华科 机械工程测试信息信号分析 课件 ch6-01 数字信号分析

1、4:561MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 机械科学与工程学院机械科学与工程学院 机械电子信息工程系机械电子信息工程系4:562课件资料下载：邮箱地址： 密码：注意下载时不要删除原始文件 4:563 第六章 数字信号分析 (I) DFT与FFT4:564第六章第六章 主要内容主要内容6-5 现代谱分析方法现代谱分析方法-最大熵谱估计最大熵谱估计6-3 FFT6-4 谱分析与谱估计谱分析与谱估计6-2 6-2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换DFTDFT6

2、-1 模拟信号离散化模拟信号离散化p时域采样定理时域采样定理p频域采样定理频域采样定理p周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数4:565 时间函数时间函数 频率函数频率函数连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换Fourier变换的几种可能形式变换的几种可能形式4:566:()( )j tX jx t edt正1: ( )()2j tx tX jed反0)( jX0t)(txq时域连

3、续函数造成频域是时域连续函数造成频域是非周期的谱，非周期的谱，q而时域的非周期造成频域而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。是连续的谱密度函数。连续时间、连续频率连续时间、连续频率-FT域域连续性连续性周期性周期性时域连续非周期频域连续非周期4:567连续时间、离散频率连续时间、离散频率-FSq当当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅立叶级数为连续时间周期信号时，可展开为傅立叶级数域域连续性连续性周期性周期性时域连续周期频域离散非周期ktjktjejkXtxdtetxTjkXTT020200)()()(1)(000t)(tx| )(|0jkX0T0q时域连续函数造成频域是非周期的谱，时

4、域连续函数造成频域是非周期的谱，q频域的离散对应时域是周期函数。频域的离散对应时域是周期函数。q时域周期为时域周期为T0, 频域谱线间隔为频域谱线间隔为2 0/T04:568离散时间、连续频率离散时间、连续频率-序列的序列的FTq对离散序列对离散序列x(n)，其傅立叶变换为：，其傅立叶变换为：xxnjjknjjdeeXnxenxeX)(21)()()(deeXnxenTxeXTjnTjTjnTjss22)(1)()()(q若若x(n)是信号是信号x(t)的采样序列，采样间隔为的采样序列，采样间隔为T,则有：则有：4:569序列的序列的FT域域连续性连续性周期性周期性时域离散非周期频域连续周期|

5、 )(|0jkXt)(txTsTTfss2,1q时域的离散化造成频域的时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续期对应于频域的连续2,sTT时域抽样间隔为频域的周期为4:5610q上述三种情况至少在一个变换域有积分上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续连续)，因而不适合，因而不适合进行数字计算。进行数字计算。域域连续性连续性周期性周期性时域离散周期频域离散周期q时域的离散造成频域的延拓（周期性）。因而频域的离散时域的离散造成频域的延拓（周期性）。因而频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。也会造成时域的延拓（周期性）。q要想在时域和频域都是离散的，那

6、么两域必须是周期的。要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。离散傅立叶变换离散傅立叶变换4:5611对序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换在频域上加以离散化，令d=0，从而000,2sNFkk1001000000)()()()()(NnTjnkkTjsNnTjnkkTjkTjeeXnTxenTxeXeX101022)(1)()()(NknkjNnnkjNNekXNnxenxkX4:561200002121TFTFTfssss采样，时域延拓周期频域：以采样，频域延拓周期时域：以nt | )(|0TjkeX001FT ssfT1ssf200022FTkx(n)4:5613四种形式归纳四种形式

7、归纳类型类型时间函数时间函数频率函数频率函数关关 系系傅立叶变换连续非周期连续非周期 傅立叶级数连续周期(T0)离散(0)非周期 序列傅立叶变换离散(Ts)非周期连续周期(s) 离散傅立叶变换离散(Ts)周期(T0)离散(0)周期(s) 002TssT2ssT2002T4:5614DFT重要性重要性qDFT是重要的变换是重要的变换 分析有限长序列的有用工具。分析有限长序列的有用工具。 在信号处理的理论上有重要意义。在信号处理的理论上有重要意义。 在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通可以通DFT在计算机上实现。在计算机上实现。qDFT是现

