第三章静电场中电介质

1、第三章 静电场中的电介质3.5 3.5 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理3.2 3.2 偶极子偶极子3.3 3.3 电介质的极化电介质的极化3.4 3.4 极化电荷极化电荷 3.6 3.6 有电介质时的静电场方程有电介质时的静电场方程3.7 3.7 电场的能量电场的能量3.1 3.1 概述概述第三章 静电场中的电介质n微观值和宏观值的区别微观值和宏观值的区别: :n微观值：微观值：它是指该量在介质中各微观点的值，有剧烈起伏它是指该量在介质中各微观点的值，有剧烈起伏n宏观值：宏观值：是微观值在是微观值在物理无限小物理无限小体积中的平均值，是一个平均效果。体积中的平均值，是一个平均效果。n

2、物理无限小物理无限小: : 宏观看来很小，微观看来足够大（包含大量的分子和原宏观看来很小，微观看来足够大（包含大量的分子和原子）子）电介质的概念：电介质的概念：电介质也叫绝缘体；不允许电荷通过的物体。电介质也叫绝缘体；不允许电荷通过的物体。 电介质的种类：电介质的种类： 气态：空气、氮气、氦气等。气态：空气、氮气、氦气等。液态：油、纯水、漆等。液态：油、纯水、漆等。 固态（非晶体和晶体）：玻璃、固态（非晶体和晶体）：玻璃、橡胶、陶瓷等。橡胶、陶瓷等。 真空中的静电场规律是否适用于介质中的静电场？真空中的静电场规律是否适用于介质中的静电场？方法：把原子核整体及核外电子分别看作点电荷方法：把原子核

3、整体及核外电子分别看作点电荷. . 3.1 概述概述第三章 静电场中的电介质如图所示，在充电后脱离电源的平行板电容器里插入了如图所示，在充电后脱离电源的平行板电容器里插入了厚度为厚度为t t的金属板。的金属板。求（求（1 1）电容量）电容量C=?C=? （2 2）金属板与极板的远近对）金属板与极板的远近对 电容量电容量C C有无影响？有无影响？0SCdtQUC+Q-QC0U0真空电容器真空电容器+Q-QCU有电介质时有电介质时实验实验0UU3.2 偶极子偶极子第三章 静电场中的电介质电介质结构：电介质结构：中性分子构成，中性分子构成，“晶胞晶胞”电中性：电中性：分子中所有电荷的代数和为零。分子

4、中所有电荷的代数和为零。束缚电荷：束缚电荷：电介质中的带电粒子不能发生宏观位移，电介质中的带电粒子不能发生宏观位移， 这些带电粒子称为这些带电粒子称为束缚电荷束缚电荷。然而这些带电粒子在外场作用下有微观位移，从而产生然而这些带电粒子在外场作用下有微观位移，从而产生附加场附加场，从而改变总场。，从而改变总场。电介质的电介质的“重心模型重心模型”：分子中所有正电荷和所有负电荷分：分子中所有正电荷和所有负电荷分别集中在两个几何点上，这两个几何点分别叫做正、负电荷别集中在两个几何点上，这两个几何点分别叫做正、负电荷的的“重心重心”。（前提条件：场点与分子的距离远大于分子的。（前提条件：场点与分子的距离

5、远大于分子的线度）线度）+ +偶极子：两个相距很近等值偶极子：两个相距很近等值异号的点电荷的组成。异号的点电荷的组成。3.2 偶极子偶极子第三章 静电场中的电介质FqEsinTFlsinTqlE(1)P(1)P只与偶极子所带的电量只与偶极子所带的电量q q和它们之间的距离有关和它们之间的距离有关(2)(2)在电场一定时，力偶距在电场一定时，力偶距T T只由只由P P决定决定(3)(3)力偶距力偶距T T力图使力图使P P转到与转到与E E一致的方向上一致的方向上电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩的大小为电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩的大小为 讨论讨论EqqlFFPpql3.2 偶极子偶极子PE

