工程力学第二章

1、第二章 平 面 力 系第一节第一节 平面任意力系的简化及简化结果的讨论平面任意力系的简化及简化结果的讨论第二节第二节 平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程及其应用第三节第三节 静定与超静定问题及物体系统的平衡静定与超静定问题及物体系统的平衡第四节第四节 平面静定桁架内力的计算平面静定桁架内力的计算小结小结 作用在刚体上的力系中，当各力的作用线都在同一平面内，这种力系称为平面力系平面力系。第一节第一节 平面力系的简化平面力系的简化一、平面力系的概念一、平面力系的概念 BACWGFNAyFNAxFNBBACWGGFT1FT2FT1FT2WFT3FT3FR2FR1BACFR1FR2F

2、NAyFNAxFNB 当各力的作用线汇交于一点时，称为平面汇交平面汇交力系力系 。一、平面力系的概念一、平面力系的概念 当各力的作用线相互平行时，称为平面平行力系平面平行力系 。 当各力的作用线既不全部相交，又不全部平行时，称为平面任意力系平面任意力系 。WF前F后F 在工程实际中，结构或机构中各构件的位置往往呈空间分布，力的作用线也并不都在同一平面内，但若物体的形状和它所受的力都对称或近似对称与某个对称平面，那就可将作用在物体上的各力都移到该对称平面内，把原来的空间问题转化为作用在对称平面内的平面问题来处理 。F1F2A1A2AnFnxyOxyOxyOO为简化中心简化中心 二、平面任意力系的

3、简化二、平面任意力系的简化F1F2FnM1M2MnMOFRMO=M1+ M2+ Mn= MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn) MO=MO(F) （2-2）主矢主矢主矩主矩在平面内任选一点O为简化中心简化中心。 根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个交于O点的平面汇交力系F1，F2， ，Fn，以及平面力偶系M1， M2，Mn。 平面汇交力系F1，F2， ，Fn，可以合成为一个作用于O点的合矢量FR，它等于力系中各力的矢量和。 FR= F1+F2+Fn=F1+F2+ Fn=F 附加平面力偶系M1，M2，Mn可以合成为一个合力偶MO， 按式（1-9）可得主矩的值 。xyOMOFR FRx

4、=Fx FRy=Fy222R2RR)()(yxyxFFFFFxyFFarctan其中夹角为锐角，FR的指向由Fx和Fy的正负号决定。 （2-1）xyOMOFR22R)()(yxFFFxyFFarctan（2-1）MO=MO(F) （2-2） 单独的FR不能和原力系等效，故称它为力系的主矢主矢。 单独的MO也不能和原力系等效，故称其为原力系的主主矩矩。它等于力系中各力对简化中心力矩的代数和。 原力系与其主矢FR和主矩M的联合作用等效。其中，主矢FR的大小和方向与简化中心的选择无关，而主矩M的大小和转向与简化中心的选择有关。 三、简化结果的讨论三、简化结果的讨论 平面任意力系的简化，一般可得到主矢

5、FR和主矩MO，但它不是简化的最终结果，简化结果通常有以下四种情况。 1FR0、MO=0因为MO0，主矢FR就与原力系等效，FR即为原力系的合力，其作用线通过简化中心。FR=0、MO0 原力系简化结果为一合力偶MOMO(F)， 此时主矩MO与简化中心的选择无关。 PPPABCaaaFR=0 ；MA = M B = MC = 0.866Pa 3FR0 、 MO0 根据力的平移定理逆过程，可以把FR和MO合成为一个合力FR 。 合力FR的作用线到简化中心的O的距离d为RFMdOO。FRAFRFROAFR。MOOA。FRdd 合力FR 是在主矢FR的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。（2-3）

6、4 FR =0 、 MO = 0 物体在此力系作用下处于平衡状态。关于平衡问题将在下面的节章中进行详细讨论。 1 基本形式 如平面任意力系向任一点O简化，所得主矢、主矩均为零，则物体处于平衡；反之，若力系是平衡力系，则主矢、主矩必同时为零。因此，平面任意力系平衡的充要条件为 一、一、平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 第二节第二节平面任意力系的平衡方程及其应用平面任意力系的平衡方程及其应用0)()(22RyxFFFMO=MO(F) =0（2-6） 可得一、一、平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 Fx0 Fy0 MO (F) 0 1 基本形式 0)()(22RyxFFFMO=