8、代信号处理桥梁是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：要解决两个问题： 一是离散与量化，一是离散与量化， 二是快速运算。二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化4:56156-1 A/D与与D/A转换转换物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号计计算算机机显显示示D/A转换转换电信号电信号控制控制物理信号物理信号显示显示记录记录信号预信号预处理处理信号信号采集采集分析分析计算计算x(t)传感器和测试系统的标定和校准？法定计量单位，标传感器和测试系统的标定和校准？法定计量单位，标准信号源准信号源4:5616测试系统

9、基本模型测试系统基本模型q组成组成 传感器传感器 调理电路调理电路放大器放大器 数据采集系统数据采集系统ADCq系统灵敏度系统灵敏度 传感器灵敏度传感器灵敏度 放大器增益放大器增益 ADC灵敏度灵敏度S1S2S3 xx u v yyH1(j)H2(j)模拟部分数字部分1231231yuvySS S SxxuvSuxSvuSyvQ 测试系统基本模型测试系统基本模型(测控系统前向通道测控系统前向通道)4:5617基本参数的确定基本参数的确定q任务任务以系统分辩力、量程为依据，依次确定以系统分辩力、量程为依据，依次确定 分辩力、量程和环境条件分辩力、量程和环境条件传感器类型及其灵敏度传感器类型及其灵

10、敏度S1 量程、精度量程、精度 系统分辩率系统分辩率ADC的分辩率的分辩率(Q=1/S3) ADC量程、传感器输出范围量程、传感器输出范围放大器增益放大器增益S2q说明说明 先两头，后中间先两头，后中间 多量程，低位多量程，低位A/DS1S2S3 xx u v yyH1(j)H2(j)模拟部分 数字部分4:5618动态性能的确定动态性能的确定q任务任务 根据被测信号的最高频率根据被测信号的最高频率fm和允许动态幅值误差和允许动态幅值误差 m%，确定各环节的动态参数。确定各环节的动态参数。q方法方法 模数分开，各自预估模数分开，各自预估q模拟部分模拟部分 误差表达误差表达 理想频率特性理想频率特

11、性12()()100%()()()()()(0)NNNNH jHjHjH jHjHjHjH4:5619模拟部分动态性能的确定模拟部分动态性能的确定1q传感器与放大器均为一阶传感器与放大器均为一阶 动态误差动态误差传感器时间常数为传感器时间常数为 1放大器时间常数为放大器时间常数为 2=1/(2 fb) 合理选择合理选择 1和和 2，使，使 =2 fm时，时，22121111 ()1 ()%m4:5620模拟部分动态性能的确定模拟部分动态性能的确定2q传感器为二阶，放大器为一阶传感器为二阶，放大器为一阶 动态误差动态误差传感器固有转角频率为传感器固有转角频率为 0传感器阻尼比为传感器阻尼比为 (

12、未指明取未指明取 =0)放大器时间常数为放大器时间常数为 2=1/(2 fb) 合理选择合理选择 0、 和和 2，使，使 =2 fm时，时，22222001111 ()12%m4:5621数字部分动态性能的预估数字部分动态性能的预估qADC的转换时间的转换时间Tc 在在Tc之内，输入信号的变化的误差之内，输入信号的变化的误差ADC量化误差的一半，即量化误差的一半，即Q/2qS/H的孔径时间的孔径时间TAP(aperture time)和孔径抖动时间和孔径抖动时间TAJ (Aperture Uncertainty (jitter) ) 对于对于TAP，提前启动提前启动“H” 对于对于TAJq校核

13、校核q说明说明 还应考虑还应考虑采样定理采样定理的要求！的要求！ 系统的动态性能往往受制于传感器。系统的动态性能往往受制于传感器。1112HncfT1112HnAJfThmff214:5622数字部分动态性能的预估数字部分动态性能的预估q孔径时间：孔径时间： 在模拟量输入通道中，在模拟量输入通道中，A/D转换器将模拟信号转换成数字量需要一转换器将模拟信号转换成数字量需要一定的时间，完成一次定的时间，完成一次A/D转换器所需的时间称为孔径时间。转换器所需的时间称为孔径时间。 q孔径抖动：孔径抖动： 孔径抖动孔径抖动(或称孔径误差或称孔径误差)是指采样与采样之间孔径延迟时间的变化，是指采样与采样之

