第一章 信号及其频谱分析

1、第一章 信号及其频谱分析1-1 信号及其分类1-2 信号的时域及频域描述1-3 周期信号的频谱分析1-4 非周期信号的频谱分析1-5 信号的相关分析1-6 数字信号的处理与应用1-7三维DFT谱的概念及应用 教学目的 了解信号分类。 掌握信号的时域及频域描述的含义。 掌握常用的信号时域、频域分析方法的基本原理、频谱特点和应用。 掌握周期信号、非周期信号的频谱特点，了解其频谱分析过程 。 1-1 信号及其分类 测试：利用测量系统测出变化中的物理量。被测参量具有三个特征：物理特征：物理性质量值特征：量值大小时变特征：随时间变化的情况信号：只涉及被测参量的量值特征和时变特征，而不涉及其物理特征。 信

2、号分析 运用数学工具对信号加以分析研究，提取有用的信号，从中得到一些对工程有益的结论和方法。 信号的分类与描述信号的分类主要是依据信号波形特征波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念信号波形：信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历被测信号信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。程称为信号的波形。波形波形 1-1 信号及其分类 为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1、从信号描述上分 -确定性信号与非确定性信号；2、从分析域上 -时域与频域；3、从信号波形的形态-连续时间信号与离散时间信号； 1-1 信号及其分类 连续信号和离散信

3、号如果在某一时间间隔内，对任意时间值，除若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，称为连续信号。和连续信号相对应的是离散信号。代表离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值。 1-1 信号及其分类静态信号动态信号信号离散信号连续信号n 连续时间信号与离散时间信号 a) 连续时间信号:在所有时间点上有定义 b)离散时间信号:在若干时间点上有定义采样信号 1-1 信号及其分类 动态信号和静态信号动态信号：信号的幅值、相位、周期等特征参 数随时间的变化而变化的信号。静态信号：信号的幅值、相位、周期等特征参 数不随时间变化的信号。如直流量 通常把一些缓变信号近似地看成静态信号 1-1 信号

4、及其分类 确定性信号与随机信号 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。 随机（非确定性）信号：具有随机的特点，每次的结果都不同，无法用精确地数学关系描述。 1-1 信号及其分类噪声信号噪声信号(平稳平稳)统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)n周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x ( t )=x ( t + nT ) n=1,2,3 周期信号又可分为简谐信号(单一频率)和复杂周期信号(多个频率）。 1-1 信号及其分类按正弦或余弦规律变化的信号，工程称为按正弦或余弦规律变化的信号，工程称为简谐信号简谐信号；复杂周期信复杂周期信号号波形可看成是由若干个波形可看成

5、是由若干个频率比为有理数频率比为有理数的正弦信号叠加而成。的正弦信号叠加而成。简谐信号（简单周期信号）简谐信号（简单周期信号）)t(sinA) t (x00复杂周期信号复杂周期信号)t(sinA)t(sinA) t (x111000 1-1 信号及其分类非周期信号：再不会重复出现的信号。 准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)瞬态信号:持续时间有限的信号， 如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t) 1-1 信号及其分类 1-2 信号的时域及频域描述n 时域描述：信号用幅值随时间的变化来表示，通常称为时域分析（波

6、形分析）。最常用的时域描述方法是用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 1-2 信号的时域及频域描述n为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系，应对信号进行频谱分析，把信号的时域描述通过适当方法变成信号的频域描述，以频率为独立变量来表示信号。n频域描述：以频率为横坐标描述信号的频率结构和频率成分的幅值、相位关系。n 频谱分析：对复杂时变信号按谐波进行展开研究其频率构成的过程。信号频谱信号频

7、谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。 1-2 信号的时域及频域描述 信号不同的描述方法不能改变信号的性质，只是分析问题的角度不同。时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析 1-2 信号的时域及频域描述 1-2 信号的时域及频域描述3246大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断 1-2 信号的时域及频域描述eg:右图是一个方波的一种时域描述，而下式是其时域描述的另一种形式若该周期方波应用傅立叶级数展开，即得：00000022)5s

8、in513sin31(sin4)(fTtttAtx式中 1-2 信号的时域及频域描述思考题：思考题： 一个复杂周期信号的基本形状一般由什么成分决定？方波的尖角理论上由什么成分构成？近似方波的叠加演示近似方波的叠加演示复频信号发生器复频信号发生器.exe.exe周期方波的周期方波的 描述描述 1-2 信号的时域及频域描述第三节第三节 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析信号的表示：信号的表示： 时间域表示，例如 ，简称时域时域信号； 频率域表示，例如 ，简称频域频域信号； 它们的关系：它们的关系： )()(fXtxFTIFT( )x t)( fX 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频谱分