7、MO(F) =0（2-6） 因平面任意力系有三个独立的平衡方程，故最多只能求解三个未知量。 注意到在导出平衡方程的过程中，没有对投影轴的方向与矩心的位置做过任何的限制，因此方程组合形式繁多，方程数三个是必须的，但须注意它的充分性，例如常见的二矩式 2其它形式 Fx0 MA(F)0 （2-8） MB(F)0 必须加上附加条件才是充分的，它的附加条件为：x 轴不能垂直于AB连线。 （1）两矩式（2）三矩式注意：A、B、C三点不在一条线上。ABRC0)(0)(0)(FMFMFMcBA 1）确定研究对象，画出受力图确定研究对象，画出受力图。应取有已知力和未知力作用的物体，画出其分离体的受力图。 2）列

8、平衡方程并求解列平衡方程并求解。适当选取坐标轴和矩心。若受力图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此二力的坐标轴，列出投影方程。如不存在两未知力相互平行，则可选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐标轴可以不画，但倾斜则必须画出。 题解分析题解分析。将已知量以其代数量入题。先得代数形式的解以便分析各参数对解的影响，最后一次性代入数字得数字解，这是工程分析的习惯。 二、平面任意力系平衡方程的解题步骤二、平面任意力系平衡方程的解题步骤 摇臂吊车如图所示，已知梁AB的重力为G14kN，立柱EF的重力为G23kN，载荷为W20kN，梁长l2m，立柱h1.2m，载荷到A铰的距离

9、x1.5m，点A、E间水平距离a=0.2m，拉杆倾角30 。试求立柱E、F处的约束反力。 解解 1）画受力图 。 2）列平衡方程求解。 hEG1WABDCFaxll/2G2FEyFExFFx 因求E、F处的支座反力，故取整个摇臂吊车为研究对象。 注意到受力图中有两未知力FFx与FEx互相平行，故取轴y为投影轴，列出投影方程为： Fx0， FEx-FFx=0 FEx=FFx Fy0 ， FEyG1G2W= 0 FEy27 kN （） 已知；G14kN，G23kN，W20kN，l2m，h1.2m，x1.5m，a=0.2m，30 。 试求立柱E、F处的约束反力。 解解 1）画受力图 。 2）列平衡方

10、程求解。 hEG1WABDCFaxll/2G2FEyFExFFx 求出FEy后，只存在点F、E上两处未知力，故可任择其一为矩心，列出力矩方程为： Fx0， FEx-FFx=0 FEx=FFx Fy0 ， FEyG1G2W= 0 FEy27 kN （）ME(F)=0 ， FFxlh-G1(a+l/2)W(x+a)=0 FFx=G1(2a+l)+2W(x+a)/2 = 32.3 kN （）FEx=FFx = 32.3 kN （ ） 求上题中拉杆的拉力和铰链A的反力。 解解 1）画受力图 。 2）列平衡方程求解。 hEG1WABDCFaxll/2G2 因已知力、未知力汇集于AB梁，故取它为研究对象，

11、画出AB梁的分离体受力图 。 图中A、B、C三点各为两未知力的汇交点。比较A、B、C三点，取B点为矩心列出力矩方程计算较为简单，即 Fx0， FEx-FTcos =0 FEx=FTcos =29.44 kN （ ） Fy0 ， FTsin+FAyG1W= 0 FAy34 kN （）ABG1WFAyFAxFTMB(F)=0 ， G1l/2 +W(lx)-FAyl=0 FAy = 7 kN （）xy 悬臂梁上作用均布载荷q，在B端作用集中力Fql和力偶Mql2；梁长度为2l，已知q和l。求固定端的约束反力。 解解 1）取AB梁为研究对象，画受力图。 xy Fx0， FAx=0FAxFAyMAMqA