6、第三章 静电场中的电介质电偶极子在延长线上和中垂面上一点产生的电场强度。电偶极子在延长线上和中垂面上一点产生的电场强度。qql解：解：EE204(2)qEix lOxP204(2)qEix lE EE222024(4)q xlixlpql222024(4)xpxl令：电偶极矩令：电偶极矩3024px舍去二级小量舍去二级小量3.2 偶极子偶极子第三章 静电场中的电介质qqlPrEEE2204(4)qEErl2cosEE304PEr304pEr（2 2）模型比较：）模型比较：无限大平面无限大平面-点电荷点电荷-q(-q(标量标量)-)-场具有球对称性场具有球对称性偶极子偶极子-p(-p(矢量矢量)

7、-)-场具有轴对称性场具有轴对称性（1 1）E E与与p p成正比，与成正比，与r r的三次方成反比。空间任意一点还与的三次方成反比。空间任意一点还与 有关。有关。3.2 偶极子偶极子第三章 静电场中的电介质3.2 偶极子偶极子第三章 静电场中的电介质1 1、电介质的分类、电介质的分类 无极分子无极分子电介质分子在无电场时的正、负电荷中电介质分子在无电场时的正、负电荷中心重合。偶极矩等于零。心重合。偶极矩等于零。有极分子有极分子电介质分子在无电场时正、负电荷之中电介质分子在无电场时正、负电荷之中心不重合。偶极矩不等于零。心不重合。偶极矩不等于零。3.3 电介质的极化电介质的极化第三章 静电场中

8、的电介质 (2) (2) 有极分子的取向极化有极分子的取向极化无序无序 有序。有序。 0E场0E0E0E加0E0E分p2 2、电介质极化的分类、电介质极化的分类 (1) (1) 无极分子的位移极化无极分子的位移极化3.3 电介质的极化电介质的极化第三章 静电场中的电介质三、极化强度三、极化强度1、定义：定义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。单位体积内分子电偶极矩的矢量和。 定量描写电介质极化程度的物理量。定量描写电介质极化程度的物理量。(宏观量宏观量)VpP分子极化实质：极化实质： 不论哪一类电介质，极化意味着小体元内分不论哪一类电介质，极化意味着小体元内分子偶极矩矢量和从零变为非零。子偶极矩

9、矢量和从零变为非零。2 2、极化强度与总电场的关系、极化强度与总电场的关系EP0总场强P2米库 的单位：的单位： 各向同性电介质中各向同性电介质中: :3.3 电介质的极化电介质的极化第三章 静电场中的电介质EP0极化率：极化率：取决取决于电介质的性于电介质的性质；反映电介质；反映电介质每点的宏观质每点的宏观性质性质各向同性电介质：各向同性电介质：P P与与E E的关系与方向无的关系与方向无关的电介质。关的电介质。均匀电介质：均匀电介质：各点的极化率都相等的各各点的极化率都相等的各向同性电介质。向同性电介质。3.3 电介质的极化电介质的极化第三章 静电场中的电介质一、极化电荷一、极化电荷 1.

10、1.如果说一个导体带电，是指导体失去或得到一些自由如果说一个导体带电，是指导体失去或得到一些自由电子电子, ,因而整个导体所有带电粒子的电量的代数和不为因而整个导体所有带电粒子的电量的代数和不为0 0。2.2.有时一个导体电量的代数和为有时一个导体电量的代数和为0 0（中性导体），在外（中性导体），在外场中出现等值异号电荷，我们也可以说它场中出现等值异号电荷，我们也可以说它局部带电局部带电。在这之前，我们知道电介质之间的互相摩擦，实现了电在这之前，我们知道电介质之间的互相摩擦，实现了电子转移，分开后带电；其次电介质与带电导体接触带电。子转移，分开后带电；其次电介质与带电导体接触带电。但是，若一