14、间孔径延迟时间的变化，起因是调制系统时钟相位时的噪声，通过对内部起因是调制系统时钟相位时的噪声，通过对内部ADC时钟抖动和时钟抖动和外部采样时钟抖动进行和方根外部采样时钟抖动进行和方根(root-sum-square)计算得到孔径抖动。计算得到孔径抖动。如果要求测量准确，数据采样系统必须要有极低的相位噪声。随如果要求测量准确，数据采样系统必须要有极低的相位噪声。随着模拟输入斜率着模拟输入斜率(dV/dt)的增加，孔径抖动也增大。一般来讲，使的增加，孔径抖动也增大。一般来讲，使用输入频率为用输入频率为MHz级的级的ADC时，时钟抖动应为亚皮秒级。时，时钟抖动应为亚皮秒级。 q孔径延迟：孔径延迟：

15、 孔径延迟是指在保持命令发出之后到孔径延迟是指在保持命令发出之后到ADC采样保持放大器采样保持放大器(SHA)完全打开采样开关所需的时间，即完全打开采样开关所需的时间，即ADC采样发出命令到采样实际采样发出命令到采样实际开始的时间。有效孔径延迟时间开始的时间。有效孔径延迟时间te 包括孔径延迟和包括孔径延迟和SHA中模拟、中模拟、数字传输延迟的影响，其值可正可负。数字传输延迟的影响，其值可正可负。 4:5623误差极限的预估误差极限的预估q任务任务 按总误差的限定值，分配各环节的允许误差。按总误差的限定值，分配各环节的允许误差。(误差极误差极限的预估限的预估)q过程过程 预分配预分配综合调整综

16、合调整再分配再分配再综合再综合直至满意直至满意q模型模型q误差合成误差合成 方根和法方根和法(几何合成几何合成)123123312123123lnlnlnlnlnyyS S S xySSSxdSdSdSdydxySSSxrrrr222123yrrrr 1111213221222333132330.dxxrrrrrrrrrrrr被测量被测量x的影响的影响不属测量系统，因不属测量系统，因而忽略。而忽略。4:56246-1 A/D转换过程转换过程采样采样利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离 散值，使之成为采样信号散值，使之成为采样信号x(nTs)的过程的过程

17、量化量化把采样信号经过舍入变为只有有限个有把采样信号经过舍入变为只有有限个有 效数字的数，这一过程称为量化效数字的数，这一过程称为量化编码编码将经过量化的值变为二进制数字的过程。将经过量化的值变为二进制数字的过程。 4:56256-1 A/D转换过程转换过程-例例4:56266-1 D/A转换过程转换过程4:5627模拟信号采样模拟信号采样设有两个不同频率的余弦信号，设有两个不同频率的余弦信号，x1(t)=cos2 (10)t, x2(t)=cos2 (50)t，现以现以fs=40Hz进行采样，得：进行采样，得：什么原因？什么原因？nnnnntxnxnntxnxNTtNTt2cos22cos2

18、5cos40502cos)()(2cos40102cos)()(2211)()(21nxnx脉冲序列采样脉冲序列采样理想脉冲采样理想脉冲采样q1、一个连续信号经过理想采样后，其采样信号频谱是一个、一个连续信号经过理想采样后，其采样信号频谱是一个周期性连续频周期性连续频谱谱，频谱周期延拓，周期为，频谱周期延拓，周期为- mS。幅值被系数。幅值被系数Cn加权。加权。q2、采样频率、采样频率 S大于信号频带宽度的大于信号频带宽度的2倍时，取样信号的频谱在每一周期倍时，取样信号的频谱在每一周期都完整地保留原来模拟信号的信息都完整地保留原来模拟信号的信息1. 时域采样：时域采样：nssnTttxtptx