9、析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)X(f)，从而帮助人们从另一个，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。角度来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f 1-3 周期信号的频谱分析 1-3 周期信号的频谱分析 周期信号特点：一个周期内的就代表了信号的全部。 周期信号的频谱三角形式傅里叶级数展开定义：在数学上，凡满足狄里赫利条件的周期函数都可以展成三角形式的傅里叶级数。狄里赫利（Dirichlet）条件：设f(x)是周期为T的周期函

10、数，如果它满足 函数在任意有限区间连续，或只有有限个第一类间断点 (2)在一周期内，函数有有限个极大值或极小值。则f(x)的傅里叶级数收敛。且 1-3 周期信号的频谱分析测试技术中的周期信号，大都满足该条件。测试技术中的周期信号，大都满足该条件。n对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周期信号周期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅三角傅立叶级数立叶级数表示： 1-3 周期信号的频谱分析.745434.00040.a)5sin513sin31(sin4)(7536421210000AbAbAbbbbAbaaatttAtxn式中 1110)sincos(nnntnbt

11、naatx（1） 1-3 周期信号的频谱分析nEg:方波信号：n周期信号可由幅值、相位不同的各次谐波合成。 tdtntxTbtdtntxTadttxTaTTnTTnTT12/2/12/2/2/2/0sin2cos21a0是频率为零的直流分量，式中系数值为（2） 1-3 周期信号的频谱分析一个周期内面积的均值a0=0T/2 T tx(t)Aa0=A/20110022( )cos()tannnnnnnnnnftAAntAaAabba 式 中 ：An- ， n- 分别称为分别称为幅值谱和相位谱，统幅值谱和相位谱，统称为频谱。称为频谱。 1-3 周期信号的频谱分析频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图

12、形方式表示，以fn (n)为横坐标，An、 为纵坐标画图，则称为幅值相位谱； 1-3 周期信号的频谱分析图 1-7 复杂周期信号的频谱示意a)幅值谱 b）相位谱n谱线、包络线单边谱00000022)5sin513sin31(sin4)(fTtttAtx式中 1-3 周期信号的频谱分析思考题：若按照余弦函数对该方波信思考题：若按照余弦函数对该方波信号展开，其展开式有何变化？号展开，其展开式有何变化？00000022)255sin(51)233sin(31)2sin(4)(fTtttAtx式中 1-3 周期信号的频谱分析关于频率术语的思考：频率=2/秒的含义？和工程频率f（Hz）的关系； 周期信号

13、的奇偶性与傅里叶系数的关系若周期信号为一奇函数，即x(t)=-x(-t)，则x(t)cosn0t也是奇函数，有a0=0，an=0，x(t)的傅里叶级数三角函数形式变为： 若周期信号为一偶函数，即x(t)=x(-t) ，则x(t)sin0t将是奇函数，有bn=0， x(t)的傅里叶级数三角函数形式变为： 1-3 周期信号的频谱分析01( )sinnnx tbnt001( )cosnnx taant /21/2/21/22cos2sinTnTTnTax tntdtTbx tntdtT重点回顾 1110)sincos(nnntnbtnaatx三角形式的傅里叶级数同频项合并0112200( )co s

14、()tannnnnnnnnnftAAntbAaAaba 式 中 ： tdtntxTbtdtntxTadttxTaTTnTTnTT12/2/12/2/2/2/0sin2cos21频谱图幅频图： An- 相频图： n- 三、指数形式的傅里叶级数。三、指数形式的傅里叶级数。 三角傅里叶级数与指数傅里叶级数并不是两种不同三角傅里叶级数与指数傅里叶级数并不是两种不同类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计算。算。 根据欧拉公式根据欧拉公式111111cossin1cos

15、21sin2j tjntjntjntjntetjtnteejntee 1-3 周期信号的频谱分析数学上一种用旋转数学上一种用旋转矢量表示正余弦的矢量表示正余弦的方法方法将上式代入傅立叶级数展开式，则有将上式代入傅立叶级数展开式，则有:00101110)(21)(21X)(21)(21)sincos()(11aXjbaXjbaejbaejbaatnbtnaatxnnnnnntjnwnntjnwnnnnnn令 1-3 周期信号的频谱分析111111cossin1cos21sin2j tjntjntjntjntetjtnteejnteeX)(1110tjnwntjnwnneXeXtx)2, 1, 0

16、()(X)(11110neXtxeXeXtxntjnwntjnwntjnwnn或,.3, 2, 1, 0n)(1)b(2122n1TTtjnwnndtetxTjaX? 1-3 周期信号的频谱分析有傅立叶级数的复指数函数形式：tdtntxTaTTn122cos)(2频谱图。作幅频谱和相和形式后，可分别以指数函数展开为傅利叶级数的复把周期函数；共轭，即与式中是复数，可以写成：在一般情况下，nnnnnnnnnRnInnInRnjnnInRnnXtxXXXXXXarctgXXXeXjXXXn)(X22 1-3 周期信号的频谱分析边相频谱为奇函数。，双，双边幅频谱为偶函数，即：量值上有确定的关系，两种频