12、2lBFqFMAB 把均布载荷q简化为作用于梁中点的一个集中力FQ2ql。 FQ2）列平衡方程求解，即 MA(F)=0 ， MMA2FlFQl = 0MA= M2FlFQl = ql22ql22ql2 = ql2 Fy0 ， FAy+FFQ= 0 FAyFQF=2qlql = ql （） 一飞机作直线水平匀速飞行。已知飞机的重力G、阻力FD，俯仰力偶矩M 和飞机尺寸a、b和d。试求飞机的升力FL，尾翼载荷FQ和喷气推力FT。 解解 1）以飞机为研究对象，其受力图如图所示 。 例2-52）列平衡方程求解，即 MO(F)=0 ， M +FTb+Ga-FQd = 0FQ=(M+FTb+Ga)/d F

13、x0 ， FDFT= 0 FTFD Fy0 ， FL-GFQ= 0 FLG+FQ = G+ (M+FTb+Ga)/dFL1.平面汇交力系Fx0Fy0 若平面力系中各力作用线汇交于一点，则称为平面汇交平面汇交力系力系。显见MM(F) 0恒能满足，则其独立平衡方程为两个投影方程，即 （2-10）三、平面任意力系的特殊形式三、平面任意力系的特殊形式F1OF2F3F4xy2平面平行力系Fy0MO(F)0 若平面力系中各力作用线全部平行，则称为平面平行力系平面平行力系，取y轴平行于各力作用线。显见Fx0恒能满足，则其独立平衡方程为 MA(F)0MB(F)0其中A、B两点的连线不能与各力平行。（2-11）

14、（2-12）也可用二矩式，即 F1OF2F3Fnxy 外伸梁如图所示， F=qa/2，M=2ql2, 已知。求A、B两点的约束反力。MA(F)=0 ， FB2a-M-Fa-FQa/2=0 FB=(M+Fa+0.5FQa)/2a=2qa ()Fy=0 ， FA+FB-F-FQ=0 FA=FQ+F-FB=3qa+qa/2-2qa=1.5qa ()FAFB 解解 1）取AB梁为研究对象，画受力图。2）列平衡方程求解，即 均布载荷化简为作用于D点的一个FQ=3qa 集中力。FQ=3qaqaAaB MFaCD2.5a 塔式起重机如图所示，机架自重为W，最大起重荷载为W，平衡锤的重力为WQ，已知 W 、

15、FP、a、b、e。要求起重机满载和空载时均不致翻倒。求WQ的范围 。 下一页上一页起重机起重机laeFPWWQbO 解解 1)选起重机为研究对象 2）列平衡方程求解。满满 载载 满载时满载时， FP最大则WQ = WQmin，在临界平衡状态A处悬空，即FA=0，机架绕B点向右翻倒，如图所示，则： MB(F)0 ， WQmin(a+b)-FPl-We0 WQmin baWelFPFBWQminFP起重机起重机laeWWQbO故WQ的范围 ： WQ起重机起重机laeWWQbO空空 载载空载时空载时，即FP=0在临界平衡状态，则WQ = WQmax B处悬空，即FB=0，机架绕A点向左翻倒，如图所示

16、，则： MA(F)0 ， WQmaxa -W(e+b )0 WQmax WQmaxFAFPabeW)( baWelFPabeW)( 一个刚体平衡时，未知量个数等于独立方程的个数，全部未知量可通过静力平衡方程求得。这类问题称为静静定问题定问题。 对于工程中的很多构件和结构，为了提高其可靠度，采用了增加约束的方法，因而其未知量个数超过了独立方程个数，仅用静力学平衡方程不可能求出所有的未知量。这类问题称为超静定问题静定问题。 第三节第三节静定与超静定问题及物体系统的平衡静定与超静定问题及物体系统的平衡一、静定与超静定问题的概念一、静定与超静定问题的概念 CBAG G 求解力学问题，首先要判断研究的问

17、题是静定的还是超静定的问题。GFT1FT2FT3平面汇交力系，有三个未知量。平面平行力系，有三个未知量。 这些问题中未知量个数超过了能列出独立方程的个数，都是静不定问题。对于超静定问题的求解，将在材料力学中讨论。FBFAFBFCABFGFAxFAyMA平面任意力系，有四个未知量。 工程中机构和结构都是由若干个物体通过一定形式的约束组合在一起，称为物体系统，物体系统，简称物系物系。 求解物系平衡问题的步骤是： 1）适当选择研究对象（研究对象可以是物系整体、单个物体，也可以是物系中几个物体组成的系统），画出各研究对象的分离体的受力图。二、物体系统的平衡二、物体系统的平衡 2）分析各受力图，确定求解