19、tx)()()()()()(*)()(21PXXsnsnnCP)(2)(1( )()()snssnnsXC XnXnT当当p(t)为脉冲序列时，为脉冲序列时，Cn=1/Ts，所以，所以频域卷积定理：频域卷积定理：4:5629矩形脉冲采样矩形脉冲采样 1. 时域采样矩形脉冲采样：实际采样脉冲矩形脉冲采样：实际采样脉冲采样脉冲为周期矩形脉冲时冲采样脉冲为周期矩形脉冲时冲)(sin2ssnncTECnssssnXncTEX)()(sin)(2nsnsnXCX)()(4:5630时域采样定理时域采样定理2. 时域采样定理时域采样定理 时域采样定理：采样频率必须大于或等于信号时域采样定理：采样频率必须大

20、于或等于信号x(t)中的最中的最高频率的两倍。高频率的两倍。 物理解释：物理解释：频谱受限信号，如果频谱只占据频谱受限信号，如果频谱只占据- m m范围，范围，则信号可用等间隔采样值唯一的表示，采样间隔不大于则信号可用等间隔采样值唯一的表示，采样间隔不大于1/2fm 频带有限信号，其频率大小在时域内就是它的波形变化速频带有限信号，其频率大小在时域内就是它的波形变化速率，波形的最高变化速度将受最高频率分量的限制。率，波形的最高变化速度将受最高频率分量的限制。 时域采样定理表明，一个信号在满足时域采样定理表明，一个信号在满足一定条件一定条件下，可通过下，可通过它的时域采样点准确地恢复原来信号的波形

21、。它的时域采样点准确地恢复原来信号的波形。mSmSff22或4:5631频混现象频混现象频混现象频混现象4:5632频混现象实例频混现象实例 1. 时域采样采样信号恢复实例：采样信号恢复实例：频率混叠频率混叠低通滤波低通滤波低通滤波低通滤波WR( )1/TS=71/TS=14采样信号恢复采样信号恢复-图示图示 1. 时域采样从采样信号频谱从采样信号频谱XS( )中复原中复原X( )，采用频域矩形窗函数，采用频域矩形窗函数H( )与与XS( )相乘，即：相乘，即：)()()(HXXs实现方法：实现方法：将采样信将采样信号号xs(t)通过理想低通滤通过理想低通滤波 器 ， 传 输 函 数 为波 器

22、 ， 传 输 函 数 为H( )，在滤波器的输，在滤波器的输出 端 可 以 得 到 频 谱出 端 可 以 得 到 频 谱X( )的连续信号的连续信号x(t)。图示图示采样信号恢复采样信号恢复-公式推导公式推导 1. 时域采样).(,);(,)(CCH01理想低通滤波器传输函数：理想低通滤波器传输函数：)(sin)()(tcHFthCC1)(*)()(thtxtxS)(sin)()(sin*)()()(SCnSCCCSnSnTtcnTxtcnTtnTxtxmcmS,2)(sin)()(sin)()(ntcnTxnTtcnTxtxmnSmSmnSm在采样信号在采样信号xs(t)的每个采样值上画一个

23、峰值为的每个采样值上画一个峰值为x(nTS) 的的Sa型函数波形，合成的波形就是型函数波形，合成的波形就是x(t)。对不在取样时刻任意点的数值是无限加权采样对不在取样时刻任意点的数值是无限加权采样值的总和，但内插函数是衰减的，滤波不是理值的总和，但内插函数是衰减的，滤波不是理想滤波器，想滤波器，该点值只能是附近的一组有限值之该点值只能是附近的一组有限值之和逼近。和逼近。4:5635采样信号恢复采样信号恢复-每步示例每步示例由采样样值恢复原连续信号的过程由采样样值恢复原连续信号的过程惠特克波形重构法或理想内插法。惠特克波形重构法或理想内插法。近似逼近近似逼近时域采样信号恢复：每步示例时域采样信号