11、块电介质电量代数和为但是，若一块电介质电量代数和为0 0，能否实现宏观带，能否实现宏观带电？电？3.4 极化电荷（极化电荷（ polarization charge)第三章 静电场中的电介质只要介质在外电场作用下发生只要介质在外电场作用下发生极化极化，那么在介质内部取，那么在介质内部取一物理无限小体积一物理无限小体积，其中所包含的带电粒子的电量代，其中所包含的带电粒子的电量代数和就可能不为数和就可能不为0 0，这种由于极化而出现的宏观电荷叫做极这种由于极化而出现的宏观电荷叫做极化电荷，把不是由极化引起的宏观电荷叫做自由电荷。化电荷，把不是由极化引起的宏观电荷叫做自由电荷。无无论是极化电荷还是自

12、由电荷，都按第一章所讲的规律激发论是极化电荷还是自由电荷，都按第一章所讲的规律激发静电场。静电场。我们以我们以 分别表示极化电荷及其密度分别表示极化电荷及其密度, , 分别表示自由电荷及其密度。分别表示自由电荷及其密度。 ,q000,q 电场是电介质极化的原因，极化则反过来对电场造成影电场是电介质极化的原因，极化则反过来对电场造成影响，这种影响之所以发生是由于电介质在极化后出现了极化响，这种影响之所以发生是由于电介质在极化后出现了极化电荷（有时称为束缚电荷）。电荷（有时称为束缚电荷）。3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质二、极化电荷体密度与极化强度的关系二、极化电荷体密度与极化强度

13、的关系dS整体位于体元内的偶极子对整体位于体元内的偶极子对qq的贡献为零，只有被体元的的贡献为零，只有被体元的边界截断的偶极子对边界截断的偶极子对qq的贡的贡献不为零。献不为零。令电介质某体积令电介质某体积V V内的极化内的极化电荷为电荷为qq，当体积缩至物理，当体积缩至物理无限小时，比值无限小时，比值q/q/V V为该为该点的极化电荷体密度。点的极化电荷体密度。3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质如图所示，对极化电荷有如图所示，对极化电荷有贡献的仅是中心在层内的贡献的仅是中心在层内的偶极子。偶极子。由于由于dsds很小，可以很小，可以认为其上各点的认为其上各点的P P相同。相同。

14、n 设单位体积有设单位体积有 个分子，夹层体积为个分子，夹层体积为coslds有贡献的偶极子个数为：有贡献的偶极子个数为：co sn ld s所贡献的电荷为：所贡献的电荷为：cosdqqnldS E，Pne注意：负号的意义注意：负号的意义3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质lnqpnP分子按定义，极化强度矢量按定义，极化强度矢量cosdqqnldS cosdqpdSP dS SqP dS SPd SV体元内的极化电荷总量：体元内的极化电荷总量：极化电荷的体密度：极化电荷的体密度：3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质 对于均匀极化介质，可以证明其极化电荷体对于均匀极化介质

15、，可以证明其极化电荷体密度恒为零。密度恒为零。E EP P均 匀 电 介 质A AB BC CD D3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质三、极化电荷面密度与极化强度的关系三、极化电荷面密度与极化强度的关系S S1 1S S2 2e en1n1e en2n2h h介质介质1 1介质介质2 2S S1 1S S2 2薄层的高度很小，薄层内的极化电荷只有上下两个薄层的高度很小，薄层内的极化电荷只有上下两个面有贡献，即面有贡献，即1111122222nnqPSP eSqPSP eS 3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质1111122222nnqPSP eSqPSP eS 12n

16、nee 12221121121)()()nnnnnqqqP eP eSPP eSPPS （2121()nnnqPPPP eSen是从介质是从介质2指向介质指向介质1的法向单位矢。的法向单位矢。3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质讨论：讨论：两种媒质分界面上极化电荷的面密度两种媒质分界面上极化电荷的面密度媒质1媒质22n1nnS（1 1）媒质）媒质2 2是电介质而媒质是电介质而媒质1 1是真空是真空nPnP22（2 2）媒质）媒质2 2是电介质而媒质是电介质而媒质1 1是金属是金属nPnP222121()nnnqPPSPP e（3 3）两种媒质都是电介质）两种媒质都是电介质nnPPn