18、顺序。研究对象的受力图可分为两类，一类是未知力数等于独立平衡方程数，称为是可解的；另一类是未知力数超过独立平衡方程数，称为是暂不可解的。若是可解的，应先选其为研究对象，求出某些未知量，再利用作用与反作用关系，增加已知量，扩大求解范围。有时也可利用其受力特点，列平衡方程，解出部分未知量。如某物体受平面任意力系作用，有四个未知量，但有三个未知量汇交于一点（或三个未知量平行），则可取该三力汇交点为矩心（或取垂直于三力的投影轴），解出部分未知量。着也许是全题的突破口，因为由于某些未知量的求出逐步扩大求解范围，由此即可确定求解顺序。 3）根据确定的求解顺序，逐个列出平衡方程求解。 由于同一问题中有几个受

19、力图，所以在列出平衡方程前应加上受力图号或加以文字说明，以示区别。 如图所示，人字梯由AB、AC两杆在A处铰接，并在D、E两点用水平线相联。梯子放在光滑的水平面上，有一人，其重力为G，攀登至梯上H处，如不计梯重，若已知G、a、l、h。试求绳拉力与铰链支座反力。 解解 以整体研究对象（b）列平衡方程并解之 MC(F)= 0 ， Gacos FNB2lcos= 0 FNB = Ga/2l（）（a）画受力图 FNBFNC ClBADEHGah已知：G、a、a、l、h。试求：绳拉力与铰链支座反力。 解解 以整体为研究对象FNB = Ga/2l（）（a）画受力图 FNBBADHFNC CEGh（b）列平

20、衡方程并解之以AB为研究对象FAxFAyFTMA(F)= 0 ， FTh FNB2lcos = 0 FT =Gacos/2h Fy0 ， FNB+FAy= 0 FAyFNB =Ga/2l Fx0， FAx+FT =0 FAx= -Gacos/2h laFB例2-9MO 往复式水泵如图所示。作用在齿轮上的驱动力偶矩MO，通过齿轮及连杆AB带动活塞在刚体内作往复运动齿轮的压力角为，齿轮的半径为r1，齿轮的半径为r2，曲柄O2Ar3，连杆AB5r1，活塞的阻力为F。已知F、r1、r2、r3和，不计各构件的自重力及摩擦。当曲柄O2A在铅垂位置时，试求驱动力矩MO的值。 O1FAO2BMOr1r2r3

21、解 1）分别取齿轮和齿轮及及活塞B为分离体，并画出它们的受力图。 O1AO2FO2xFO2yFABFBFABFnFnFO1xFO1y下一页上一页返回首页已知：F、r1、r2、r3和，求MO。 O1FAO2BMOr1r2r3 解 1）画受力图。 FBFABFBAO2FO2xFO2yFABFn 2）活塞受平面汇交力系作用。已知只有两个未知力FB、FAB，是可解的，列平衡方程求解，即 Fx0， FABcos -F =0 FAB=F/cosxy 3）由于FAB已解出， Fn为可解，列平衡方程求解，即 MO2(F)= 0 ， FABO2Acos Fnr2cos= 0coscoscoscoscos/cos

22、232222nrFrrAOFrAOFFAB下一页上一页返回首页已知：F、r1、r2、r3和，求MO。 O1FAO2BMOr1r2r3 解 1）画受力图。 FBFABFBAO2FO2xFO2yFABFnMOO1FnFO1xFO1y 2） FAB=F/cosxy 3） 4）取齿轮为研究对象，列平衡方程求解，即cos23nrFrF MO1(F)= 0 ， MO Fnr1cos= 02311231coscoscosrrFrrrFrrFMnO下一页上一页返回首页 一构件如图所示。已知F和a，且F12F。试求两固定铰支座A、B和铰链C的约束力。 解解 1）分别取构件ACD及BEC为研究对象，画出各分离体的