24、恢复：每步示例 Sa函数叫内插函数的原因函数叫内插函数的原因SmSnmmTTnTtnTtnTxtx,)()(sin)()(24:5636频域采样定理频域采样定理-图示图示q若若x(t)的频谱的频谱X( )被间隔为被间隔为 0的脉冲序列在频域中采样，则在时域中等效的脉冲序列在频域中采样，则在时域中等效于于x(t)以一定的时间间隔周期延拓，时间周期为以一定的时间间隔周期延拓，时间周期为T0=2 / 0，周期信号的频，周期信号的频谱是离散的。谱是离散的。信号的时域与频域呈信号的时域与频域呈采样（离散）采样（离散）与与重复（周期）重复（周期）关系。关系。 . .频域采样定理：图示频域采样定理：图示4:

25、5637频域采样定理频域采样定理-公式推导公式推导 . .频域采样定理频域采样定理连续频谱连续频谱X( )，对应的时间函数，对应的时间函数x(t)，被间隔为，被间隔为 1的脉冲序列采样的脉冲序列采样上式可看出：一个时间受限信号的长上式可看出：一个时间受限信号的长度为度为2tm，在频域采样间隔，在频域采样间隔f1 1/2tm条条件下，能够从采样点集合完全恢复原件下，能够从采样点集合完全恢复原信号的频谱。信号的频谱。)()( )()()( )(tnTtnnnTtTnnnn11111-1-11111FF F则：因nnnTtxnTttxtxXX)()(*)()()(*)()(111111-1-11-1

26、1FFFnnXX)()(),()()(11 4:5638频域采样信号恢复频域采样信号恢复-公式推导公式推导 频域采样信号恢复频域采样信号恢复时域窗函数：时域窗函数：以以F0=1/2 或或T0=2 代入上式，则频谱内插公式为：代入上式，则频谱内插公式为：上式说明恢复过程是内插过程，需要无限多的采样点从上式说明恢复过程是内插过程，需要无限多的采样点从- + 求和，实际上因所取的求和，实际上因所取的样点有限、精度有限样点有限、精度有限，滤波器也不滤波器也不具有理想频率特性具有理想频率特性，信号恢复是近似恢复信号恢复是近似恢复。4:5639频域采样信号恢复频域采样信号恢复-图示图示4. 频域采样定理频

27、域采样定理 P160 在频域中对在频域中对X( )进行采样，进行采样，等效于等效于x(t)在时域中重复，采在时域中重复，采样间隔不大于样间隔不大于1/2tm，用矩形，用矩形脉冲作选通信号，就可以恢脉冲作选通信号，就可以恢复原信号复原信号x(t) 栅栏效应：频域采样后，只栅栏效应：频域采样后，只能获得采样点的频率成分，能获得采样点的频率成分，其余的频率成分一概舍去，其余的频率成分一概舍去，就如透过栅栏观景。就如透过栅栏观景。mtf211/4:5640复指数序列复指数序列SnjnTjnTttjTeeenxSS00000,)(q复指数序列：复指数序列：N为周期的序列为周期的序列即：为整数所以,20)

28、(00mmNeeNnjnjqx(t), x(n)都是周期性信号，但对连续时间信号来说，都是周期性信号，但对连续时间信号来说， 取值可在取值可在- + 区间，而且任意选择区间，而且任意选择 0都具有周期性，其周期都具有周期性，其周期T = 2 / 0。但对离散时间信号，因为。但对离散时间信号，因为 ，表示在数，表示在数字频率上相差字频率上相差2 整数倍的所有离散时间复指数序列都是一样的。整数倍的所有离散时间复指数序列都是一样的。即离散域的即离散域的频率频率 的有效取值是在的有效取值是在0 2 或或 - 的任的任一间隔为一间隔为2 区间范围区间范围nkjnjee)2(00002 2mNNm.有理数

