2021年全国乙卷高考文数真题试卷含答案和解析(教师版)

1、2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）1.已知全集U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4,则Cu（MUN）=（   ） A. 5                         &#

2、160;         B. 1,2                                   C. 3,4 

3、0;                                 D. 1,2,3,4【答案】 A 【考点】交集及其运算，补集及其运算 【解析】【解答】因为 U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4 则 MUN 1，2，3，4， 于是 Cu（MU

4、N）= 5 。 故答案为：A 【分析】先求 MUN，再求 Cu（MUN） 。2.设iz=4+3i，则z等于（   ） A. -3-4i                                    B.

5、 -3+4i                                    C. 3-4i          &

6、#160;                         D. 3+4i【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z4+3ii=4i31=34i。 故答案为：C 【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。3.已知命题p： xR，sinx1；命题q： xR， e|x|1，则下列命题

7、中为真命题的是（ ） A. p q                            B. ¬ p q               &#

8、160;            C. p ¬ q                            D. ¬ (pVq)【答案】 A 【考点】全称量词命题，

9、存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。4.函数f（x）=sin x3 +cos x3 的最小正周期和最大值分别是（   ） A. 3 和 2                        

10、0;   B. 3 和2                            C. 6 和 2              

11、60;             D. 6 和2【答案】 C 【考点】正弦函数的图象，y=Asin（x+）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】因为 f（x）=sin x3 +cos x322sin(x3+4) ,所以周期T2136 ，值域2，2。 即最大值是2， 故答案为：C。 【分析】先将 f（x） 解析式化成Asin(x+)的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。5.若x，y

12、满足约束条件 x+y4xy2y3 ,则z=3x+y的最小值为（   ） A. 18                                        

13、0; B. 10                                          C. 6   

14、60;                                      D. 4【答案】 C 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域）， 当直线 z=3x+y

15、经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.  故答案为：C 【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。6.cos212cos2512=  （   ） A. 12                            

16、;           B. 33                                     &

17、#160; C. 22                                       D. 32【答案】 D 【考点】二倍角的余弦公式 【解析】【解答】因为cos21

18、2cos2512=  1+cos(2×12)21+cos(2×512)2=12(cos6cos56)=32 故选D。   【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。7.在区间(0, 12 )随机取1个数，则取到的数小于 13 的概率为（   ） A. 34                      &

19、#160;                   B. 23                            

20、60;             C. 13                                   

21、;       D. 16【答案】 B 【考点】几何概型 【解析】【解答】由几何概型得：P13012023. 故答案为：B 【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。8.下列函数中最小值为4的是（   ） A. y=x2+2x+4                B. y=|sinx|+4|sinx|  

22、;              C. y=2x+22x                D. y=lnx+4lnx【答案】 C 【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式 【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则

23、ymin=3; 故A不符合题意； 对于B：因为y=|sinx|+4|sinx| ， 设t=|sinx|(  t(01 ),则y=g(t)=t+4t(0<t1)由双沟函数知， 函数yg(t)=t+4t(0<t1)是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合； 对于C：因为 y=2x+22x2x+42x22x·42x=4,当且仅当2x42xx=1时“”成立， 即ymin=4，故C选项正确； 对于D：当x(0,1)时，y=lnx+4lnx<0，故D选项不符合， 故答案为：C. 【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用

24、双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。9.设函数 f(x)=1x1+x ，则下列函数中为奇函数的是（   ） A. f(x1)1                       B. f(x1)+1     &

25、#160;                 C. f(x+1)1                       D. f(x+1)+1【答案】 B 【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数

26、图象的对称性 【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1,=1(x1）1+(x1）1=2x2, (x)=2x2,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合； 对于B：因为h(x)= f(x-1)+1,=1(x1）1+(x1）+1=2x, (x)=2x,则h(-X)h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合； 对于C：h(x)= f(x+1)1,=1(x+1）1+(x+1）1=2x+22, (x)=2x+22,则h(-X)h(X)，所以C不符合；  对于D：h(x)= f(x+1)+1,=1(x+1）1+(x+1）+1=2x+2, (x)=2x+2,则h(-X

27、)h(X)，故D不符合. 故答案为：B. 【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A. 2                            

28、0;            B. 3                                    &

29、#160;    C. 4                                         D. 6【答案】 D

30、【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x， 因为D1P|OB|BD,且D1P=BO=12BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP|OD1,所以AD1O 即为所求的角，易证AO平面BDD1B1,故AOOD1, 又AO=12AC=12AD1,所以AD1O6. 故答案为：D 【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。11.设B是椭圆C： x25+y2=1 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（   ） A. 52    

31、;                                     B. 6           &#

32、160;                             C. 5                   

33、;                      D. 2【答案】 A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1 =-4y2-2y+6=-4(y+4)2+254,因为1y1,所以当y=14时，|PB|2max=254,此时，|PB|max 52

34、 ， 故答案为：A 【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。12.设a0，若x=a为函数 f(x)=a(xa)2(xb) 的极大值点，则（ ） A. ab                             &#

35、160;   B. ab                                 C. aba2         

36、0;                       D. aba2【答案】 D 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a<b,ab<a2.故B,C项错； 当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。 故答案为：D. 【分析】对a的正负进行