17、PP1212)(利用极化电荷的概念可以解释带电棒会吸引附近的纸片等利用极化电荷的概念可以解释带电棒会吸引附近的纸片等轻小不带电物体。轻小不带电物体。3.4 极化电荷极化电荷第三章 静电场中的电介质例：图中沿例：图中沿x x 轴放置的电介质圆柱底面积为轴放置的电介质圆柱底面积为S S，周围是真，周围是真空，已知电介质内各点极化强度空，已知电介质内各点极化强度P P= =KxiKxi（其中（其中K K 为常量，为常量，i i 为沿为沿x x 轴正向的单位矢量），轴正向的单位矢量），求：（求：（1 1）圆柱两底面上的极化电荷面密度）圆柱两底面上的极化电荷面密度 及及 。 （2 2）圆柱内的极化电荷体

18、密度）圆柱内的极化电荷体密度 。ab解解：（：（1）aabbPKaPKb ()()()()P dSKbKaSK baKS baba （2）第三章 静电场中的电介质1、推导、推导E0PS000 内SqqqE dS 根据高斯定理：根据高斯定理：:SqP dS 由高斯定理可以重新写为：高斯定理可以重新写为：00()SEPdSq PED0:令0:SD dSq 则有E = E0+E 3.5 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理第三章 静电场中的电介质2、电介质中的高斯定理、电介质中的高斯定理上式的左边是电位移通量。上式的左边是电位移通量。q0是高斯面内所包围的自由是高斯面内所包围的自由电荷的代数和。电荷

19、的代数和。ESE dS DSD dS 高斯面内的电场强度通量高斯面内的电场强度通量高斯面内的电位移通量高斯面内的电位移通量 电介质中的高斯定理可以表述为：电介质中的高斯定理可以表述为：在静电场中，通在静电场中，通过任意闭合曲面（高斯面）的电位移通量等于该闭合曲过任意闭合曲面（高斯面）的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和。面内所包围的自由电荷的代数和。电位移通量电位移通量与与极化电极化电荷荷无关。无关。0SD dSq 3.5 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理第三章 静电场中的电介质3、电位移、电位移PED0普遍成立：对于各向同性电介质和各普遍成立：对于各向同性电介质和各向异性

20、电介质都适用。真空中：向异性电介质都适用。真空中：P=0，若电介质是各向同性的，则有：若电介质是各向同性的，则有：00000(1)rDEPEEEEE 1,1rr ED0引入：相对介电常量引入：相对介电常量(相对电容率相对电容率) r0.r 这里叫电介质的绝对介电常数(电容率) 3.5 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理第三章 静电场中的电介质对电位移对电位移D D的几点讨论：的几点讨论：1. 1. 对对 D D 的理解：的理解：D D 只和自由电荷有关吗只和自由电荷有关吗? ? D D 的高斯定理说明的高斯定理说明 D D 在闭合面上的通量只和自由电在闭合面上的通量只和自由电荷有关，这不等于

21、说荷有关，这不等于说 D D 只和自由电荷有关。只和自由电荷有关。 由由 , ,也说明也说明 D D 既和自由电荷又和极化电既和自由电荷又和极化电荷有关荷有关(E (E 是空间所有电荷共同产生的是空间所有电荷共同产生的) )。 P P-q-q +q+q q q例如：例如：E EP P由由q q、-q-q 、q q 共同激共同激发，而发，而D DP P= = 0 0E EP P，显然也与极化，显然也与极化电荷有关。电荷有关。 3.5 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理第三章 静电场中的电介质4、电位移线及其特点：、电位移线及其特点：类似于电场线类似于电场线(E线线)电位移线电位移线有方向曲线，