29、4:56q5. 周期序列的时域分析周期序列的时域分析 DFS 离散时间周期信号从连续时间周期信号均匀采样离散时间周期信号从连续时间周期信号均匀采样 例：正弦序列例：正弦序列 例：复指数序列例：复指数序列 TS为时域采样时间间隔，为时域采样时间间隔， 0= 0TS为离散域频率为离散域频率 连续时间信号连续时间信号FS表达式表达式离散时间周期信号的时域分析离散时间周期信号的时域分析t=nTS离散化离散化nnTtnxSnTtScoscoscos)(00njnTjnTttjeeenxSS00)(ktjkktjkkekXeCtx000)()(000001TtjkdtetxTkX)()(knjkknTjk

30、ekXekXnxS0000)()()(4:5642离散时间周期信号的时域分析离散时间周期信号的时域分析q5. 周期序列的时域分析周期序列的时域分析 DFS 离散序列离散序列FS表达式：复指数形式表达式：复指数形式x(n)是以是以N为周期的周期序列，表示一个周期的采样点数，则：为周期的周期序列，表示一个周期的采样点数，则： 0为离散域的为离散域的基本频率基本频率，单位是弧度，单位是弧度，k 0是是k次谐波的数字频率；次谐波的数字频率；TS为采为采样时间间隔；样时间间隔；N为一个周期采样点数。为一个周期采样点数。 0为周期信号的基波频率，为周期信号的基波频率，T0为周为周期信号的周期。期信号的周期

31、。knjkknTjkekXekXnxS0000)()()(NTNTTTTNnxnxSSSS222000),()(q说明：一说明：一个周期序列个周期序列可分解成可分解成一系列谐波一系列谐波(k 0)关系关系的的复指数序列复指数序列之和。之和。q当周期信号从当周期信号从连续域连续域变到变到离散域离散域后，频率后，频率 也从也从-+ 的无限范围，映射的无限范围，映射到到 ( 0= 0TS, 0N=2 )从从0-2 的有限范围内，连续域傅里叶级数可表示为的有限范围内，连续域傅里叶级数可表示为具有无限多个谐波分量，具有无限多个谐波分量，离散域离散域只含有只含有有限个谐波分量有限个谐波分量，总共谐波数为，

32、总共谐波数为k=2 / 0=N。4:5643离散时间周期信号的时域分析离散时间周期信号的时域分析q5. 周期序列的时域分析周期序列的时域分析 DFS 离散序列离散序列FS表达式：复指数形式表达式：复指数形式knjkknTjkekXekXnxS0000)()()(nkjnjeeNk)(,20002nekXnxNknjk ,1000)()(上式为离散傅里叶级数上式为离散傅里叶级数DFS，是一个有限项级数，对离散时间周期信号，是一个有限项级数，对离散时间周期信号，若用代表正交函数集的复指数序列来表示，该集合是有限的。若用代表正交函数集的复指数序列来表示，该集合是有限的。N是它的最是它的最高频率分量项

33、，高频率分量项，与与CFS重要区别。重要区别。X(k 0)计算：计算：000001TtjkdtetxTkX)()(10T000 , , ,NnSSSTdtNTTnTt101121001020NkenxNkXTenxNTNkXNnnjkNnSnTNTjkSSS,.,)()(.)()()(4:5644离散时间周期信号的时域分析离散时间周期信号的时域分析qn为时间离散变量，为时间离散变量，k为频率离散变量，为频率离散变量，2 /N为离散域基频为离散域基频(谱线间谱线间隔隔)。X(k 0)是复指数序列各谐波分量的复振幅，反映了各谐波分量是复指数序列各谐波分量的复振幅，反映了各谐波分量的幅度和相位，表示

34、离散时间周期信号的频谱。的幅度和相位，表示离散时间周期信号的频谱。q将将k以以k+N代入上式代入上式DFS变换对变换对nekXnxNknjk ,1000)()(1011000NkenxNkXNnnjk,.,)()()()()()()()(0102102011kXenxNenxNNkXNnnNjkNnnNNkjq离散时间信号的频谱。是一个以离散时间信号的频谱。是一个以N(2 )为周期的周期性离散频谱，个为周期的周期性离散频谱，个谱线间的间隔为谱线间的间隔为 0= 2 /N，且存在着谐波的关系。，且存在着谐波的关系。4:5645周期信号周期信号DFS-举例举例1q已知一正弦离散时间信号已知一正弦离

