微积分下册总复习

1、总总 复复 习习1 1、多元函数的定义、极限及连续性、多元函数的定义、极限及连续性确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法(1)(1)此时即可断言极限不存在。此时即可断言极限不存在。找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式, ,但两者不相等但两者不相等, ,),(lim00yxfyyxx使使存在存在, ,第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学2 2、偏导数与、偏导数与全微分全微分 )(0,0yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim00000),(yxfz 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxx ),0()( oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfz zd22)()(

2、yx 0dPzdyyxfdxyxfyx),(),(0000 yyzxxzPP 00处处在点在点),(),(000yxPyxfz 可可 微微 连连 续续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在处可微的步骤：处可微的步骤：在在判定判定),(),(00yxyxfz 是是否否存存在在，、判判定定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在，则不可微，若不存在，则不可微， 否则转下一步；否则转下一步；，是是否否为为判判定定0),(),(lim)2(00000 yyxfxyxfzyx 若为若为0 0，则可微，则可微， 否则不可微否则不可微。3 3、复合函数求导法、复合函数求导法),(vufz 则复合函数

3、则复合函数),(),(yxyxfz uvxzy xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv ),(),(yxvyxu 及及(1) 一个方程情形一个方程情形(二元方程、三元方程二元方程、三元方程)4 4、隐函数的求导法隐函数的求导法隐函数存在定理隐函数存在定理1 1),(yxF),(00yxP设设的某一邻域内满足的某一邻域内满足: :在点在点, 0),()3(00 yxFy则方程则方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一邻域内的某一邻域内并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有连续偏导数具有连续偏导数;0),( yxF),(00yx

4、P它它满足满足条件条件在点在点恒能恒能唯一唯一确定一个确定一个连续且具有连续导数连续且具有连续导数的函数的函数(2) 方程组情形方程组情形隐函数的个数隐函数的个数=方程的个数方程的个数隐函数的自变量个数隐函数的自变量个数=总自变量个数总自变量个数 方程的个数方程的个数5. 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用(1) 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面(三种情形三种情形)(2) 空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线(三种情形三种情形)6. 方向导数与梯度方向导数与梯度00000(P)(P )lim.PPPPPP Plfffl与 同向方向导数方向导数梯度梯度., ad

5、rg00PyxPfff.|)(00llgradflfPPcos)( cos)( 00PfPfyx*方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系函数沿梯度方向的方向导数最大函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最即增长最快快)，且方向导数的最大值为梯度的模。，且方向导数的最大值为梯度的模。7. 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值(1) 极值的必要条件极值的必要条件极值的充分条件极值的充分条件(2) 求条件极值的方法求条件极值的方法代入法，代入法，Lagrange乘数法乘数法, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy),(),(),(yxyxfyxL *(3) 求最值的方法求最值的方法1

6、. 求求D内所有的驻点和不可导点；内所有的驻点和不可导点；2. 用求条件极值的方法用求条件极值的方法(Lagrange乘数法或乘数法或代入法代入法)求求D的边界上的条件极值点；的边界上的条件极值点；3. 求求D的边界的边界点；的边界的边界点；4. 计算上面三步求出的所有点的函数值，最计算上面三步求出的所有点的函数值，最大者即为大者即为D上的最大值，最小者即为最小值。上的最大值，最小者即为最小值。 1. 理解二重积分、三重积分的概念理解二重积分、三重积分的概念,第八章第八章 重积分重积分2. 掌握二重积分的计算法掌握二重积分的计算法(直角坐标、极直角坐标、极 3. 会用重积分求一些几何量与物理量

7、会用重积分求一些几何量与物理量.了解了解重积分的性质重积分的性质.了解三重积分的计算法（了解三重积分的计算法（直角坐标、直角坐标、坐标坐标)，柱面坐标、球面坐标柱面坐标、球面坐标).其中其中 iiniiDfyxfI ),(limd),(10二重积分二重积分是各小闭区域的直径中的最大值是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义几何意义二重积分二重积分I表示以表示以D为底为底,柱体的体积柱体的体积.z =f (x, y)为曲顶为曲顶, 侧面是侧面是定义定义1.平面上有界闭区域平面上有界闭区域D上二元有界函数上二元有界函数z = f (x, y)的二重积分的二重积分2.当连续函数当连续函数,0),(时时

8、 yxfz以以D的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面的轴的柱面的曲顶曲顶一般情形一般情形, Dyxf d),(xOy平面上方的曲顶柱体体积平面上方的曲顶柱体体积减减xOy平面下方的曲顶柱体体积平面下方的曲顶柱体体积.物理意义物理意义3.若平面薄片占有平面内有界闭区域若平面薄片占有平面内有界闭区域D,),(yx 则它的质量则它的质量M为为:它的面它的面密度为连续函数密度为连续函数.d),( DyxM 性质性质1(线性运算性质线性运算性质)为常数为常数, 则则(重积分与定积分有类似的性质重积分与定积分有类似的性质) Dyxgyxf d),(),( 、设设 DDyxgyxf d)