22、它满足（有方向曲线，它满足（1）其切向就是电位）其切向就是电位移的方向，（移的方向，（2）其密度等于电位移的大小。）其密度等于电位移的大小。电位移通量电位移通量穿过某一有向曲面的电位移线的条数。穿过某一有向曲面的电位移线的条数。 由电介质中的高斯定理，由电介质中的高斯定理，我们可以知道：电位移线我们可以知道：电位移线总是起始于自由正电荷终总是起始于自由正电荷终止于自由的负电荷。止于自由的负电荷。+0-0+-+-E0PED 3.5 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理第三章 静电场中的电介质5、电介质中高斯定理的应用、电介质中高斯定理的应用求解电荷和电介质都对称分布时的电场的场强。求解电荷和电介

23、质都对称分布时的电场的场强。例例 如图所示，一个均匀带电球体外如图所示，一个均匀带电球体外有一个电介质球壳。试求场强分布。有一个电介质球壳。试求场强分布。解：如图取高斯面，则有：解：如图取高斯面，则有：R1R2Qr204 SD dSDrq131310RrRrQRrQq1311244RrRQrRrrQDED1311220220,4,4,4rQrrRRQERrRrQrRr 3.5 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理第三章 静电场中的电介质有电介质时电场的计算有电介质时电场的计算(及相关计算）：及相关计算）：0r(1)PE 3.5 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理第三章 静电场中的电介质 例题

24、：带电例题：带电 Q 的均匀带电导体球外有一同心的均匀电介的均匀带电导体球外有一同心的均匀电介质球壳质球壳(er 及各半径如图及各半径如图)，求，求 (1) 电介质内外的电场；电介质内外的电场； (2) 导体球的电势；导体球的电势； (3) 电介质表面的极化电荷电介质表面的极化电荷。 解解 ：(1)场强分布场强分布 求求 D：取高斯面如图由：取高斯面如图由 024qrDSdDSerPPS1S2R1R21202QRrRqQRr 1222244QRrRrDQRrr 第三章 静电场中的电介质erPPS1S2R1R2122022044rQRrRrEQRrr （2）求导体球的电势）求导体球的电势2021

25、02020211411414142212211RQRRQdrrQdrrQdrEdrErdEUrRRRRrRRRR第三章 静电场中的电介质(3)电介质表面的极化电荷电介质表面的极化电荷 求 P： 0020122(1)(1)41(1)()4rrrrQPErQRrRr 221122211(1)41(1)4Rnr RrRnr RrQPnRQPnR 为沿半径向外方向为沿半径向内方向21222222,221121114(1)4(1)4114(1)4(1)4RrrRrrQqRRQRQqRRQR ,外内erPPS1S2R1R2第三章 静电场中的电介质此题所给系统也可看作三层均匀带电球面。由均匀带此题所给系统也

26、可看作三层均匀带电球面。由均匀带电球面内、外的场强结果，用场强叠加原理可得：电球面内、外的场强结果，用场强叠加原理可得： 介质内介质内 q 内内的场强抵消了的场强抵消了Q的部分场强。的部分场强。 介质外介质外 q 内内、 q 外外的场强相互抵消。的场强相互抵消。 erPPS1S2R1R2,220012201(1)44()4rrQQQqErrQRrRr 内,2220044QqqQERrrr 外内（）第三章 静电场中的电介质0D+ + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -1d2d00- - - - - + + + + + + 11+ + + + + - -

27、- - - 221S1E2E1r00r101DE101dSDSDSS解（解（1）例：例： 一平行平板电容器充满两层厚度各为一平行平板电容器充满两层厚度各为 和和 的电介质，的电介质，它们的相对介电常数（电容率）分别为它们的相对介电常数（电容率）分别为 和和 , 极板面积极板面积为为 . 求（求（1）电容器的电容；（）电容器的电容；（2）当极板上的自由电荷面）当极板上的自由电荷面密度的值为密度的值为 时，两介质分界面上的极化电荷面密度时，两介质分界面上的极化电荷面密度.1d2dr1r2S0r200r202DE同理：同理：第三章 静电场中的电介质2211ddEdElEUl)(2r21 r10ddS