35、散时间信号x(n)=cos 0 n，分别求出当，分别求出当 (1) 0= 20.5 及及(2) 0= /3时的傅里叶级数表示式和相应频谱时的傅里叶级数表示式和相应频谱解：解： (1)正弦序列只有在满足正弦序列只有在满足 0 /2 =m/N=有理数的条件下才是有理数的条件下才是周期序列周期序列 ，非周期序，非周期序列，不能展开为列，不能展开为DFS。4:5646周期信号周期信号DFS-举例举例1q已知一正弦离散时间信号已知一正弦离散时间信号x(n)=cos 0 n，分别求出当，分别求出当 (1) 0= 20.5 及及(2) 0= /3时的傅里叶级数表示式和相应频谱时的傅里叶级数表示式和相应频谱解

36、：解：nekXnxNknjk ,1000)()()(cos)()n62j(-)n62j(ee21n 62 cosn3nx51 210,)(kkX4320 00,)(kkX比较比较4:5647周期信号周期信号DFS-举例举例2q已知一周期序列已知一周期序列x(n)，周期，周期N=6，如图，求该序列的频谱及时，如图，求该序列的频谱及时域表示式域表示式1011000NkenxNkXNnnjk,.,)()(4:5648周期信号周期信号DFS-举例举例2q已知一周期序列已知一周期序列x(n)，周期，周期N=6，如图，求该序列的频谱及时，如图，求该序列的频谱及时域表示式域表示式4:5649离散时间周期信号

37、的频域分析离散时间周期信号的频域分析q离散时间周期信号与连续时间周期信号频谱间的内在联系离散时间周期信号与连续时间周期信号频谱间的内在联系 举例举例1：x(t)=6cos t，现以采样间隔，现以采样间隔T=0.25秒采样，求取样后周期序列秒采样，求取样后周期序列的频谱并与原始信号的频谱并与原始信号x(t)的频谱进行比较。的频谱进行比较。解：解：求得求得NTS2001011000NkenxNkXNnnjk,.,)()(4:5650离散时间周期信号的频域分析离散时间周期信号的频域分析在一个周期内在一个周期内|X(k 0)|= |X(k 0)|，说明离散周期信号，说明离散周期信号在在- 范围内的离散

38、频谱范围内的离散频谱，可以准确地等于连续时间，可以准确地等于连续时间周期信号的离散频谱周期信号的离散频谱4:5651离散时间周期信号的频域分析离散时间周期信号的频域分析举例举例2：(a) 按按fs1=16，Ts1=1/16，则，则每一基本周期取样点数每一基本周期取样点数N=T0/Ts1=16，则：，则：比较图比较图(a)和和(c)，满足采样定，满足采样定理，不会出现频率混叠理，不会出现频率混叠4:5652离散时间周期信号的频域分析离散时间周期信号的频域分析举例举例2：(b) 按按fs2=8，Ts2=1/8，N=T0/Ts2=8，则，则幅度频谱为：幅度频谱为：比较图比较图(b)和和(c)，不满足

39、采样定，不满足采样定理，出现频率混叠，理，出现频率混叠，f2=5的正的正弦分量混叠到弦分量混叠到f1=3的余弦分量的余弦分量上，上， f1=3混叠到混叠到f2=5上。上。4:5653频率混叠与能量泄漏频率混叠与能量泄漏q混叠混叠 时域欠采样时时域欠采样时，出现频率混叠无法恢复原信号频谱，因而，出现频率混叠无法恢复原信号频谱，因而不能从时域采样点准确地重建原连续信号。同理，不能从时域采样点准确地重建原连续信号。同理，频域欠频域欠采样时采样时，出现波形混叠无法恢复原频谱对应的信号，也不，出现波形混叠无法恢复原频谱对应的信号，也不能从频域采样值重建原连续频谱。能从频域采样值重建原连续频谱。 改进方法：改进方法：提高采样速率，增加采样点数，减少混叠对频提高采样速率，增加采样点数，减少混叠对频谱分析的影响谱分