的条件下，如果）的条件下，如果P P、Q Q分别是分别是BABA、BDBD上上 的动点，连结的动点，连结PQPQ，设，设BPBPDQDQm m， 问：问：是否存在这样的是否存在这样的m m，使得，使得BPQBPQ与与BDABDA相似？相似？ 如存在，请求出如存在，请求出m m的值；若不存在，请说明理由。的值；若不存在，请说明理由。 用一用用一用OD（1）BDABACCADABC tanCADABC=BC=4AC=BCtan ABC=3CD=ACtan CAD=3 =OD=OC+CD=1+ =D( ,0)34349494134134 用一

44、用用一用PQPQ(1)(1)当当PQADPQAD时，时，BPQ BADBPQ BAD则则即：即：133413534mm = = 解得：解得：259m = =BPBQBABD= =(2)(2)当当PQPQBDBD时，时，BPQ BDABPQ BDA则则即：即：BPBQBDBA= =133413534mmm = = 解得：解得：12536m = =BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43ODBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43OD小结：相似三角形中的基本图形小结：相似三角形中的基本图形ABCDABCDEABCDAODCBABCDE

45、ACODB三、三、相似图形的特例相似图形的特例图形的位似图形的位似l1.1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似, ,而且每组对应顶点所而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点在的直线都经过同一个点, ,那么这样的两个图形那么这样的两个图形叫做叫做位似图形位似图形, ,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心, ,这时的相似这时的相似比又称为比又称为位似比位似比. .l2.2.性质：性质：l位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比离之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似图形如何作位似图形( (放大放大) ).

46、 .l5.5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像. .l4.4.如何作位似图形如何作位似图形( (缩小缩小) ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFP线线段段的的比比黄金黄金 分分 割割形状形状 相相 同同的图形的图形相似三相似三 角角 形形及其及其判定条件的判定条件的探索探索相似多边形相似多边形多边形的性质多边形的性质图形的放大与缩图形的放大与缩小小相似的综合应用相似的综合应用测量旗杆的高度测量旗杆的高度l1,1,如图如图, ,添加一个条件添加一个条件, ,使则使则ABCABCAED,AED,则这则这条件可以是条件可以是 . .

47、AEDCB练习练习v2下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A 所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似 C所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似 D有一个角相等的两个等腰三角形都相似有一个角相等的两个等腰三角形都相似DCBOAE3：53：53：51：2BADEC5.ABC中，中，DEBC，EFAB，已知，已知ADE和和EFC的面积分别为的面积分别为4和和9，求，求ABC的面积。的面积。FEDCBA6.6.如图，如图，ABCDABCD是面积为是面积为a a2 2的任意四边形，顺次连接各边中的任意四边形，顺次连接各边中点得四边

48、形点得四边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再顺次连接，再顺次连接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四边形得到四边形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重复同样的方法直到得到四边形，重复同样的方法直到得到四边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，则四，则四边形边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面积为的面积为 。na22练习练习7.在在AB=20米米,AD=30米的矩形米的矩形ABCD的花坛四的花坛四周修筑小路周修筑小路:(1)如果四周的小路的宽均相等如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围那么小路四所围成的矩形

49、和矩形成的矩形和矩形ABCD相似吗相似吗?请说明理由请说明理由 (2)如果相对两条小路的宽均相等如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽试问小路的宽x与与y的比值为多少时的比值为多少时,能使小路四周所围成矩能使小路四周所围成矩形和矩形形和矩形ABCD相似相似?请说明理由请说明理由.ABCDxxxxABCDABCDxyyxABCDw8如图，如图， ABCD中，中，E为为AD的中点，若的中点，若wS ABCD=1，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为( )wA B C D31516181CBAEDCF当堂训练当堂训练FABCDEEDCEBAADCAFEBDAEDFCBD1FEGH23A1

50、0.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全全等三角形除外等三角形除外）1 1+ 2+ 32+ 3 度度 11、RtABC中，中， ACB90 ，CDAB于于D。（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由。对说明理由。（2）若）若AD1cm, BD4cm,请你求出请你求出CD的长度。的长度。BDAC例例1 如图，已知：如图，已知：DE BCBC，DCDC和和BEBE相交于相交于P P点，连结点，连结APAP交交DEDE于

51、于M M，延长延长APAP交交BCBC于于N N点，求证：点，求证：DM=MEDM=ME，BN=NCBN=NC。AMPDEBNCADMBCDEEMDM=推得由，需利用中间比过渡，要证,/ABADBNDMABN=得,BNMEPBEPPBEPBCDEBCDEABAD=,同理可证MEDMBNMEBNDM=,同理可证：BN=NC例例2 如图，已知如图，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE，求证：求证：2ED DM=AD CD。ECDMAECDMAFG结论成立。由条件得是可得又知，使到，可延长要得出），（还应考虑系数积的形式转化成比例式成立，应把证法一：要证,2,222FCDAMDRtCDFEF

