第六章 算术平均数和几何平均数 人教版

1、22222222(1)2( ,)(2)( ,)2(3)2()(4)()( ,)22(5)+()01.ababa bababa bababbaabababa babcab+bc+ca a,bRRRR,c基本不等式及其常用变式222.22a,b,2abababRaba+b调和平均数、几何平均数、算术平均数、加权平均数的大小关系：则3.极值定理的应用条件极值定理的应用条件: 一正二定三相等一正二定三相等 极值定理的应用规则极值定理的应用规则: 和定积最和定积最大大,积定和最积定和最小小设设 2),(22yxyxQ2),(yxyxAxyyxG),(yxyxH12),(求证：求证： 若若 Ryx,例例:

2、),(),(),(),(yxHyxGyxAyxQ证：证： 2222222222()2442xyxyxyxyxyxy2222yxyx 即：即： ),(),(yxAyxQ由平均不等式由平均不等式 ),(),(yxGyxA),(222),(yxGxyxyxyyxxyyxH即：即： ),(),(yxHyxG综上所述：综上所述： ),(),(),(),(yxHyxGyxAyxQ练习练习:.1的值域求函数xxy解解:2121,0) 1 (xxxxx时当,1,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y例例:.若若 1,x 则则 为何值时为何值时 x11xx有最小值，最小值为几？有

3、最小值，最小值为几？解：解： 1x 01x011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 当且仅当当且仅当 111xx即即 0 x时时 11xx有最小值有最小值1练习练习 22251(1),( )44451?219(2),1,1,12xf xxxxx yRxyxyba bRaab已知:求函数的最大值.若呢已知:且求的最小值.(3)已知:且求的最大值.练习练习:. 342432, 0的最大值是求证已知xxx证明证明,4,3, 0Rxxx, 3443243xxxx, 342)43(2432xxxx. 342432 ,332,43的最大值是时当且仅当xxxxx例例:其容积体无盖贮水池某

4、工厂要建造一个长方,?,1201,1501,3,4800223最低总造价是多少造价最低问怎样设计水池能使总元的造价为池壁每元的造价为如果池底每深为为mmmm解解:,34800,元水池总造价为则另一边的长为为设水池底面一边的长度ymxxm)348003232(12034800150 xxxxy得依题意,)1600(720240000 xx.29760016002720240000 xx.297600,40,1600有最小值时即当且仅当yxxx.297600,40,元最低总造价为水池的总造价最低的正方形时当水池的底面是边长为因此m4.一段长为一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜的篱笆围成一个

5、一边靠墙的矩形菜园园,问这个矩形的长问这个矩形的长,宽各为多少时宽各为多少时,菜园的面积最菜园的面积最大大,最大面积是多少最大面积是多少?xxl2解解:,)2(,mxlxm则另一边为设矩形靠墙一边的长为)2(xlxS依题意矩形的面积为)2(221)2(xlxxlxS.81)22(412122lxlx.,4,22矩形的面积最大时当且仅当lxxlx4.一段长为一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园园,问这个矩有的长问这个矩有的长,宽各为多少时宽各为多少时,菜园的面积最菜园的面积最大大,最大面积是多少最大面积是多少?xxl2另解另解:,)2(,mxlxm则另一边为

6、设矩形靠墙一边的长为)2(xlxS依题意矩形的面积为.81,42llx矩形的最大面积是时当 .81)4(22222llxlxx其思想方法是利用其思想方法是利用二次函数二次函数练习练习:.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证dx22,xdx则另一边长为设矩形的一边长为如图证明一证明一)(22222xdxxdxS面积2222221)2(dxdx.22,222时等号成立当且仅当dxxdx.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形练习练习:.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证证明二证明二dcossin,dd和

7、则矩形的两边分别为角为设矩形一边与直径的夹如图cossinddS矩形的面积,2sin21cossin22122dd2max21,4, 12sindS时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形练习练习:.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证.,222xySdyxyx面积则设矩形的边长为如图证明三证明三2max21,dSyx 时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形dxy,222xyyx222212dyxxySabccbaRcba3,:2333那么如果定理)”“,(号取时当且仅当cbaabcabbacba333)(2233证

8、明证明:)(3)()(22cbaabccbabacbaabccba333332)(222abcbcacbabacba)(222cabcabcbacba0)()()(21222accbbacbaabccba3333),(Rcba推论推论:33,abccbaRcba那么如果)”“,(号取时当且仅当cba3333333333)()()(cbacba证明证明:33 abccba33abccba推论推论:),(33Rcbaabccba33 abccba.,等号成立时当且仅当cba为定值时abc) 1 (为定值时cba)2(3)3(cbaabc.,等号成立时当且仅当cba练习练习:.)1 (,10) 1

9、(2的最大值求函数时当xxyx解解:, 10 x, 01x.274,32,12maxyxxx时当274)3122(43xxx)1 (224)1 (2xxxxxy构造三构造三个数相个数相 加等于加等于定值定值.)1 (,10)2(2的最大值求函数时当xxyx练习练习:解解:, 10 x, 012x得由),1 (2xxy2222)1 (xxy)1)(1 (221222xxx274)3112(213222xxx. 392,274,33,12maxmax222yyxxx时当构造三个构造三个数相数相 加加等于定值等于定值.(5)将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁

10、盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解解:设剪去的小正方形的边长为xx)20( ,)2(2axxaxV则其容积为 :)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxax272,6,243maxaVaxxax时当且仅当.272,63aa积是合的最大容铁时长为小正方形边即当剪去的axa2.)0( ,32)3(2的最小值求函数xxxy练习练习:3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min43y(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号)正解正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx时当且仅当课堂小结课堂小结2222222222221.,2|;()()()22().abababcabbccaabcdacbdababab均值定理的应用范围广泛 要关注变量的取值要求和等号能否成立,还要注意它的变式的运用,如:等课堂小结课堂小结2.(0).3.(