28、Q0r1r2r12r21SQCUdd r1r20012r1r211nnnPP为从介质1指向介质2的方向 + + + + + - - - - - + + + + + + + + +- - - - - - - - - + + + + + - - - - - 1d2d0112201S1E2E（2）010r110r100r1r11(1)(1)(1)PE 020r220r200r2r21(1)(1)(1)PE 第三章 静电场中的电介质r例：例： 常用的圆柱形电容器，是由半径为常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长直圆柱导体和的长直圆柱导体和同轴的半径为同轴的半径为 的薄导体圆筒组成，并在直导体与导体圆筒的

29、薄导体圆筒组成，并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为之间充以相对电容率为 的电介质的电介质.设直导体和圆筒单位长度设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为上的电荷分别为 和和 .求（求（1）电介质中的电场强度、）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；（）电介质内、外表面的极化电荷面密电位移和极化强度；（）电介质内、外表面的极化电荷面密度；（）此圆柱形电容器的电容度；（）此圆柱形电容器的电容1R2Rr1R2R第三章 静电场中的电介质dSDSl解（解（1）lrlD2rD2rDEr0r02)(21RrRrEPrr0r21) 1(（）由上题可知（）由上题可知11r01rr1(1)(1)2 RPER 2

30、2r02rr2(1)(1)2 RPER1r2)1(1RPrR)(1Rr 2r2)1(2RPrR)(2Rr rEPrr0r21) 1(第三章 静电场中的电介质真空圆柱形电真空圆柱形电容器电容容器电容（）由（）可知（）由（）可知rEr02)(21RrR21r02ddRRrrrEU120ln2RRr12r0ln2RRlUQC 0r C12r0ln2RRlC单位长度电容单位长度电容第三章 静电场中的电介质作业：作业：厚度为厚度为d，相对介电常量为，相对介电常量为的无限大均匀的无限大均匀电介质平板内以体密度电介质平板内以体密度均匀分布着自由均匀分布着自由电荷，求电介质板内、外的电荷，求电介质板内、外的E

31、、D和和P。r0图中图中A为一金属，其外部充满电介质，已知交界面上为一金属，其外部充满电介质，已知交界面上某点的极化电荷面密度为某点的极化电荷面密度为，该点附近电介质的相对，该点附近电介质的相对介电常数量为介电常数量为。求该点的自由电荷面密度求该点的自由电荷面密度。r0第三章 静电场中的电介质二、边界条件（两种电介质的交界面上）：二、边界条件（两种电介质的交界面上）：DE电介质的性能方程电介质的性能方程0/ssE dsq内0lldE真空中的静电场方程真空中的静电场方程内ssqsdD00lldE有电介质时的静电场方程有电介质时的静电场方程一、有电介质时的静电场方程一、有电介质时的静电场方程12n

32、nDD12nnDSDSS则有则有0dqDS 根据根据 nSS-n介质1介质2n3.6 介质中的静电场方程介质中的静电场方程第三章 静电场中的电介质121221nnnnDDEE121122ttttEEDD12nnDD设界面上没有自由电荷：设界面上没有自由电荷：1221nnEE120ttElEl 0ldEl根据根据 则有则有 介质1介质2ttllt 1t2EE1122ttDD所以，边界条件为所以，边界条件为3.6 介质中的静电场方程介质中的静电场方程第三章 静电场中的电介质例：分界面左右两侧电介质的相对介电常量例：分界面左右两侧电介质的相对介电常量分别为分别为=3和和=6，设分界面左侧场强，设分界面左侧场强大小为大小为E1，与法线成，与法线成45度角且指向右侧，度角且指向右侧，如图所示，求分界面右侧的场强如图所示，求分界面右侧的场强E2。2r1r1111112sin4522cos452tnEEEEEE211121122224ttrnnrEEEEEE22222221115828tnEEEEEE由边界条件得由边界条件得22222tnEtgEarctgE为与法线之间的夹角解：解：第三章