9、,(d),(4 4、二重积分的性质二重积分的性质性质性质2 将区域将区域D分为两个子域分为两个子域 Dyxf d),()(21DDD 对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质. 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD以以1为高的为高的 性质性质3(几何应用几何应用) 若若 为为D的面积的面积 注注 D d既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积. D d1 D d又可看成是又可看成是D的面积的面积. Dyxf d),(特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质) ),(),(yxgyxf 设设,),(Dyx 则则 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d)

10、,( ( (保序性保序性) ) DMyxfm d),(性质性质5(5(估值性质估值性质) ),),(Myxfm 设设为为D的面积的面积, 则则性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理) ),( Dyxf d),(体体积等于以体体积等于以D为底为底),( f以以几何意义几何意义域域D上连续上连续,为为D的面积的面积, 则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱则曲顶柱 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.设设f (x, y)在闭区在闭区(1)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续. Dyxyxfdd),(

11、若若D关于关于,dd),(21yxyxfD 则则x轴对称轴对称, f (x, y)对对y为奇函数为奇函数, 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)对对y为偶函数为偶函数, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 则则 Dyxyxfdd),(其中其中;01 yDD5 5、对称区域上奇偶函数的积分性质、对称区域上奇偶函数的积分性质(2)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续. Dyxyxfdd),(若若D关于关于,dd),(21yxyxfD 则则 y轴对称轴对称, f (x, y)对对x为奇函数为奇函数, 即即, 0,),(),(),(Dyxyx

12、fyxf f (x, y)对对x为偶函数为偶函数, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 则则 Dyxyxfdd),(其中其中;01 xDD),()(,),( 21xyxbxayxD 其中函数其中函数 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在区间在区间a, b上连续上连续.(1) 直角坐标系直角坐标系xOy Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先对先对y 后对后对x的二次积分的二次积分6、二重积分计算、二重积分计算),()(,),( 21yxydycyxD 其中函数其中函数 、)(1y )(2y 在区间在区间c, d上连续上连续. Dyxf d),

13、( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先对先对x 后对后对y的二次积分的二次积分.xOyD)(2yx cd)(1yx 交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1) 利用已给的二次积分的积分限得出利用已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域相应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图; Dyxf d),( ddrr极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 Drrrrf dd)sin,cos(2) 极坐标系极坐标系 )(1 r)(2 rOAD)()(,),( 21 ryxD其中函数其中函数.,)()(21上连续上

14、连续在区间在区间、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrfD;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r)(0 ,),( ryxD其中函数其中函数.,)(上连续上连续在区间在区间 )(020d)sin,cos(d rrrrf极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积.dd Drr DoA)( r)(0 ,20),( ryxD Dyxf d),(其中函数其中函数.,)(上连续上连续在区间在区间 2、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(3 3、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积

15、分的性质类似于二重积分的性质1 1、三重积分的定义、三重积分的定义三重积分三重积分三重积分三重积分vzyxfd),(0为为f的的偶偶函函数数z对称性质对称性质),(),(zyxfzyxf 则称则称f关于变量关于变量z的的奇奇 函数函数. vzyxfd),(则则 ,坐标面对称坐标面对称xOy关于关于的的奇奇函函数数z为为f21 若域若域xOy在在为为其中其中 1坐标面的上半部区域坐标面的上半部区域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)vzyxfd),(0为为f的偶函数x vzyxfd),(则则 ,坐标面对称yOz关于关于的奇函数x为为f21 若域若域yOz在为其中1坐标面的前半部区域坐标面的前

16、半部区域.三重积分三重积分vzyxfd),(0为为f的偶函数y vzyxfd),(则则 ,坐标面对称zOx关于关于的奇函数y为为f21 若域若域zOx在为其中1坐标面的右半部区域坐标面的右半部区域.三重积分三重积分4 4、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐标直角坐标 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐

17、标.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 21(, )(, )( cos , sin , ) dzzf rrz r z 21( )( )drrr d 注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积r、z. .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐标球面坐标通常是通常是注注、先先积积r、再再积积 . 后积后积5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1) 体积体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面

18、在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面面积曲面面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3) 重心重心薄片对于薄

19、片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为(4) 转动惯量转动惯量薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连

20、续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于z 轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f(5) 引力引力6 6、三重积分的应用、三重积分的应用. dvM 其中其中,1 dvxMx 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体的的重重心心为为() 重心重心

21、,1 dvyMy .1 dvzMz ,2 dvzIxy ( () ) 转动惯量转动惯量 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分的性质及两类曲线积分的关系曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2. 会计算两类曲线

22、积分会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件.1. 理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念,了解两类了解两类3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式, 会使用平面会使用平面(Gauss) 、5.了解散度、旋度的概念及其计算了解散度、旋度的概念及其计算6. 会用曲线积分、会用曲线积分、4. 了解两类曲面积分的概念及高斯了解两类曲面积分的概念及高斯并会并会计算两类曲面积分计算两类曲面积分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面积分求一些曲面积分求一些几何量与物理量几何量与物理量. 曲曲 线线 积积 分分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积

23、分第二类曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)格林公式格林公式与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无