17、谱各谐波幅值在；到从单边谱三角函数形式的频谱为；到从边谱数函数形式的频谱为双展开形式，可知：复指比较傅利叶级数的两种0021)0()(aXAXnn 1-3 周期信号的频谱分析 1-3 周期信号的频谱分析 指数形式傅里叶级数的三个特点：频谱有正负频率项，频谱左右对称，称为双边谱；每条谱线代表分量幅值的一半；负频率的出现是数学运算的结果，没有物理意义。 1-3 周期信号的频谱分析双边谱 例1-2： 1-3 周期信号的频谱分析 复杂周期信号的频谱具有以下三个共同特点：复杂周期信号的频谱具有以下三个共同特点：频谱是一根根离散的谱线组成的；频谱是一根根离散的谱线组成的；每条谱线只出现在基波频率的整数倍上

18、，不存在每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，不存在非整数的频率分量；非整数的频率分量；各谐波分量的幅值随谐波次数或频率的增高而减各谐波分量的幅值随谐波次数或频率的增高而减小。小。 概括：概括：离散性、谐波性和收敛性离散性、谐波性和收敛性 1-3 周期信号的频谱分析 准周期信号的各谐波成分的频率比不是有理数，例如： 各谐波成分在合成后不可能经过某一段时间间隔后重演，其合成信号不是周期信号。但这种信号的频谱是离散谱。 通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号。下面讨论这种非周期信号的频谱 1-4 非周期信号的频谱分析11( )sinsin2x ttt 1-4 非周期信号的频谱分析,.3, 2, 1,

19、 0n)(1)b(2122n1TTtjnwnndtetxTjaX?一傅里叶变换一傅里叶变换 . 引出 非周期信号可看作周期趋于无穷大的周期信号。)(tx：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号1j221( )( )edTntTX nx ttT谱系数连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱 T0再用再用 X(n) 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。12 T谱线间隔0 1-4 非周期信号的频谱分析211211( )( ),TTjntjntnnnnx tX eXx

20、 t edtTTnd 周期信号：非周期信号： 1-4 非周期信号的频谱分析21T21121( )( )( )21( )21( )2TTjntjntnj tj tj tj tj tx tx t edt eTdx t edt ex t edt edXed则有：频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数10, ( )0 fX nT1j221( )( )edTntTX nx ttT limTXTX n1j22lim( )edTntTTx tt11d ,n连续 212_( )1TTjntX nX nTX nx t edtTf时，时，当当 T（1）频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数T

21、T 单位频带上单位频带上的频谱值的频谱值 T 1-4 非周期信号的频谱分析1j22( )edTntTx tt频谱密度函数的表示频谱密度函数的表示)(je| )(|)(ffXfX ,)(称为傅里叶变换。称为傅里叶变换。求求由由fXtx ,故可表示为一般为复信号fX 幅度频谱幅度频谱: fX 相位频谱相位频谱: fttxXtde )()(jffXtxtxFttxfXftftfde)()()(de)()(22j2j代入：将 1-4 非周期信号的频谱分析傅里叶变换对20021( )( )( )21( )21( )2TTjntjntnj tj tj tj tj tx tx t edt eTdx t ed

22、t ex t edt edXed则有：X(t) 例1-3 求矩形窗函数的频谱。解：矩形窗函数的时域表达式为：其频谱密度函数为： 1-4 非周期信号的频谱分析02( )12RTTw tTT2222222()( )121()21sinsin.sinjftRRTjftTTjftTj Tj TWjfw t edtedtejfeejffTffTTfTTcfT根据欧拉公式)(de )()(2jtxFttxfXtf 通常定义 ，曲线如图1-12所示，其函数值有专门的数学表可查，它以2为周期（不严格）并随的增加而作衰减振荡，sincx函数为偶函数，在 处其值为零。图图1-12 1-12 波形波形xxcxsin

23、sin 1-4 非周期信号的频谱分析,.)2, 1, 0(nn矩形窗函数的波形(a) 幅频图 (b) 相频图矩形窗函数的频谱 1-4非周期信号的频谱分析0()arctansinjfTcfT幅频谱：相频谱：()sinRWjfTcfT 1-4 非周期信号的频谱分析 与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期T，基频fdf，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。 与周期信号不同，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。频

24、谱分析的应用频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障齿轮。齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。被测信号频率范围的确定 信号的频率范围是 0