23、受力图。 FCxFCyFCxFCyFAxFAyFByFBxF1ACDBCFEF1ABCaFaaaDE下一页上一页返回首页Fx0， FCx-F+FBx0 FCxF-FBx F-F/2 F/2 2）四个未知力，不可解；但由三个未知力汇交于一点，可先求出FBx和FCx，即 已知：F和a，且F12F。试求：A、B和C的约束力。 解解 1）画出各分离体的受力图。 FCxFCyFByFBxBCFE MC0， FBx2a-Fa0 FBxF/2 （ ）Fy0，FBy-FCy0 FByFCy下一页上一页返回首页 FCxF/22）已知：F和a，且F12F。试求：A、B和C的约束力。 解解 1）画出各分离体的受力图

24、。 FBxF/2 （ ）FByFCyFCxFCyFAxFAyF1ACD 解出FCx出后，图中的FCx为已知量，因而可解，即 MA0， FCya+FCx2a-F12a0 FCy 2F1-2FCx 4F -2FCx3F Fy0， FAy+FCy-F10 FAyF1-FCy2F-3F =-F （）Fx0， FAx-FCx0 FAxFCx F/2 （ ） FByFCyFCy 3F （）下一页上一页返回首页第四节 平面静定桁架内力的计算平面静定桁架内力的计算 工程中的屋架、铁架桥梁、电视塔、输变电铁架等，都是采用桁架结构。 桁架是由一些杆件彼此在两端连接而组成的一种结构。各杆件处于同一平面内的桁架称为平

25、面桁平面桁架架。桁架中各构件彼此连接的地方称为节点节点。 下一页上一页返回首页 下一页上一页返回首页桁架下一页上一页返回首页 为了简化桁架的计算，工程中采用以下假设： 1）桁架中各杆的重力不计，载荷架在节点上。 2）各杆件两端用光滑铰链连接。 以上假设保证了桁架中各杆件为两力杆，内力均沿杆件的轴线方向。 在工程实际中，一般桁架采用铆钉或焊接，但据上述假设所得的计算结果，可基本满足工程需要。桁架中杆件内力的计算方法，一般由节点法和截面法两种。 下一页上一页返回首页 1节点法节点法 由于桁架的外力和内力汇交于节点，故桁架各节点承受平面汇交力系作用，可逐个取节点为研究对象，解出各杆的内力。这种方法称

26、为节点节点法法。由于平面汇交力系只有两个独立平衡方程，故求解时应从只有两个未知力的节点开始。在解题中，各杆内力一般假设受拉状态，即其指向背离节点。如所求力为正即是拉力，反之则为压力。 下一页上一页返回首页yx 解解 1)取各节点为研究对象，并画出各节点的受力图。321GACEDBG456 试求图所示平面桁架中各杆件的内力，已知=30，G=10kN。 F2yxAGF1F6F2F3BGF5CyxF4F1F3 2）逐个取结点，列平衡方程A结点 Fy0 ， F1sin30-G0 F1=20kN Fx=0， -F1cos30-F20 F2=-17.3kNB结点 Fx0 ，F2-G0 F6=-17.3kN

27、Fy=0， F3-G0 F3=10kNC结点Fy0 ， -F5cos30-F3cos300 F5=-10kN Fx=0 ，F1-F4+F3sin30-F5sin300 F4=30kN下一页上一页返回首页 2截面法截面法 截面法是假想用一个截面将桁架切开，任取一半为研究对象；在切开处画出杆件的内力，分离体上受平面任意力系作用，它可解三个未知力。解题时应注意两点： 1）所取截面必须将桁架切成两半，不能有一根杆件相连。 2）每取一次截面，一般情况下截开的杆件中未知力不应超过三个。 下一页上一页返回首页 摩擦是一种普遍存在的现象。在一些问题中，由于其不成为主要因素，故设想了一种理想化的状态，常将摩擦忽

28、略不计，但在大多数工程技术问题中，它仍是一个不容忽略的重要因素。 摩擦广泛存在于实际生活和生产中。如人靠摩擦行走，车靠摩擦制动，螺钉无摩擦将自动松开，带轮无摩擦将无法传动，这些都是摩擦有利的一面。但是，摩擦还会损坏机件，降低效率，消耗能量等，这是摩擦有害的一面。第五节第五节 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题下一页上一页返回目录 一般可将摩擦现象如下分类： 1）按照物体接触部分可能存在的相对运动，分为滑动磨擦与滚动摩擦。 2）按照两接触体之间是否发生相对运动，分为静摩擦与动摩擦。 3）按接触面之间是否有润滑，可分为干摩擦与湿摩擦。 本节重点介绍无润滑的静滑动摩擦的性质，以及考虑摩擦时力系