52、DECEDEEFFDEEDDMCDADEDCDADDMED=故结论成立。，由题易证得即只需证明性质，得，根据等腰三角形的作证法二：过点DAMDEGDMADDGEDDMADCDEDDGCDCDEGE=,2,2 例例3.如图：在如图：在ABC中，中， C= 90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的秒的速度移动速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的秒的速度移动。速度移动。如果如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：经过多少秒时经过多少秒时CPQ CBA; AQPCBAQPCB 经过多少秒时以经过

53、多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与为顶点的三角形恰好与ABC相似？相似？例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出xCDABE的两个根，求的两个根，求DE的长和的长和 的值。的值。例例5 如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=10AC=10，BC=24BC=24，点，点D D在在ACAC上

54、运动上运动（不运动至点（不运动至点A A），），过点过点D D作作DE ABDE AB，设，设AD=xAD=x，AE=yAE=y。（。（1 1）求）求y y关于关于x x的函数关系式和自变量的取值范围；（的函数关系式和自变量的取值范围；（2 2）若点）若点D D运动到运动到ACAC上有某个位置时，上有某个位置时，ADAD、AEAE的长恰好是一元二次方程的长恰好是一元二次方程062=atta(1)由题意知，易得由题意知，易得 ABC ADE,ADE,得得y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。100135=xxy,24260,243622DExyDEyx=的两个根，的长恰好是方程06,2=a

55、ttAEAD965, 4=aDE=242610DExyADEABC)2(的面积最大。何处时，在的函数解析式，且点与，求面积为高中，如图，例PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABC=,/,/,10,12. 6APBCMDN 现有一块三角形余料现有一块三角形余料ABC，它的一边它的一边BC=12cm，高线高线AD=8cm. E为为AB上一动点上一动点(E不与不与A、B重合重合)，且，且EFBC交交AC于点于点F ，以，以EF为边向下做一个正方形为边向下做一个正方形EFGH，设正方形设正方形EFGH与三角形与三角形ABC的重合部分面积的重合部分面积为为y,EF=x.求求(1)当当

56、HG落在落在BC上时上时,求求x PNMGHFDABCE 议一议(2)当当HG不落在不落在BC边上时边上时,求求y关于关于x的关系式的关系式 有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，如图（如图（1）所示，已知）所示，已知A=90，AB=8cm，BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，形不锈钢片，如图，甲、乙各如图，甲、乙各设计一种方案设计一种方案，你觉，你觉得哪种方案更好，为什么？得哪种方案更好，为什么？ABCGHFABCEHGABCE如图（如图（1）甲甲乙乙 变 一 变MN，、9221=ABPSBxP

57、BPCAyxxy为为垂垂足足轴轴内内一一点点是是该该直直线线上上在在第第一一象象限限轴轴于于点点分分别别交交如如图图，直直线线拓拓展展ACPBOxy ；的坐标的坐标求点求点P132632，PABABAO=2004，CA 42421=AOCS9=ABPSABPAOC，942=ABPAOCSSABAOACPBOxyACPBOxyRT ，点的坐标点的坐标试求试求相似时相似时与与当当为垂足为垂足轴轴作作的右侧的右侧在直线在直线且点且点象上象上在同一个反比例函数图在同一个反比例函数图与点与点设点设点RAOCBTRTxRTPBRPR22323，Ryx= xyP6322=，得得由由反反比比例例函函数数()y

58、xR，设设时时当当AOCBRTyxRTBTOCAO224=21131132113113，Ryx时时当当CAOBRT224=xyBTRTOCAO 例例2 在方格纸中，每个小格的顶点称为在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的点三角形，如图所示的55的方格纸中，的方格纸中，如果想作格点如果想作格点ABC与与OAB相似相似(相似比相似比不能为不能为1)，则，则C点坐标为点坐标为_OxAByOxABy125C1(5，2)55252C2(4，4)例例3、在直径为、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，的半圆内，划出一个

59、三角形区域，使三角形的一边为使三角形的一边为AB，顶点顶点C在半圆周上，现要在半圆周上，现要建造一个内接于三角形建造一个内接于三角形ABC的矩形水池的矩形水池DEFN，其其中中DE在在AB上，如图设计方案是使上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求求(1)三角形三角形AB边上的高线边上的高线CH。(2)设设DN=x,NF=y,求求y关于关于x的函数解析式。的函数解析式。(3)当当x为何值时，水池为何值时，水池DEFN的面积最大，的面积最大，最大为多少？最大为多少？EFNADBCHG练习练习（2003，潍坊）在，潍坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（1）如图如图1，四边形

60、，四边形DEFG为为ABC的内接正方形，求正方形的内接正方形，求正方形的边长。的边长。CEDBAFG练习练习（2003，潍坊）在，潍坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（2）如图）如图2，三角形内有并排的，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与矩形内接与ABC，求正方形的求正方形的边长边长（1）如图如图1，四边形，四边形DEFG为为ABC的内接正方形，求正方形的内接正方形，求正方形的边长。的边长。CEDBAFGCEDBAFGKH练习练习（2003，潍坊）在，潍坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（3）如图）如图