25、 。 任何一个测量系统或仪器都不可能在如此大的频率范围内正常工作。 信号的频谱都具有收敛性, 所以说信号的能量基本上是由低频段各谐波信号的能量组成或者说频率越高的谐波分量对信号构成的影响就越小。 复杂周期信号时： 0n/T ，其中 n=710，T为周期; 瞬态非周期信号时: 频率范围为0n ,其中n = 45 , 为瞬态信号的持续时间; 1-4 非周期信号的频谱分析请抄写并完成以下习题：请抄写并完成以下习题：1 1负频率 对于旋转矢量、对于工程 频率意味着什么？2 2参照周期信号频谱的3个特点，对非周期信号频谱的特点进行比较和解释。 3 P3 P17课后习题1-82 秒秒- -()f Hz一、

26、信号的幅值表示 均值、方差、均方值信号的均值是函数在整个时间坐标上的积分平均。 T观测时间。其物理含义是表达了信号变化的中心趋势。信号的方差是去除均值后的均方值，即： 方差是信号幅值相对于均值分散程度的一种表示，其物理含义是偏离均值的波动分量的强度。01lim( )TxTx t dtT 1-5 信号的相关分析直流分量的能量dttxTTxTx202)(/1lim交变分量的强度信号均方值是样本函数平方的均值，即：其物理含义是表达了信号的平均功率或能量。 均值、方差和均方值之间的关系2201lim( )TxTx t dtT在信号分析中，常将信号电压（或电流）加到1电阻上所消耗的能量定义为归一化能量。

27、222xxx 1-5 信号的相关分析U=I*RP=U*I二、信号的相关分析1.相关应用极为广泛的一种时域分析方法信号相关性是指两信号之间相互关联的程度。信号相关性是指两信号之间相互关联的程度。 自相关函数的定义信号 的自相关函数 (或 )定义为: 与做时移 后的函数 的乘积后再做积分平均运算注：T表示信号长度。实际应用中总是取有限长度信号。 基本功用能够捡出信号中的周期成分。 1-5 信号的相关分析01( )lim( ) ()TxTRx t x tdtT( )xxR( )x t()x t软件演示( )xR例例 求正弦函数 的自相关函数。 ( )sin()x tt解：解： cos21)2cos(

28、cos2121)sin(sin21)(sin)sin(1)(220dddtttTRTx保留了周期、频率信息，但丢失了相位信息保留了周期、频率信息，但丢失了相位信息2.信号的互相关函数 互相关函数的定义 信号 、 的互相关函数 定义为 相关分析可实现同频成分的检测，感官上就是波形相似性的度量，函数值的大小表示这些同频成分在信号中所占的功率大小。 01( )lim( ) ()TxyTRx t y tdtT( )x t( )y t( )xyR 1-5 信号的相关分析3.信号相关分析在工程中的应用信号相关分析在工程中的应用 管道漏损位置探测 1-5 信号的相关分析22mmvSvSS S 相关测速 1-

29、5 信号的相关分析相关值显示原理示意图输出反映钢板表面亮度的信号 4.相关系数函数相关系数函数 互相关系数函数互相关系数函数取值区间是取值区间是-1，1 。 规律规律完全相关完全相关 两信号变化规律相同，但相位相反； 完全不相关完全不相关 部分相关部分相关 1-5 信号的相关分析( )( )(0)(0)xyxyxyRRR( )1xy( )0 xy0( )1xy( )1xy 归一化处理 1-6 数字信号的处理与应用 信号处理在实际应用中一般是通过信号采集设备得到模拟信号的离散数据序列离散数据序列，然后根据具体的信号处理任务使用计算机对数字信号实施各种运算。 1、 离散傅立叶变换（Discrete

30、 Fourier Transform，简称DFT） 连续信号条件下的FT式为：工程实际中，实测信号难以解析表达难以解析表达和长度无限性长度无限性使得该式不具备可操作性。相应的DFT为 ： x(n) 长度为N的时域离散信号；X(k) 离散频域信号，称为信号x(n)的频谱。2( )( )jftX fx t edt 102/0, 1, 2,1Nnjkn NX kx nkNe 1-6 数字信号的处理与应用 简谐信号的频谱与泄漏简谐信号的频谱与泄漏设有一数字信号x(n)，每个周期的采样点数为100，幅值为1。 任意谱线表示的工程频率计算任意谱线表示的工程频率计算设： 采样时间为 ts，数据长度为 N，任

31、意数字频率为 k，则待求工程频率为： 例如：例如：已知数据采集卡的采样时间 ，DFT采用1980个数据，请问第16根谱线代表的实际频率是多少？ 解答：根据题意有11kskskft NTt Nk1616116160.29997151.5 1019803.3367 1653.333skfTt NHz- -6 6= =st151. 5 s151. 5 s 1-6 数字信号的处理与应用2、DFT应用 1-6 数字信号的处理与应用 1-7三维DFT谱的概念及应用 1 、三维DFT谱的概念 设简谐信号的离散序列为 ，周期T=100，表示一个周期内的数据个数。以下是该信号在3种不同截断长度时由 获得的幅频谱： 数