29、平衡问题的分析方法。下一页上一页返回首页 两个相互接触的物体发生相对滑动，或存在相对滑动趋势时，彼此之间就有阻碍滑动的力存在，此力称为滑动摩擦力滑动摩擦力。滑动摩擦力作用于接触处的公切面上，并与物体间滑动方向或滑动趋势的方向相反。一、滑动摩擦一、滑动摩擦下一页上一页返回首页 推土机在卸土工程中，车轮有沿地面向后滑动的趋势，但滑动未产生，故地面给予履带的静滑动摩擦力Ff1 ，Ff2的方向向前；铲土板上泥土已沿板面向斜下方滑动，故泥土给铲土板的摩擦力Ff为动滑动摩擦力，其方向沿板面的切向。 Ff1Ff2FN1FN2GFfFPFfFPFT1FT2下一页上一页返回首页 从限制物体运动的作用而言，静摩擦

30、力也是一种被动的、未知的约束力，它可以通过平衡条件求得。但它与一般的约束作用亦有不同之处，这一点可通过库仑所做之实验，予以说明：1静滑动摩擦静滑动摩擦下一页上一页返回首页 1）当用一个较小的力FT去拉重力为W的物体时，物体保持平衡。由物体平衡条件可知，摩擦力Ff与主动力FT大小相等。 AAAWFNFTFf库仑实验库仑实验下一页上一页返回首页 2）当FT逐渐增大， Ff也随之增加。此时Ff似有约束反力的性质。 所不同的是，当Ff随FT增加到某一临界值Ffm时，就不会再增加；若FT继续增加，物体就要开始滑动。 因此，静摩擦力Ff也可称为切向有限约束反切向有限约束反力力。AAWFNFTFf库仑实验库

31、仑实验Ffm 库仑通过大量比较简单的实验，归纳出临界摩擦力Ffm约为 Ffm=fsFN （2-9） 即临界摩擦力的大小与物体间的正压力成正比，式（2-9）称为库仑定律库仑定律或静摩静摩擦定律擦定律。 式（2-9）中的比例常数fs称为静滑动摩擦因数静滑动摩擦因数，简称静摩擦因数静摩擦因数。 下一页上一页返回首页 静摩擦因数静摩擦因数fs的大小与两接触物体的材料及表面情况（表面粗糙度、干湿度、温度等）有关。常用材料的静摩擦因数fs可从一般工程手册中查得。 应当注意到，库仑通过实验只是给出了摩擦力的极限值，或者说只是给了摩擦力可能发生的范围。至于在物体平衡时具体摩擦力Ff之值，应在0FfFfm范围内

32、，由物体平衡条件来确定。下一页上一页返回首页 还应注意到，库仑定律指出了利用和减少摩擦的途径，即可以从影响摩擦力的两个主因（即摩擦因数与正压力）同时入手。例如，一般车辆以后轮为驱动轮，故设计时应使重心靠近后轮，以增加后轮的正压力。同时轮胎表面压出各种纹路，以增大摩擦因数。下一页上一页返回首页 静摩擦力Ff的三要素为： 1）大小大小： 0FfFfm由物体的平衡条件来决定。在临界状态下，有Ff=Ffm=fsFN 2）方向方向：与物体间相对滑动趋势的方向相反，并沿接触表面作用点的切向。 3）作用点作用点：接触点或接触面上摩擦力的合力作用点。下一页上一页返回首页Ff 当力FT超过Ffm时，物体开始滑动

33、，此时物体所受的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力Ff。 大量实验证明，动摩擦力Ff的大小与接触面之间的正压力的大小成正比，即 Ff=f FN （2-10）式中，f 称为动摩擦因数动摩擦因数。它是与接触材料和表面情况有关的常数，通常，f 值小于fs值。2动滑动摩擦动滑动摩擦AWFNFTFf下一页上一页返回首页 动摩擦力Ff与静摩擦力Ff相比，有两个显著的不同点：一是动摩擦力一般小于临界静摩擦力。这就说明维持一个物体的运动要比使它由静止进入运动要容易。其次静摩擦力之值要由与主动力有关的平衡条件来决定；而动摩擦力则不论主动力存在与否，只要相对运动存在，它就是一个常值。下一页上一页返回首页 当考虑摩