37、讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）13.已知向量a=(2,5),b=(,4)，若 a/b ，则=_. 【答案】85【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】因为a=(2,5),b=(,4)，且 a/b ， 则2×450 ， 则 85。 【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。14.双曲线 x24y25=1 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为_. 【答案】5【考点】直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(

38、c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为d=|3+2×08|12+22=5. 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=_. 【答案】22【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】SABC=12acsinB=12acsin600=34ac=3ac=4, 于是b=a2+c22accosB=a2+c2ac=2ac=22 【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。16

39、.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）. 【答案】 或 【考点】由三视图还原实物图 【解析】【解答】当俯视图为 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图； 当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图， 故答案为： 或 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）17.某厂研究了一种生产高精产品的

40、设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为s12和s22（1）求 x ， y ， s12 ， s22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y - x 2s12+s222 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认

41、为有显著提高）. 【答案】 （1）解：各项所求值如下所示 x = 110 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y = 110 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s12 = 110 x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36，s22 = 110 x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)

42、2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.（2）由(1)中数据得 y - x =0.3，2 s12+s2210 0.34 显然 y - x 2 s12+s2210 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数x,y ， 再直接用公式计算 s12 ， s22； (2)由 (1)中的数据，计算得： y - x =0.3，2 s12+s2210 0.34 ， 显然 y - x 2 s12+s2210 ，可得到答

43、案。18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM. （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积. 【答案】 （1）因为 PD 底面 ABCD ， AM 平面 ABCD ， 所以 PDAM ， 又 PBAM ， PBPD=P ， 所以 AM 平面 PBD ， 而 AM 平面 PAM ， 所以平面 PAM 平面 PBD （2）由（1）可知， AM 平面 PBD ，所以 AMBD ， 从而 DABABM ， 设 BM=x ， AD=2x ，则 BMAB=ABAD ， 即 2x2=1 ， 解得 x=22 ，所

44、以 AD=2 因为 PD 底面 ABCD ， 故四棱锥 PABCD 的体积为 V=13×(1×2)×1=23 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明 AM 平面 PBD ， 从而可能证明 平面 PAM 平面 PBD ；（2）由连接BD（1）可得 AMBD ， 证明  DABABM通过计算，求出高 AD=2 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。19.设 an 是首项为1的等比数列，数列 bn 满足 bn=nan3 ，已知 a1 ，3 a2 ，9 a3 成等差数列. （1）求

45、an 和 bn 的通项公式； （2）记 Sn 和 Tn 分别为 an 和 bn 的前n项和.证明： Tn < Sn2 . 【答案】 （1）因为 an 是首项为1的等比数列且 a1 ， 3a2 ， 9a3 成等差数列， 所以 6a2=a1+9a3 ，所以 6a1q=a1+9a1q2 ，即 9q26q+1=0 ，解得 q=13 ，所以 an=(13)n1 ，所以 bn=nan3=n3n .（2）证明：由（1）可得 Sn=1×(113n)113=32(113n) ， Tn=13+232+n13n1+n3n ，13Tn=132+233+n13n+n3n+1 ， 得 23Tn=13+13

46、2+133+13nn3n+1=13(113n)113n3n+1=12(113n)n3n+1 ，所以 Tn=34(113n)n23n ，所以 TnSn2=34(113n)n23n34(113n)=n23n<0 ，所以 Tn<Sn2 .【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】由 a1 ， 3a2 ， 9a3 成等差数列，列关系式等比数列 an的公比q，进而得到 an ，再由bn与an的关系求得bn； （2）先根据条件求得Sn ，再由错项相减的方法求得Tn的表达式，最后用求差比较法，证明 Tn < Sn2 .20.已知抛物线C： y2=2px (

47、p>0)的焦点F到准线的距离为2. （1）求C的方程. （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 PQ=9QF ，求直线OQ斜率的最大值. 【答案】 （1）抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点 F(p2,0) ，准线方程为 x=p2 ， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 p2(p2)=p=2 ，所以该抛物线的方程为 y2=4x ；（2）设 Q(x0,y0) ，则 PQ=9QF=(99x0,9y0) ， 所以 P(10x09,10y0) ，由 P 在抛物线上可得 (10y0)2=4(10x09) ，即 x0=25y02+910 ，所以直线 OQ 的斜率 kOQ=y0x0=

48、y025y02+910=10y025y02+9 ，当 y0=0 时， kOQ=0 ；当 y00 时， kOQ=1025y0+9y0 ，当 y0>0 时，因为 25y0+9y0225y09y0=30 ，此时 0<kOQ13 ，当且仅当 25y0=9y0 ，即 y0=35 时，等号成立；当 y0<0 时， kOQ<0 ；综上，直线 OQ 的斜率的最大值为 13 .【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程； （2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 PQ=9QF ，用(x0,yO)表示出 P(10x09,10y0) ，再 代入抛物线方程，推导出x0 ， y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。21.已知函数 f(x)=x3x2+ax+1 . （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）求曲线 y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x) 的公共点的坐标. 【答案】 （1）由函数的解析式可得： f(x)=3x22x+a ， 导函数的判别式 =412a ，当 =412a0,a13 时， f(x)0,f(x) 在R上单调递增，当 =412a>0,a<13 时， f(x)=0 的解为： x1=2412a6,x