24、关内内在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题思路思路 LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式第二类曲线积分第二类曲线积分的计算法的计算法 LyyxQxyxPd),(d),( DyxyPxQIdd)( 如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：第一类曲面积分 曲面积分曲面积分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)

25、1yxzz 若若曲曲面面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则),(:)2zxyy 若曲面若曲面.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若曲面若曲面则则第二类曲面积分),(:)1yxzz 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中符号当其中符号当取上侧时为正，下侧时为负。取上侧时为正，下侧时为负。xyD),(:)2zxyy 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddP)(xyQdzdxR)(zy其中符号当其中符号当取右侧时为正，左侧时为负。取右侧时为正，左侧时为负。zx

26、D),()3zyxx ：若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzdd)(yxPdydzQR)(zxyzD其中符号当其中符号当取前侧时为正，后侧时为负。取前侧时为正，后侧时为负。注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos两类关系0(cos, cos, cos )n高斯公式高斯公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或设向量场设向量场P, Q, R, 在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数, 则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 )

27、,(RQPA SnAd2. 通量与散度通量与散度 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 zRyQxPAdiv斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式yozx斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 nRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos2. 2. 旋度旋度. )(ArotRQPzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 .)()()(kyPxQjxRzPizQyR 第二类曲面积分的计算法第二类曲面积分的计算法1. 利用利用Gauss公式公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQz

28、yPdddddd 闭曲面闭曲面具有具有则则取取其中其中 外侧外侧. .在在若若RQP,中中所围成的空间域所围成的空间域 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,)2(,比较复杂比较复杂非闭而非闭而若若RQP 在在RQP,后后加面加面 )(为闭为闭 中中所构成的空间域所构成的空间域 具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,则则 I 2. yxRxzQzyPIdddddd面面投投影影在在将将xOy ),(yxfz 的方程为的方程为设曲面设曲面 xyD yxRzQzPyxdd)()(上侧为正，下侧为负。上侧为正，下侧为负。常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数交错级 数 正正项项级级数数幂级数幂级数三

29、角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(xR为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数满足狄满足狄 氏条件氏条件0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 第十章第十章 无穷级数无穷级数定义定义0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns1 1、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv

30、, ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.设设 1nnu是正项级数是正项级数

31、, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. .定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则则级数收敛级数收敛, , 且其和且其和1us , , 其余 项其余 项nr的绝对值的绝对值1 nnur. .)0( nu其中其中2 2、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定

32、义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 0nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .3 3、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法4 4、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()(211xuxuxunn称称为为定定义义在在区区间间I上上的

33、的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函数项级数函数项级数)(1xunn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, ,(3) (3) 和函数和函数在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, ,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. .(1) (1) 定义

34、定义形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.5 5、幂级数、幂级数nnnxa 0如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;(2) (2) 收敛性收敛性如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛

35、敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nn

36、nalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内b.b.和函数的分析运算性质和函数

37、的分析运算性质: : 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的

38、泰勒级数泰勒级数.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数.(4) 幂级数展开式幂级数展开式定理定理 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .充要条件充要条件唯一性唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .展开方法展开方法a.

39、a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),(

40、 x常见函数展开式常见函数展开式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系6 6、傅里叶级数、傅里叶级数),

41、2 , 1( n其中其中 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa定义定义三角级数三角级数其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为傅里叶级数称为傅里叶级数. 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet) )充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) ) 设设)(xf是

42、是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数.如如果果它它满满足足条条件件:在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点,并并且且至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛,并并且且(1) 当当x是是)(xf的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xf;(2) 当当x是是)(xf的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于2)0()0( xfxf;(3) 当当x为端点为端点 x时时,收敛于收敛于2)0()0( ff. 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, 傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数.(4

43、) (4) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数.奇延拓奇延拓: 0)(000)()(x

44、xfxxxfxF令令的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开的条件的条件满足收敛定理满足收敛定理的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函数的傅氏展开的周期函数的傅氏展开周期为周期为 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln),

45、2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln第十一章第十一章 微分方程微分方程1. 一阶微分方程一阶微分方程 可分离变量方程可分离变量方程齐次方程齐次方程 (可化为齐次方程可化为齐次方程的方程的方程)一阶线性微分方程一阶线性微分方程2. 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程Bernoulli方程方程 全微分方程全微分方程).,(),(),()(yyfyyxfyxfyn 和和4. 常系数线性微分方程常系数线性微分方程 (齐次，非齐次齐次，非齐次)3.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数

46、或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的

47、特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题dxxfdyyg)()( 形如形如(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc00,xuxyvy令，否则为非齐次方程否则为非齐次方程(

48、3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程是两直线是两直线00111cybxacbyax的交点的交点00(,)xy)()(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（使用常数变易法）（使用常数变易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方

49、程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时时，当当1 , 0 n解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnnxQyP 全微分方程全微分方程解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全

50、微分的方法.通解为通解为0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程 用不定积分用不定积分的方法的方法.(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通熟记常见函数的全微分表达式，通

51、过观察直接找出积分因子过观察直接找出积分因子常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py ( ),yP y 令特点特点.x不不显显含含自自变变量量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy 4 4、高阶