34、擦时，物体所受到的接触面的约束反力包括法向反力FN（正压力）和切向反力Ff（摩擦力）。将此两力合成为FR，合力FR。代表了约束面对物体的全部作用，故称之为全全反力反力。 全反力FR与接触面公法线的夹角为，如图所示。3摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象AWFNFTFfFR返回下一页上一页下一页上一页返回首页 夹角随静摩擦力的变化而变化，当静摩擦力达到最大值Ffm时，夹角也达到最大值，称为临界摩临界摩擦角擦角，简称摩擦角摩擦角，如图所示，由图可知3摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象AWFNFTFfFR AWFNFTFfmFRsNNsNfmtanfFFfFF（2-11）返回下一页上一页下一页上一页返回首

35、页 摩擦角也是表示材料和表面摩擦性质的物理量。摩擦角表示全反力能够偏离法向的范围。如物体与支承面的摩擦因数在各个方向都相同，则这个范围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥摩擦锥。摩擦锥A下一页上一页返回首页 若主动力FP作用在摩擦锥范围内，则约束面必产生一个与之等值、反向且共线的全反力FR与之平衡。不论怎样增加FP的大小，物体总能保持平衡而不移动，这种现象称为自锁自锁。摩擦锥AFPFR自锁的条件应为 =arctanfs（2-13） 下一页上一页返回首页 解解 受力分析 在倾角为的斜面上放一物体，物体只受一个重力W的作用，物体与斜面间的静摩擦因数为fs。求物体保持平衡时，斜面的最大倾角m。WFRm

36、物体受到主动力W及全反力FR的作用，据二力平衡公理，此二力必须等值、反向、共线，故全反力FR的方向应沿铅垂线向上，它与斜面法线间的夹角等于 m 。 根据静摩擦自锁条件，能保持物体平衡的斜面最大倾角为 m=arctan fs下一页上一页返回首页 摩擦角与自锁原理在工程实际中常常得到广泛的运用。例2-12的结果就可用来测定两种材料间的摩擦因数。用两种材料做成斜面与滑块，将滑块放在斜面上，逐渐增大斜面的倾角，直至滑块在自重作用下开始下滑。此时斜面的 m角即为摩擦角，其正切值就是静摩擦因数。tanm= fs下一页上一页返回首页 在堆放松散物质如砂、土、煤或粮食时，能够堆起的最大坡角m称为休止角休止角，

37、休止角与上述斜面的最大倾角一样，就是松散物质间的静摩擦角。 铁路路基的边坡坡角小于土壤的休止角。m下一页上一页返回首页 自锁原理常可用来设计某些机构和夹具，例如，脚套钩在电线杆上不会自行下滑就是自锁现象；而在另外一些情况下，则要设法避免自锁现象的发生，例如，变速箱中滑移齿轮的拨动就绝对不允许自锁，否则变速箱就无法工作。 下一页上一页返回首页 1解析法解析法涉力较多的情况下，通常采用解析法来求解。解有摩擦时的平衡问题的解析法与解一般静力学问题不同之处在于： 1）在受力图上要考虑摩擦力的存在。 2）摩擦力是一项未知量。解题时，除列出平衡方程外，还需增加补充方程，补充方程数与摩擦力数相同。不过，由于

38、摩擦力来自临界值，故问题的解答也一定是平衡范围的一个临界值。二、考虑滑动摩擦时的平衡问题二、考虑滑动摩擦时的平衡问题下一页上一页返回首页OM 有三种制动装置，如图所示。已知故轮上的转矩为M，几何尺寸a、b、c、r及鼓轮与制动片间的静摩擦因数fs。试求所需之最小力F1、F2和F3。 解解 1）先以制动装置为研究对象，分别画出a图的制动杆与鼓轮的受力图。 FN例2-14a）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）aF1bcFfAAAAFAyFAxFNFfFOyFOx下一页上一页返回首页OM已知：M，几何尺寸a、b、c、r、fs。试求F1、F2和F3。 解解 1）受力图。 FNaF1b

39、cFfa）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAAAFAyFAxFNFfFOyFOx 2)因所求力为F1之最小值，故摩擦处于临界状态，补充方程应为Fffs FN，列平衡方程求解。鼓轮 MO0，MFf r0 Ff M/rFffsFN，FNFffsM/r fs制动杆MA0，FNa-Ffc-F1b0 F1 (FNa-Ffc)/b(a-fsc)/rbfs下一页上一页返回首页OM已知：M，几何尺寸a、b、c、r、fs。试求F1、F2和F3。 如有具体数值，代入后所得之主动力F值为零、为负，说明不用力。甚至略微反向提一下装置都不会松开，这就试解析法重的自锁条件。 FNaF1bcFfa）

40、aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAAAFAyFAxFNFfFOyFOxF1 (a-fsc)/rbfs下一页上一页返回首页F1求出后可推论出F2，F3。对图b ，c=0。从F1表达式可推出a）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAA已知：M，几何尺寸a、b、c、r、fs。试求F1、F2和F3。 F1 (a-fsc)/rbfsarbfMFS2 对图c，尺寸c与图a中的位置相反，用c取代F1表达式中c，可推出 )(cfarbfMFsS3下一页上一页返回首页a）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAA已知：M，几何尺寸a、b、c、r、fs

41、。试求F1、F2和F3。 F1 (a-fsc)/rbfsarbfMFS2 比较可得F1F2F3 可见，图a的制动装置所需的力F1最小，且当afsc时有自锁作用，故图a所示结构力学上较为合理。)(cfarbfMFsS3下一页上一页返回首页WFA 重为W的物块，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为fs，如图所示，且当tan时，求使物块静止时 ，求水平力F的大小。 解解（1）求力F的最大值当力F达到该值时，物体处于将要上滑的临界状态，此时，摩擦力F沿斜面向下，并达到最大值。 Fx= 0 ， Fmaxcos Wsin Ffm = 0 （1）Fy = 0 ， FN Fmaxsin Wcos = 0

42、 （2）补充方程 Ffm=fsFN （3）FmaxFNWAxyFfmWffFSSsincoscossinmax若考虑到摩擦角=arctanfs ，则可以化简为 Fmax=Wtan(+ )下一页上一页返回首页WFA （2）求力F的最小值 当力F达到该值时，物体处于将要下滑的临界状态，此时，摩擦力F沿斜面向上，并达到最大值。 Fx= 0， Fmincos Wsin +Ffm = 0 （4）Fy = 0， FNFminsin Wcos = 0 （5）补充方程 Ffm=fsFN （6）FminFNWAxyFfmFmax=Wtan(+ )WffFSssincoscossinmin同样可表示为 Fmin=

43、Wtan(- )FWtan(+ )Wtan(- )下一页上一页返回首页 2几何法几何法 将接触面的切向和法向约束力合成表示为全反力FR后，若物体平衡问题所涉及的力不超过三个，用几何法求解比较简便。 下一页上一页返回首页WFA用几何法解例2-15。 解解 分别画出Fmax与Fmin作用下两种临界状态的受力图（图b、c）。 可作出两个封闭的力三角形，则由图b可得 FmaxFRWAFmax=Wtan(+ )a）b）c）由图c可得 Fmin=Wtan(- )维持重块平衡的值应为 FWtan(+ )Wtan(- )WFmaxFR+FminWAFRWFR-Fmin下一页上一页返回首页 上例还可得出物块不下滑的自锁条件是Wtan(-)0，即 。由于螺旋可以看作斜面在圆柱上绕卷而成，所以本例对机械中斜楔、螺旋等自锁条件的分析十分有用。 下一页上一页返回首页 当搬运重物时，若在重物底下垫辊轴，比直接放在地面上推动省力得多。这说明用辊轴的滚动来代替箱底的滑动，所受的阻力要小得多。三、滚动摩擦简介三、滚动摩擦简介 车辆用车轮，机器中用滚动轴承，就是利用了这个道理。 下一页上一页返回首页 将一重力为W的车轮放在地面上，在车轮上加一微小的水平拉力F，此时车轮与地面接触处就会产生一摩擦阻力Ff，已阻止车轮滑动。主动力F与滑动摩擦力